必刷题十二 数列-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

必刷题十二 数列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 数列的概念与通项公式 1.数列-2,1,-23 ,1 2 ,-25 ,…的一个通项公式为( ) A.an=(-1)n+1 2 n B.an=(-1)n n n+2 C.an=(-1)n 2 n D.an=(-1)n+1 2 n+2 2.若数列{an}的通项公式为an=3n2-28n+3,则数列 {an}各项中最小项是 ( ) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 数列的递推公式和前n项和公式 3.(多选)数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列 {an}的通项公式an不正确的是 ( ) A.an=6n-5 B.an= 2,n=1 6n-5,n≥2 C.an=6n+1 D.an= 2,n=1 6n+1,n≥2 4.数列{an}满足a1=3,an+1-an=2n-8(n∈N*),则a8 = . 等差数列的概念 5.在等差数列{an}中,若a1=84,a2=80,则使an≥0,且 an+1<0的n为 ( ) A.21 B.22 C.23 D.24 类型一 裂项相消法求和 【例1】 已知数列{an}的前n 项和为Sn,Sn=2an-1,数 列{bn}是等差数列,且b1= a1,b6=a5. (1)求数列{an}和{bn}的通 项公式; (2)若cn= 1 bnbn+1 ,记数列{cn} 的前n项和为Tn,证明:3Tn <1. 【关键技巧】 裂项相消法求数列{an}的 前n项和的基本步骤 【解】 (1)由Sn=2an-1, 可得n=1时,a1=2a1-1, 解得a1=1; n≥2时,Sn-1=2an-1-1, 又Sn=2an-1,两式相减可 得an=Sn-Sn-1=2an-1- 2an-1+1,即有an=2an-1, 所以数列{an}是首项为1, 公比为2的等比数列,所以 an=2n-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·93· 6.数列{an}满足an+an+2=2an+1(n∈N*),且a1+a2+ a3=9,a4=8,则a5= ( ) A.212 B.9 C. 17 2 D.7 等差数列的前n项和 7.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数 列{bn}的前5项和等于 ( ) A.30 B.45 C.90 D.186 8.(多选)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,满 足a1+3a2=S6,则下列四个选项中正确的有 ( ) A.a7=0 B.S13=0 C.S7最小 D.S5=S8 9.已知等差数列{an}的前3项和为30,后3项和为90,且 前n项和为200,则n= ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 等比数列 10.在数列{an}中,对任意n∈N*,都有an+1-2an=0 (an≠0),则 2a1+a2 2a3+a4 等于 ( ) A.1 B.12 C. 1 3 D. 1 4 11.等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=6,则 a1a2…a10= ( ) A.1 B.35 C.15 D.30 等比数列的前n项和 12.已知数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n 项和.已知a2a4=4,S3= 7 2 ,则S5= ( ) A.152 B. 17 2 C.312 D. 33 2 13.已知正项等比数列{an}满足a1=1,a2a6a7= 1 16a1a9 ,则 an= ,数列{log2an}的前n项和为 . 设等差数列{bn}的公差为d, 且b1=a1=1,b6=a5=16,可 得d= b6-b1 6-1=3 ,所以bn=1 +3(n-1)=3n-2. (2)证明: cn= 1 bnbn+1 = 1(3n-2)(3n+1) =13 1 3n-2- 1 3n+1 , 所以Tn= 1 31- 1 4+ 1 4- 1 7+ 1 7- 1 10+ …+ 13n-2- 1 3n+1 =131- 13n+1 <13, 则3Tn<1. 类型二 数列与不等式的 综合问题 【例2】 已知等比数列{an}的 公比q>1,a1=2,且a1,a2, a3-8成等差数列. (1)求出数列{an}的通项 公式; (2)设数列 1an 的前n 项和 为Sn,任意n∈N*,Sn≤m 恒 成 立,求 实 数 m 的 最 小值. 【关键技巧】 解决数列与不等式的综合 问题时,若是证明题,则要 灵活选择不等式的证明方 法,如比较法、综合法、分析 法、放缩法等;若是含参数 的不等式恒成立问题,则可 分离参数,转化为研究最值 问题来解决. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·04· 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 14.已知数列{an}满足a1=1,an+1= an+1,n为奇数, an+2,n为偶数. (1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式; (2)求{an}的前20项和. 15.在数列{an}中,a1=1,an+1=an-2anan+1. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn= 3n an ,求数列{bn}的前n项和Sn. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 16.(2024·全国甲卷(理))设Sn 为等差数列{an}的前n 项和,已知S5=S10,a5=1,则a1= ( ) A.72 B. 7 3 C.- 1 3 D.- 7 11 17.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn 为等差数列{an}的前n项 和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10= . 【解】 (1)因为a1=2,且 a1,a2,a3-8成等差数列, 所以2a2=a1+a3-8,即 2a1q=a1+a1q2-8,所以q2 -2q-3=0, 所以q=3或q=-1,又q >1,所以q=3,所以an=2 ·3n-1(n∈N*). (2)因为数列{an}是首项为 2,公比为3的等比数列, 所以 1 an+1 1 an = an an+1 =13 ,所以 数列 1 an 是首项为12,公比 为1 3 的 等 比 数 列,所 以 Sn = 1 21- 1 3 n􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 1-13 =341- 1 3 n􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 <34 , 因为任意n∈N*,Sn≤m 恒 成立,所以 m≥34 ,即实数 m 的最小值为34. 【学习笔记】 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·14· 18.C 【解析】 解法一(方程组法) 根据焦点坐标可 知c=4,根据焦点在y轴上,可设双曲线的方程为y 2 a2 -x 2 b2 =1(a>0,b>0),则 16 a2 -36 b2 =1 a2+b2=16 ,得 a=2b=2 3 , 所以离心率e=ca =2. 解法二(定 义 法) 根 据 双 曲 线 的 定 义,得2a=| (-6-0)2+(4-4)2- (-6-0)2+(4+4)2|=| 6-10|=4, 根据焦点坐标可知c=4,所以离心率e=2c2a= 8 4=2. 必刷题十二 1.C 【解析】 根据题意,数列-2,1,-23 ,1 2 ,-25 , …的前5项 可 以 写 成(-1)1× 21 ,(-1)2× 22 , (-1)3×23 ,(-1)4×24 ,(-1)5×25 , 则数列的一个通项公式可以为an=(-1)n 2 n. 2.B 【解析】 ∵an=3n- 14 3 2 -1873 , 又n∈N*,∴当n=5时,an最小, ∴数列{an}各项中最小项是第5项. 3.ACD 【解析】 当n=1时,a1=S1=2, n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n-5. 又n=1时不适合an=6n-5, 故写成分段函数形式. 4.【解析】 数列{an}中,a1=3,an+1-an=2n-8(n∈ N*), ∴an-an-1=2n-10, an-1-an-2=2n-12, … a3-a2=-4, a2-a1=-6, ∴an-a1=-6-4-…+(2n-12)+(2n-10) = (n-1)[-6+(2n-10)] 2 =(n-1)(n-8), ∴an=(n-1)(n-8)+3, ∴a8=3. 【答案】 3 5.B 【解析】 公差d=a2-a1=-4, ∴an=a1+(n-1)d=84+(n-1)(-4)=88-4n. 令 an≥0, an+1<0, 即 88-4n≥0 , 88-4(n+1)<0, 即21<n≤22. 又∵n∈N*,∴n=22. 6.A 【解析】 数列{an}满足an+an+2=2an+1(n∈N*), 则数列{an}为等差数列, ∵a1+a2+a3=9,a4=8, ∴3a1+3d=9,a1+3d=8, ∴d=52 , ∴a5=a4+d=8+ 5 2= 21 2. 7.C 【解析】 由等差数列{an},易得公差d1=3. 又bn=a2n,所以{bn}也是等差数列,公差d2=6.S5= b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+ 5×4 2 ×6=90. 8.ABD 【解析】 根据题意,设等差数列{an}的公差为d, 对于A,若a1+3a2=S6,即4a1+3d=6a1+ 6×5 2 d ,变形 得a1+6d=0,即 a7=0,A 正 确;对 于 B,S13= 13(a1+a13) 2 =13a7=0 ,B正确;对于C,S7= 7(a1+a7) 2 = 7a4,可能大于0,也可能小于0,C不正确;对于D,S5- S8= 5a1+ 5×4 2d - 8a1+8×72d =-3a1-18d= -3a7=0,D正确.故选ABD. 9.B 【解析】 依题意,a1+a2+a3=30,an-2+an-1+ an=90, 所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=3(a1+an) =120, 所以a1+an=40, 所以Sn=200= a1+an 2 ·n=20n, 解得n=10. 10.D 【解析】 由an+1-2an=0,得 an+1 an =2,∴{an}为 等比 数 列,且 公 比q=2,∴ 2a1+a2 2a3+a4 = a1(2+q) a3(2+q) = a1 a1q2 =14. 11.B 【解析】 由等比数列的性质可得a5a6=a4a7, 又a5a6+a4a7=6, ∴2a5a6=6,∴a5a6=3, ∴(a1a2…a10)2=(a5a6)10=310. 又等比数列{an}的各项均为正数, ∴a1a2…a10= 310=35. 12.C 【解析】 根据题意,设等比数列{an}的公比为q, 若a2a4=4,则a3=2, 又由S3= 7 2 ,则a3+ a3 q+ a3 q2 =2+2q+ 2 q2 =72 ,解 可得q=2或-23 (舍), 则a1= a3 q2 =12 , 则S5= a1(1-q5) 1-q = 31 2. 13.【解析】 ∵正项等比数列{an}满足a1=1,a2a6a7= 1 16a1a9 , ∴q·q5·q6=116 ·q8,且q>0, ∴q=12 ,∴an= 1 2 n-1 =2-n+1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·27· log2an=log22-n+1=-n+1, ∴数列{log2an}的前n项和: Sn=-(1+2+3+…+n)+n=- n(n+1) 2 +n =-n (n-1) 2 . 【答案】 2-n+1 -n (n-1) 2 14.【解】 (1)因为bn=a2n, 且a1=1,an+1= an+1,n为奇数, an+2,n为偶数, 所以b1=a2=a1+1=2, b2=a4=a3+1=a2+2+1=5. 因为bn=a2n,所以bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+1+ 1=a2n+2+1=a2n+3, 所以bn+1-bn=a2n+3-a2n=3, 所以数列{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列, bn=2+3(n-1)=3n-1,n∈N*. (2)因为an+1= an+1,n为奇数, an+2,n为偶数, 所以k∈N*时,a2k=a2k-1+1=a2k-1+1, 即a2k=a2k-1+1,① a2k+1=a2k+2,② a2k+2=a2k+1+1=a2k+1+1,即a2k+2=a2k+1+1,③ ①+②得a2k+1=a2k-1+3,即a2k+1-a2k-1=3, 所以数列{an}的奇数项是以1为首项,3为公差的等 差数列; ②+③得a2k+2=a2k+3,即a2k+2-a2k=3, 又a2=2,所以数列{an}的偶数项是以2为首项,3为 公差的等差数列. 所以数列{an}的前20项和S20=(a1+a3+a5+…+ a19)+(a2+a4+a6+…+a20)=10+ 10×9 2 ×3+20 +10×92 ×3=300. 15.【解】 (1)∵a1=1,an+1=an-2anan+1,∴an≠0, ∴1an = 1an+1 -2⇒ 1an+1 -1an =2,又∵1a1 =1, ∴ 1an 是以1为首项, 2为公差的等差数列, ∴1an =1+2(n-1)=2n-1, ∴an= 1 2n-1 (n∈N*). (2)由(1)知:bn=(2n-1)×3n, ∴Sn=1×3+3×32+5×33+7×34+…+(2n-1) ×3n, 3Sn=1×32+3×33+5×34+7×35+…+(2n-1) ×3n+1, 两式相减得-2Sn=3+2×32+2×33+2×34+…+ 2×3n-(2n-1)×3n+1 =3+2(32+33+34+…+3n)-(2n-1)×3n+1 =3+2×3 2(1-3n-1) 1-3 - (2n-1)×3n+1 =3+3n+1-9-(2n-1)×3n+1 =2(1-n)×3n+1-6, ∴Sn=(n-1)×3n+1+3. 16.B 【解 析】 由 S5 = S10,得 5(a1+a5) 2 = 10(a1+a10) 2 ,所以5a3=5(a3+a8),所以a8=0,公 差d= a8-a5 8-5 =- 1 3 ,所以a1=a5-4d=1-4× -13 =73,故选B. 17.【解析】 解法一(基本量法) 设{an}的公差为d, 由a3+a4=a1+2d+a1+3d=2a1+5d=7,3a2+a5 =3(a1+d)+a1+4d=4a1+7d=5,解得a1=-4,d =3,则S10=10a1+45d=95. 解法二(利用下标和性质) 设{an}的公差为d,由a3 +a4=a2+a5=7,3a2+a5=5,得a2=-1,a5=8,故 d= a5-a2 5-2 =3 ,a6=11,则S10= a1+a10 2 ×10=5 (a5 +a6)=5×19=95. 【答案】 95 必刷题十三 1.B 【解析】 根据定义,平均变化率为f (x0+Δx)-f(x0) Δx = (x0+Δx)2-1-x20+1 Δx =2x0+Δx. 故选B. 2.ABC 【解析】 结合定义知D错误,应为t=t0时的 瞬时速度. 3.【解析】 ∵s(t)=3t2,t0=3, ∴s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-3·32 =18Δt+3(Δt)2. ∴ s(t0+Δt)-s(t0) Δt =18+3Δt. ∴lim Δt→0 (18+3Δt)=18. 【答案】 18 4.【解析】 v=lim Δt→0 1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32) Δt =lim Δt→0 (Δt+5)=5(米/秒). 【答案】 5 5.C 【解析】 ΔyΔx= f(x0+Δx)-f(x0) Δx =a+b ·Δx, f'(x0)=lim Δx→0 Δy Δx=limΔx→0 (a+b·Δx)=a.故选C. 6.B 【解析】 ∵f(x)图象过原点,∴f(0)=0, ∴f'(x0)=lim Δx→0 f(0+Δx)-f(0) Δx =limΔx→0 f(Δx) Δx =-1. 7.A 【解析】 由y=f(x)的图象可知,kA>kB,根据导 数的几何意义有:f'(xA)>f'(xB). 8.【解析】 ∵lim Δx→0 f(a+Δx)-f(a) Δx =m , 则lim Δx→0 f(a-Δx)-f(a) -Δx =m. ∴lim Δx→0 f(a+Δx)-f(a-Δx) Δx 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·37·