必刷题三 函数的概念与性质-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

第1部分学而不厌：复习一年半内容· 必刷题三 函数的概念与性质 ↓提分好题》必刷 ↓加分例题》必讲 考点1函数的概念与表示 己知函数奇偶性 1.在下列函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是( 类型一 求函数解析式 Af)=x-1,g(x)=-1 x+1 【例1】(1)已知y=f(x)是 定义在R上的偶函数，当x B.fx)=x+1,g(x)= x+1,x≥-1， -1-x,x<-1 ≥0时，f(x)=x2-2x,求 C.f(x)=1,g(x)=(x+1) f(x)在R上的解析式. 【解】设x<0,则一x>0 D.f(x)=,g(x)=() .f-x)=(-x)2-2(-x) 2已知函数/）=2r-3x,则2) =x2+2x. 又y=f(x)是定义在R上的 A.-1 B.1 C.2 D.3 偶函数，.f(一x)=f(x), 考点2分段函数 ∴f(x)=x2+2x(.x<0). 2x-3,x≥1， jx2-2x,x≥0， 3.设函数f(x)= x2-2x-2,x<1, 若f(xo)=1,则x。= fx)=+2x,x0. ( (2)若f(x)是定义在R上 A.-1或2 B.2或3 的奇函数，当x<0时 C.-1或3 D.-1或2或3 f(x)=x(2-x),求函数 f(x)的解析式. 4.已知函数f(x)= z十1x≥0若f(a)=2,则实数 【解】，f(x)是定义在R 4x,x<0, 上的奇函数，f(一x)= a= -f(x),f(0)=0. 考点③函数的单调性 当x>0时，一x<0,则 5.设f(x)的定义域为R,图象关于y轴对称，且f(r)在 f-x)=一x(2+x)=-fx), [0,十∞)上为增函数，则f(一2)，f(-π)，f(3)的大小 ∴.f(x)=x(x+2). 顺序是 x(x十2)(x>0). A.f(-r)<f(-2)<f(3) 故f(x)=0(x=0): B.f(-2)<f(3)<f(-x) x(2-x)(x<0). C.f(-π)<f(3)<f(-2) (3)设函数y=F(x)的定义 D.f(3)<f(-2)<f(-π) 域为[-m,m](m>0). 6.(多选)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误 试探究y=F(x)可否写为 的是 奇函数f(x),与偶函数 ( g(x)的和的形式，若能，求 A.y=在R上为减函数 出f(x)与g(x). 【关键技巧】 B.y=|f(x)|在R上为增函数 利用函数奇偶性求函数解 Cy=问在R上为增函数 析式的步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个 D.y=一f(x)在R上为减函数 区间上求解析式，x就应在 7.函数f(x)=|x一2|x的单调递减区间是 哪个区问上设； ·7· —●●●必刷题·高二数学 考点4函数的最值（值域） (2)转化到已知区间上，代 8.函数f(x)=9-a.x(a>0)在[0,3]上的最大值为( 入已知的解析式： A.9 B.9(1-a) (3)利用(x)的奇偶性写 C.9-a D.9-a 出一f(x)或f(一x),从而 解出f(x). 9.函数y=x十√2.x-1 ( 【解】设f(x)十g(x)= A.有最小值号，无最大值 B有最大值2，无最小值 F(x),① x∈[-m,m].∴.f(-x)十 C.有最小值，有最大值2D.无最大值，也无最小值 g(-x)=F(-x). 又f(x)为奇函数，g(x) 考点5函数的奇偶性 为偶函数，.一f(x)十 10若函数)车。2在定义城上为奇函数，则实 g(x)=F(-x).② ①+②得，2g(x)=F(x)十 数k= 11.已知函数f(x)=a.x+hx3+2.若f(x)在区间[一t,t] F(-.g()=2tF) 上的最大值为M,最小值为m,则M+m= +F(-x)]. 考点6函数的周期性 ①-②得，2f(x)=F(x)- 12.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[一1,1) F(-0∴f)=2[F 时，f(x)= +2-1r<0则f） -F(-x)] x,0≤x1, 故F(x)可写为f(x)十 13.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当 g(x)的形式. 0≤x<2时，f(x)=x-x,则函数y=f(x)的图象在 区间[0,6]上与x轴的交点个数为 )=r）--n. 刷综合·高分 g(r)= 2[F(D+F(-] 14.已知函数f(.x)=x2+|x-a+1,a∈R. (1)试判断f(x)的奇偶性： 类型一 抽象函数单调性 及最值的求解 (2)若-<a≤求fx)的最小值. 【例2】 已知函数f(x)对任 意x,y∈R,总有f(x)+ f(y)=f(x+y),且当x> 0时，f(x)<0,f(1)= 2 (1)求证：f(x)在R上是减 函数： (2)求f(x)在[-3,3]上的 最大值与最小值. 【关键技巧】 抽象函数一般由方程（不等 式)确定，这类函数的单调 性问题一般用单调性的定 义来处理，但要注意运用好 所给条件，判断出数值之间 的关系，常见思路是：先在 ·8· 第1部分学而不厌：复习一年半内容· 15.已知函数f(x)=一1， x+2x∈[3,5]. 所证区间上设出任意x1,x2 (1<x2),然后利用题设条 (1)判断函数f(x)的单调性； 件向已知区间上转化，最后 (2)求函数f(x)的最大值和最小值. 运用函数单调性的定义解决 问题. 注意：若给出的是和型[f(x十 y)=…门抽象函数，判定符号时 的变形为f(x2)一f(x1）= f几(x2-x)+x1]-f(x), f(x2)-f八x)=f(x2)一f(x -x2)十x2]: 若给出的是积型[f(xy)= …]抽象函数，判定符号时的 变形为f(2)一f(1)= ) 【解】(1)证明：令x=y=0, 得f(0)+f(0)=f(0), .f(0)=0. 又令y=-x,得fx)十f(-x) =f(x-x)=f(0)=0, .f(-x)=-f(x). 任取x1x2∈R,且1<x2, 则x2-x1>0,f(x)-f(x1) =f(x2)十f(-x1) =f（x2-x1）. :x2一>0，依题设x>0 时，有f(x)<0, f(x2-x1)<0,即f(x) f(x1)<0, ∴.f(x2)<f(x1). .y=f(x)在R上是减函数 (2)[-3,3]CR, 故f(x)nmx=f-3), 刷真题·满分 f(x）mm=f(3). 16.(2024·新课标I卷)已知函数f(x)的定义域为R, 由(1)可知f(-3)=-f(3), 又，f(3)=f(2十1)=f(2) f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时f(x)=x, +f(1)=f(1+1)+f(1)= 则下列结论中一定正确的是 f(1)+f(1)+f(1)=3f(1) A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 =3×(-号)=-2 17.(2024·上海卷)已知f(x)=x3+a,x∈R,且f(x)是 ∴.f(-3)=-f(3)=2, 奇函数，则a= ∴f(x)x=f(-3)=2, f(x)mm=f（3)=-2. 9·=5,所以4x+3y=(4x+3y)·15 (3 y+ 1 x )=15 (4 +9+3yx + 12x y )≥15 (4+9+2 36)=5,当且仅当 3y x = 12x y ,即y=2x时,等号成立,故4x+3y的最小 值为5. (2)【解析】 令x+2=m,y+1=n,则m+n=4,且 m>2,n>1,所以 x 2 x+2+ y2 y+1= (m-2)2 m + (n-1)2 n =4m+ 1 n-2= 4 m+ 1 n m4+n4 -2 =m4n+ n m - 3 4≥2 m 4n ·n m - 3 4= 1 4 , 当且仅当 m 4n= n m , m+n=4, 即m=83,n=43时取等号. 所以 x 2 x+2+ y2 y+1 的最小值为1 4. 【答案】 14 (3)【解析】 由x-2y+3z=0,得y=x+3z2 ,所以y 2 xz =x 2+9z2+6xz 4xz = x 4z+ 9z 4x+ 3 2. 又x,z均为正实数,所以x4z>0 ,9z 4x>0 ,所以y 2 xz= x 4z +9z4x+ 3 2≥2 x 4z ·9z 4x+ 3 2=3 ,当且仅当x 4z= 9z 4x 即 x=3z时取等号.所以y 2 xz 的最小值为3. 【答案】 3 15.【解】 (1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1 +x)]×1000×(1+0.6x)(0<x<1),整理得y= -60x2+20x+200(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加, 当且仅当 y- (1.2-1)×1000>0, 0<x<1, 即 -60x2+20x>0, 0<x<1, 解不等式,得0<x<13 ,所以为保证本年度的年利润 比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应满足0 <x<13. 16.A 【解析】 因为|x-1|<2⇔-2<x-1<2⇔-1 <x<3,且(-1,3)是(-x,3)的真子集,所以“|x-1 |<2”是“x<3”的充分不必要条件.故选:A. 17.【解析】 方程x2-2x-3=0的解为x=-1或x= 3,故不等式x2-2x-3<0的解集为{x|-1<x< 3},故答案为:{x|-1<x<3}. 【答案】 {x|-1<x<3} 必刷题三 1.B 【解析】 对于 A,函数f(x)的定义域为 R,g(x) 的定义域为{x|x≠-1},f(x)与g(x)的定义域不相 同,则不是同一函数;对于B,函数f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为 R,f(x)与g(x)的定义域相同, f(x)=|x+1|= x+1,x≥-1, -1-x,x<-1, 对应关系相同,则 f(x)与g(x)是同一函数;对于C,函数f(x)的定义域 为R,g(x)的定义域为{x|x≠-1},f(x)与g(x)的定 义域不相同,则不是同一函数;对于D,函数f(x)的定 义域为R,g(x)的定义域为{x|x≥0},f(x)与g(x)的 定义域不相同,则不是同一函数.故选B. 2.A 【解析】 令 4x+1=2 ,则 x=1,所 以 f(2)= f 41+1 =2-3=-1.故选A. 3.A 【解析】 当x0≥1时,f(x0)=2x0-3,∴2x0-3 =1,∴x0=2;当x0<1时,f(x0)=x20-2x0-2,∴x20 -2x0-2=1,解得x0=3(舍去),x0=-1,故选A. 4.【解析】 当a≥0时,f(a)=a+1=2,解得a=1,符合 条件.当a<0时,f(a)=4a=2,解得a=12 ,不符合条 件,所以实数a=1. 【答案】 1 5.B 【解析】 ∵f(x)的定义域为 R,图象关于y轴对 称,∴f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π), 又f(x)在[0,+∞)上为增函数,且2<3<π,∴f(2)< f(3)<f(π),∴f(-2)<f(3)<f(-π).故选B. 6.ABC 【解析】 对于 A,若f(x)=x,则y= 1|f(x)| = 1|x| ,在R上不是减函数,错误; 对于B,若f(x)=x,则y=|f(x)|=|x|,在R上不是 增函数,错误; 对于C,若f(x)=x,则y=- 1f(x)=- 1 x ,在 R上不 是增函数,错误; 对于D,函数f(x)在 R 上为增函数,则对于任意的 x1,x2∈R,设x1<x2,必有f(x1)<f(x2),对于y= -f(x),则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]= f(x2)-f(x1)>0,则y=-f(x)在R上为减函数,正 确.故选ABC. 7.【解析】 f(x)= x2-2x,x≥2, -x2+2x,x<2. 画出f(x)的大致 图象(如图所示), 由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]. 【答案】 [1,2] 8.A 【解析】 ∵a>0, ∴f(x)=9-ax2(a>0)开口向下以y轴为对称轴, ∴f(x)=9-ax2(a>0)在[0,3]上单调递减, ∴x=0时,f(x)最大值为9. 9.A 【解析】 f(x)=x+ 2x-1的定义域为 12 ,+∞ , 在定义域内单调递增,∴f(x)有最小值f 12 =12, 无最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·75· 10.【解析】 因为f(x)在定义域上为奇函数,所以f(-x) =-f(x),即 k-2 -x 1+k·2-x = 2 x-k 1+k·2x ,即k·2 x-1 2x+k = 2x-k k·2x+1 ,根据等式恒成立可得,k=±1. 【答案】 ±1 11.【解析】 令g(x)=ax3+bx5,则g(x)为奇函数,当 x∈[-t,t]时,g(x)max+g(x)min=0,又f(x)= g(x)+2,∴M=g(x)max+2,m=g(x)min+2,∴M +m=g(x)max+2+g(x)min+2=4. 【答案】 4 12.【解析】 由 题 意 得,f 32 =f -12 = -4× -12 2 +2=1. 【答案】 1 13.【解析】 因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x.又f(x) 是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,则 f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0,所以 f(3)=f(5)=f(1)=0,故函数y=f(x)的图象在区 间[0,6]上与x轴的交点有7个. 【答案】 7 14.【解】 (1)当a=0时, 函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数. 当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a), 此时,f(x)为非奇非偶函数. (2)当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1= x-12 2 +a+ 3 4 ;∵a≤12 ,故函数f(x)在(-∞,a]上单调递减, 从而函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1. 当x≥a时, 函数f(x)=x2+x-a+1= x+12 2 -a+34 , ∵a≥-12 ,故函数f(x)在[a,+∞)上单调递增, 从而函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1. 综上得,当-12≤a≤ 1 2 时,函数f(x)的最小值为a2+1. 15.【解】 (1)任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= x1-1 x1+2 - x2-1 x2+2 = (x1-1)(x2+2)-(x2-1)(x1+2) (x1+2)(x2+2) = x1x2+2x1-x2-2-x1x2-2x2+x1+2 (x1+2)(x2+2) = 3(x1-x2) (x1+2)(x2+2) ∵x1,x2∈[3,5]且x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)=x-1x+2 在[3,5]上为增函数. (2)由(1)知,当x=3时,函数f(x)取得最小值,为f(3) =25 ;当x=5时,函数f(x)取得最大值,为f(5)=47. 16.B 【解析】 赋值法 因为当x<3时,f(x)=x,所 以f(1)=1,f(2)=2.对于f(x)>f(x-1)+f(x- 2),令x=3,得f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3;令x =4,得f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5;依次类推,得 f(5)>f(4)+f(3)>5+3=8;f(6)>f(5)+f(4) >8+5=13;f(7)>f(6)+f(5)>13+8=21;f(8) >f(7)+f(6)>21+13=34;f(9)>f(8)+f(7)> 34+21=55;f(10)>f(9)+f(8)>55+34=89; f(11)>f(10)+f(9)>89+55=144;f(12)>f(11) +f(10)>144+89=233;f(13)>f(12)+f(11)> 233+144=377;f(14)>f(13)+f(12)>377+233 =610;f(15)>f(14)+f(13)>610+377=987;…. 显然f(16)>1000,所以f(20)>1000,故选B. 17.【解析】 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 即(-x)3+a=-(x3+a),得a=0. 优解:因为f(x)是奇函数,所以f(0)=a=0. 【答案】 0 必刷题四 1.AC 【解析】 本题考查幂函数的性质. 设幂函数f(x)=xα,将点(4,2)的坐标代入函数f(x) =xα得2=4α,则α=12 ,所以f(x)=x 1 2.显然f(x)在 定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确. f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性, 所以B不正确. 当x≥9时,x≥3,即f(x)≥3,所以C正确. 对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)>0,当0<x1< x2时, f(x1)+f(x2) 2 2 - f x1+x2 2 2 = x1+ x2 2 2 - x1+x2 2 2 = x1+x2+2 x1x2 4 - x1+x2 2 = 2 x1x2-x1-x2 4 =- ( x1- x2)2 4 <0 即f (x1)+f(x2) 2 <f x1+x2 2 成立,所以D不正确. 2.【解析】 不等式(a+1)- 1 3<(3-2a)- 1 3 等价于a+1 >3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a, 解得a<-1或23<a< 3 2. 【答案】 (-∞,-1)∪ 23 ,3 2 3.【解析】 原式=2 ·4 3 2a 3 2b- 3 2 10a 3 2b- 3 2 =85. 【答案】 85 4.【解析】 由根与系数的关系得α+β=-2,αβ= 1 5. 则2α·2β=2α+β=2-2=14 ,(2α)β=2αβ=2 1 5. 【答案】 14 2 1 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·85·