必刷题十 直线和圆的方程-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

必刷题十 直线和圆的方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 直线的倾斜角、斜率公式 1.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,3)为端点的 线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 . 2.(多选)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜 角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是 ( ) A.k1<k3<k2 B.k3<k2<k1 C.α1<α3<α2 D.α3<α2<α1 直线方程的五种形式 3.(多选)下列说法正确的有 ( ) A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则点(k,b) 在第二象限 B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2) C.过点(2,-1)斜率为- 3的点斜式方程为y+1= - 3(x-2) D.斜率为-2,在y轴截距为3的直线方程为y=-2x ±3 4.过点A(4,2)且在x轴上截距是在y 轴上截距的3倍 的直线l的方程为 . 两直线的位置关系 5.若直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一 点,则点(m,n)与原点之间的距离的最小值为 ( ) A.5 B.6 C.2 3 D.2 5 类型一 求圆的一般方程 【例1】 已知 A(2,2),B(5, 3),C(3,-1),求△ABC 外 接圆的方程. 【关键技巧】 用待定系数法求圆的方程时 一般方程和标准方程的选择 (1)如果由已知条件容易求得 圆心坐标、半径或需利用圆心 的坐标或半径列方程的问题, 一般采用圆的标准方程,再用 待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或 半径都无直接关系,一般采 用圆的一般方程,再用待定 系数法求出参数D,E,F. 【解】 法一:设所求的圆的 方程为x2+y2+Dx+Ey +F=0, 由题意得 2D+2E+F+8=0, 5D+3E+F+34=0, 3D-E+F+10=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 D=-8, E=-2, F=12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABC 外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0. 法二:设所求的圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意得 (2-a)2+(2-b)2=r2, (5-a)2+(3-b)2=r2, (3-a)2+(-1-b)2=r2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 a=4, b=1, r2=5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故所求的圆的方程 为(x-4)2+(y-1)2=5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·33· 6.(多选)已知直线l经过点(3,4),且点A(-2,2),B(4, -2)到直线l的距离相等,则直线l的方程可能为 ( ) A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.x+2y+2=0 D.2x-3y+6=0 圆的方程 7.点 M 为圆C:(x+2)2+(y+1)2=1上任意一点,直线 (1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ过定点P,则|MP|的最 大值为 ( ) A.2 3 B.13 C.2 3+1 D.13+1 8.(多选)已知圆C关于y 轴对称,经过点(1,0)且被x轴 分成两段,弧长比为1∶2,则圆C可能的方程为 ( ) A.x2+ y+ 33 2 =43 B.x 2+ y- 33 2 =43 C.(x- 3)2+y2=43 D. (x+ 3)2+y2=43 9.已知三个点A(0,0),B(2,0),C(4,2),则△ABC 的外 接圆的圆心坐标为 . 直线与圆的位置关系 10.已知圆C:(x-1)2+y2=25与直线l:mx+y+m+2 =0,若圆C 关于直线l对称,则m= ,当m = 时,圆C被直线l截得的弦长最短. 11.若斜率为3的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2 =1相切于点B,则|AB|= . 圆与圆的位置关系 12.以两圆C1:x2+y2+4x+1=0及C2:x2+y2+2x+ 2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为 ( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.x+35 2 + y+65 2 =45 D.x-35 2 + y-65 2 =45 13.已知两圆相交于两点A(1,3),B(t,-1),两圆圆心都 在直线x+2y+c=0上,则t+c的值为 . 类型二 两圆相交问题 【例2】 已知圆C1:x2+y2+ 6x-4=0和圆C2:x2+y2 +6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线 的方程及弦长; (2)求经过两圆交点且圆心 在直线x-y-4=0上的圆 的方程. 【关键技巧】 1.求两圆的公共弦所在直 线的方程的方法:将两圆方 程相减即得两圆公共弦所 在直线方程,但必须注意只 有当两圆方程中二次项系 数相同时,才能如此求解, 否则应先调整系数. 2.求两圆公共弦长的方法: 一是联立两圆方程求出交 点坐标,再用距离 公 式 求 解;二是先求出两圆公共弦 所在的直线方程,再利用半 径长、弦心距和弦长的一半 构成的直角三角形求解. 3.已知圆C1:x2+y2+D1x+ E1y+F1=0与圆C2:x2+y2 +D2x+E2y+F2=0相交, 则过两圆交点的圆的方程可 设为x2+y2+D1x+E1y+ F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+ F2)=0(λ≠-1). 【解】 (1)设 两 圆 交 点 为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标是方程组 x2+y2+6x-4=0, ① x2+y2+6y-28=0 ② 的解.①-②,得x-y+4 =0.∵A,B 两点坐标都满 足此方程, ∴x-y+4=0即为两圆公 共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心(-3,0),r = 13, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·43· 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 14.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求: (1)yx 的最大值和最小值; (2)y-x的最大值和最小值; (3)x2+y2的最大值和最小值. 15.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x-y+2 2=0 相切. (1)求圆O的方程; (2)过点 1,33 的直线l截圆所得弦长为2 3,求直 线l的方程. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 16.(2024·北京卷)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直 线x-y+2=0的距离为 ( ) A.2 B.2 C.3 D.3 2 17.(2024·全国甲卷(文))已知直线ax+y+2-a=0与 圆C:x2+y2+4y-1=0交于A,B 两点,则|AB|的 最小值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 C1到直线 AB 的距离为d =|-3+4| 2 = 22 , ∴|AB|=2r2-d2= 2 13-12=5 2 , 即两圆的公共弦长为5 2. (2)法 一:解 方 程 组 x2+y2+6x-4=0, x2+y2+6y-28=0, 得两 圆的交点A(-1,3),B(-6, -2). 设所求圆的圆心为(a,b), 因圆心在直线x-y-4=0 上,故b=a-4. 则 有 (a+1)2+(a-4-3)2 = (a+6)2+(a-4+2)2, 解得a=12 , 故圆心为 1 2 ,-72 ,半径为 1 2+1 2 + -72-3 2 = 892. 故圆 的 方 程 为 x-12 2 + y+72 2 =892 , 即x2+y2-x+7y-32 =0. 法二:∵圆x2+y2+6y- 28=0的圆心(0,-3)不在 直线x-y-4=0上,故可 设所求圆的方程为x2+y2 +6x-4+λ(x2+y2+6y- 28)=0(λ≠-1),其圆心为 - 31+λ ,- 3λ1+λ ,代 入 x -y-4=0,求得λ=-7. 故所求圆的方程为x2+y2 -x+7y-32=0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·53· 设二面角F-BM-E 的平面角为θ,所以|cosθ|=| cos<n1,n2>|= |n1·n2| |n1||n2| =1113 , 因为θ∈[0,π],所以sinθ>0,即sinθ= 1-cos2θ= 4 3 13 , 所以二面角F-BM-E 的正弦值为4 313. 必刷题十 1.【解析】 法一:设PA 与PB 的倾斜角分别为α,β,直 线PA 的斜率是kAP =1,直线 PB 的斜率是kBP = - 3,当直线l由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的取值范围为[1, +∞).当直线l由PC 变化到PB 的位置时,它的倾 斜角由90°增至β,斜率的变化范围是(-∞,- 3]. 故斜率的取值范围是(-∞,- 3]∪[1,+∞). 法二:设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x -1),即kx-y-k=0.∵A,B 两点在直线l的两侧或 其中一点在直线l上,∴(2k-1-k)(- 3-k)≤0,即 (k-1)·(k+ 3)≥0,解得k≥1或k≤- 3.即直线l 的斜率的取值范围是(-∞,- 3]∪[1,+∞). 【答案】 (-∞,- 3]∪[1,+∞) 2.AD 【解析】 如题图,直线l1,l2,l3的斜率分别为 k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则k2>k3>0,k1< 0,故π2>α2>α3>0 ,且α1为钝角,故选AD. 3.ABC 【解析】 对于A中,由直线y=kx+b过第一、 二、四象限,所以直线的斜率k<0,截距b>0,故点(k, b)在第二象限,所以A正确;对于B中,由直线方程y =ax-3a+2,整理得a(x-3)+(-y+2)=0,所以 无论a取何值点(3,2)都满足方程,所以B正确;对于 C中,由点斜式方程,可知过点(2,-1)斜率为- 3的 点斜式方程为y+1=- 3(x-2),所以C正确;由斜 截式直线方程得到斜率为-2,在y 轴上的截距为3 的直线方程为y=-2x+3,所以D错误.故选ABC. 4.【解析】 当直线过原点时,它在x轴,y轴上的截距都 是0,满足题意.此时,直线的斜率为12 ,所以直线方程 为y=12x ;当直线不过原点时,由题意可设直线方程 为x 3a+ y a =1 ,又直线过A(4,2),所以43a+ 2 a=1 ,解 得a=103 ,方程为x+3y-10=0.综上,所求直线方程 为y=12x 或x+3y-10=0. 【答案】 y=12x 或x+3y-10=0 5.A 【解析】 由 y=2x , x+y=3, 解得 x=1,y=2. 把(1,2)代入 mx+ny+5=0,可得m+2n+5=0,∴m=-5-2n. ∴点 (m,n)与 原 点 之 间 的 距 离 d= m2+n2= (5+2n)2+n2= 5(n+2)2+5≥ 5,当n=-2,m= -1时取等号.∴点(m,n)与原点之间的距离的最小 值为 5,故选A. 6.AB 【解析】 当直线l的斜率不存在时,显然不满足 题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-4 =k(x-3),即 kx-y+4-3k=0.由 已 知 得 |-2k-2+4-3k| k2+1 =|4k+2+4-3k| k2+1 ,所以k=2或k =-23 ,所以直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y -18=0.故选AB. 7.D 【解析】 整理直线方程得:(x+y-2)+(3x+2y -5)λ=0,由 x+y-2=0 , 3x+2y-5=0 得 x=1,y=1, ∴P(1,1),由 圆的方程知圆心C(-2,-1),半径r=1,∴|MP|max =|CP|+r= (-2-1)2+(-1-1)2+1+1= 13 +1.故选D. 8.AB 【解析】 由题意知圆心在y轴上,且被x轴所分 劣弧所对圆心角为2π 3 ,设圆心C(0,a),半径为r,则 rsinπ3=1 ,rcosπ3=|a| ,解得r=2 3 ,即r2=43 ,|a|= 3 3 ,即a=± 33 ,故圆C的方程为x2+ y± 33 2 =43. 9.【解析】 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则 F=0, 4+2D+F=0, 20+4D+2E+F=0, 解得 D=-2, E=-6, F=0, 所以圆 的 方 程 为x2-2x+y2-6y=0,即(x-1)2+(y-3)2=10,所 以圆心坐标为(1,3). 【答案】 (1,3) 10.【解析】 ∵圆C:(x-1)2+y2=25关于直线l:mx +y+m+2=0对称,则圆心(1,0)在直线l:mx+y +m+2=0上,故有m+0+m+2=0,求得m=-1. 由于直线l:mx+y+m+2=0,即m(x+1)+y+2= 0,经过定点M(-1,-2),故当CM 和直线l垂直时, 圆C被直线l截得的弦长最短,此时,-m·kCM=- 1,即-m·-2-0-1-1=-1 ,求得m=1. 【答案】 -1 1 11.【解析】 设圆心为 M,由直线的斜率为 3知此切线 的倾斜 角 为 60°,又 切 线 与 y 轴 交 点 为 A,所 以 ∠MAB=30°,又∠ABM=90°,且 MB=1,所以AM =2,即|AB|= AM2-BM2= 3. 【答案】 3 12.B 【解析】 C1:(x+2)2+y2=3,C2:(x+1)2+ (y+1)2=1,直线C1C2的方程为x+y+2=0.公共 弦所在直线方程为x-y=0. 由 x+y+2=0, x-y=0 得 x=-1,y=-1. 故圆心为(-1,-1), 结合选项,选B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·96· 13.【解析】 根据题意,由相交弦的性质,相交两圆的连 心线垂直平分相交弦,可得AB 与直线x+2y+c=0 垂直,且AB 的中点在直线x+2y+c=0上.由AB 与直线x+2y+c=0垂直,可得3- (-1) 1-t =2 ,解得t =-1,则B(-1,-1),故AB 中点为(0,1),且其在 直线x+2y+c=0上,代入直线方程可得0+2×1+ c=0,可得c=-2,故t+c=(-1)+(-2)=-3. 【答案】 -3 14.【解】 (1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点 (2,0)为圆心,以 3为半径的圆. 设y x =k ,即y=kx,易知圆心(2,0)到y=kx的距离 等于半径时,直线与圆相切,斜率取得最大、最小值. 由|2k-0| k2+1 = 3,解得k2=3, ∴k= 3或k=- 3. ∴yx 的最大值为 3,最小值为- 3. (2)设y-x=b,则y=x+b,由 点 到 直 线 的 距 离 公式, 得|2-0+b| 2 = 3,即b=-2± 6. 故y-x的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6. (3)x2+y2表示圆上的一点与原点的距离的平方,由 平面几何知识知,在原点和圆心的连线与圆的两个交 点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为 (2-0)2+(0-0)2=2,所 以 x2+y2的 最 大 值 是 (2+ 3)2=7+4 3,x2+y2的最小值是(2- 3)2=7 -4 3. 15.【解】 (1)∵直线x-y+2 2=0与圆O:x2+y2= r2相切, ∴圆心O(0,0)到直线的距离等于圆的半径r, 即2 2 2 =r,∴r=2. ∴圆O 的方程为x2+y2=4. (2)设直线l的方程为y- 33=k (x-1), 即kx-y+ 33-k=0. ∵直线l截圆所得弦长为2 3. ∴圆心到直线l的距离d= 4-3=1. ∴ 3 3-k k2+1 =1,解得k=- 33 , ∴直线l的方程为- 33x-y+ 2 3 3 =0 , 即x+ 3y-2=0, 又x=1也适合题意. 故直线l的方程为x+ 3y-2=0或x=1. 16.D 【解析】 化圆的方程为标准方程,得(x-1)2+ (y+3)2=10,所以该圆的圆心(1,-3)到直线x-y +2=0的距离为|1- (-3)+2| 12+(-1)2 =6 2 =3 2. 17.C 【解析】 设直线为l:ax+y+2-a=0,即l:a(x -1)+y+2=0,易知l过定点P(1,-2),圆C 的标 准方程为x2+(y+2)2=5,所以圆心为C(0,-2), 半径为 5,且P 在圆C 内.因为当PC⊥AB 时,圆心 C到直线l的距离最大,此时|AB|取得最小值,易得 |PC|=|xP-xC|=1,所以|AB|=2 (5) 2-12= 4,故选C. 必刷题十一 1.D 【解析】 ∵|PF1|+|PF2|=a+ 9 a≥2 a ·9 a =6=|F1F2|, 当|PF1|+|PF2|>|F1F2|时,P 点的轨迹是椭圆; 当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,P 点的轨迹是线段 F1F2. 2.【解析】 依题意,有 |PF1→|+|PF2→|=2a, |PF1→|·|PF2→|=18, |PF1→|2+|PF2→|2=4c2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3. 【答案】 3 3.ABC 【解析】 可知两个方程均表示焦点在x 轴上 的椭圆,故A正确;曲线C1焦距为2c=2 25-9=8, 曲线C2焦距为2c=2 (25-k)-(9-k)=8,故B、C 正确;曲线C1的离心率e= c a = 4 5 ,曲线C2的离心率 e=ca = 4 25-k ,故D不正确. 4.D 【解析】 在Rt△ABF 中,|AB|= a2+b2,|BF| =a,|AF|=a+c,由|AB|2+|BF|2=|AF|2,得a2 +b2+a2=(a+c)2.将b2=a2-c2代入,得a2-ac- c2=0,即e2+e-1=0解得e=-1± 52 ,因为0<e< 1,所以e= 5-12 . 故选D. 5.C 【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的 交点,中点 M(x0,y0),由 y=x+1, x2 4+ y2 2=1 , 得3x2+4x-2 =0. x0= x1+x2 2 = 1 2 · -43 =-23,y0=x0+1=13, ∴中点坐标为 -23 ,1 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·07·