必刷题七 立体几何初步-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

必刷题七 立体几何初步 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 空间几何体的结构特征、直观图 1.下列说法正确的是 ( ) A.有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些 面围成的多面体是棱锥 B.有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体 是棱台 C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这 个棱锥可能为六棱锥 D.如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱 是长方体 2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a的正方形,则原平面四边形的面积等于 ( ) A.24a 2 B.2 2a2 C.22a 2 D.2 23a 2 空间几何体的表面积与体积 3.已知一个圆锥的母线长为4,且其侧面积是其轴截面面 积的4倍,则该圆锥的高为 ( ) A.π B.3π2 C. 2π 3 D. π 2 4.(多选)如图所示的圆锥的底面半径 为3,高为4,则 ( ) A.该圆锥的母线长为5 B.该圆锥的体积为12π C.该圆锥的表面积为15π D.三棱锥S ABC 体积的最大值为12 5.已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且 AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O ABC 的体积为 ( ) A.212 B. 3 12 C. 2 4 D. 3 4 类型一 平行关系的综合应用 【例1】 如图,四边形ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面 ABCD,AF⊥平面 ABCD,DE=3,AF=1. (1)证 明:平 面 ABF∥平 面DCE; (2)在DE 上是否存在一点 G,使平面 FBG 将几何体 ABCDEF 分成上、下两部 分的体积比为3∶5? 若存 在,求出点G 的位置;若不 存在,请说明理由. 【关键技巧】 1.判定面面平行的主要方法 (1)利 用 面 面 平 行 的 判 定 定理; (2)线面垂直的性质(垂直于 同一直线的两平面平行). 2.解决这种数值或存在性问 题的题目时,注意先给出具 体的值或先假设存在,然后 再证明. 【解】 (1)证明:∵DE⊥平 面ABCD,AF⊥平面 AB- CD,∴DE∥AF, 又 DE⊂平面 DCE,AF⊄ 平 面 DCE,∴ AF ∥ 平 面DCE, ∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形,∴AB∥CD, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·12· 空间点、直线、平面之间的位置关系 6.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉ l,直线AB∩l=M,过A,B,C 三点 的平面记作γ,则γ与β 的交线必通 过 ( ) A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 7.(多选)下列四个命题中是真命题的为 ( ) A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B.过空间中任意三点有且仅有一个平面 C.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行 D.若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l 直线、平面平行的判定与性质 8.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,且m⊂α,n⊂ α,则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱 锥中与平面α平行的棱有 ( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条 10.在三棱锥P ABC 中,PB=6,AC=3,G为△PAC的 重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB 和AC,则截面的周长为 . 直线、平面垂直的判定与性质 11.(多选)已知α,β是空间两个不同的平面,m,n是空间两 条不同的直线,则给出的下列说法中正确的是 ( ) A.m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β B.m∥α,n∥β,且m⊥n,则α⊥β C.m⊥α,n⊥β,且m∥n,则α∥β D.m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β 12.如图,在斜三棱柱 ABC A1B1C1中, ∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面 ABC上的射影H 必在 ( ) A.直线AB 上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 又CD⊂平面 DCE,AB⊄ 平 面 DCE,∴ AB ∥ 平 面DCE, ∵AB∩AF=A,AB⊂平面 ABF,AF⊂平面ABF, ∴平面ABF∥平面DCE. (2)存在点G,满足题意,理 由如下: 在DE 上取DN=AF=1, 连接 FN,NC,可证 NC􀱀 BF.假设存在一点G,过G 作MG∥NC交EC 于M, 连接BG,BM,FG,如图,由 V几何体ABCDEF=V四棱锥BADEF+ V三棱锥BCDE= 1 3×3× (1+3)×3 2 +13×3× 3×3 2 = 21 2 , 设EG=t, ∵△EGM∽△ENC, ∴EGEN= t 3-1= EM EC. 则V几何体GFBME=V三棱锥BEFG+ V三棱锥BEGM= 21 2× 3 8= 63 16 ,设 M 到ED的距离为h, 则h 3= EM EC ,∴h3= t 2 ,即h =32t ,则S△EGM = 1 2×t× 3 2t= 3 4t 2, V几何体GFBME =V三棱锥BEFG + V三棱锥BEGM = 1 3×3× 1 2×3 ×t+13×3× 3 4t 2=6316 ,即 4t2+8t-21=0, 解得t=32 或t=-72 (舍), 则存在点G,满足EG=32 ,即 G为ED的中点时满足条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·22· 13.已知平面α,β和直线m,给出以下条件:(1)m∥α; (2)m⊥α;(3)m⊂α;(4)α⊥β;(5)α∥β,当条件 成立时,有m∥β;当条件 成立时,有m⊥β. (填所选条件的序号) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 14.如图,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为平行四边 形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证: (1)BE∥平面DMF; (2)平面BDE∥平面 MNG. 类型二 平面与平面垂直 的判定与性质 【例2】 如 图,四 棱 锥 P ABCD 的底面是矩形,PD ⊥底面ABCD,M 为BC 的 中点,且PB⊥AM. (1)证明:平面 PAM⊥平 面PBD; (2)若PD=DC=1,求四棱 锥P ABCD 的体积. 【关键技巧】 1.判定面面垂直 的 方 法: (1)面面垂直的定义;(2)面 面垂直的判定定理(a⊥β,a ⊂α⇒α⊥β). 2.已知平面垂直时,解题一 般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂 线,将问题转化为 线 面 垂 直,然后进一步转化为线线 垂直. 【解】 (1)证明:∵PD⊥平 面ABCD,AM⊂平面AB- CD, ∴PD⊥AM. ∵PB⊥AM,且 PB∩PD =P,PB⊂平面 PBD,PD ⊂平面PBD, ∴AM⊥平面PBD, 又AM⊂平面PAM, ∴平面PAM⊥平面PBD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·32· 15.如图,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平 面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F 分 别为AD,PB 的中点. (1)求证:PE⊥BC; (2)求证:平面PAB⊥平面PCD; (3)求证:EF∥平面PCD. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 16.(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相 等,侧面积相等,且它们的高均为 3,则圆锥的体积为 ( ) A.2 3π B.3 3π C.6 3π D.9 3π 17.(2024·全国甲卷(理))已知圆台甲、乙的上底面半径 均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为 2(r2-r1),3(r2-r1),则 圆 台 甲 与 乙 的 体 积 之 比 为 . (2)∵M 为BC 的中点, ∴BM=12AD. 由题意知AB=DC=1. ∵AM⊥平面PBD, BD⊂平面PBD, ∴AM⊥BD, 由∠BAM+∠MAD=90°, ∠MAD+∠ADB=90°, 得∠BAM=∠ADB, 易得△BAM∽△ADB, ∴BMAB = AB AD ,即 1 2AD 1 = 1 AD ,得AD= 2, ∴S矩形ABCD=AD·DC= 2 ×1= 2, 则四棱锥 P ABCD 的体 积VPABCD = 1 3S矩形ABCD · PD=13× 2×1= 2 3. 【学习笔记】 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·42· 选择②,根据正弦定理有 sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC, 所以sin(A+B)=2sinCcosC, 即sinC=2sinCcosC. 因为C∈(0,π),所以sinC≠0,从而有cosC=12 , 故C=π3. 选择③, 因为1 2casinB= 1 2c (asinA+bsinB-csinC), 所以asinB=asinA+bsinB-csinC,由正弦定理得 ab=a2+b2-c2, 由余弦定理,得cosC=a 2+b2-c2 2ab = ab 2ab= 1 2 , 又因为C∈(0,π),所以C=π3. (2)在△ACD 中, AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC, 即b2=1+3-2 3cos∠ADC. 在△BCD 中, BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC, 即a2=1+3-2 3cos∠BDC. 因为∠ADC+∠BDC=π, 所以cos∠ADC=-cos∠BDC, 所以a2+b2=8. 由C=π3 及c=2,得a2+b2-4=ab,所以ab=4, 从而a2+b2-2ab=0, 所以a=b=2. 16.B 【解析】 由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a ·b=0,所以b2=2a·b.将|a+2b|=2的两边同时 平方,得a2+4a·b+4b2=4,即1+2b2+4b2=1+6 |b|2=4,解得|b|2=12 ,所以|b|= 22 ,故选B. 17.D 【解析】 解法一(向量法+坐标法) 因为b⊥(b -4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a= (0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,得4+ x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. 解法二(坐标法) 因为a=(0,1),b=(2,x),所以b -4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4). 因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+ x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. 必刷题七 1.D 【解析】 选项A,有一个面是多边形,其余各面都 是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面 体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶 点,错误;选项B,棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的 平面所截而得的,而有两个面平行且相似,其余各面 都是梯形的多面体有可能不是棱台,因为它的侧棱延 长后不一定交于一点,错误;选项C,当棱锥的各个侧 面的共顶点的角之和是360°时,各侧面构成平面图 形,故这个棱锥不可能为六棱锥,错误;选项D,若每个 侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也 是长方形,符合长方体的定义,正确.故选D. 2.B 【解析】 根据斜二测画法画平面图形的直观图的 规则可知,在x 轴上(或与x 轴平行)的线段,其长度 保持不变;在y轴上(或与y 轴平行)的线段,其长度 变为原来的一半,且∠x'O'y'=45°(或135°),所以若 设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为S'= 1 2 · 2 2 ·S= 24S. 又直观图的面积为a2,所以原平面 四边形的面积S=a 2 2 4 =2 2a2. 3.A 【解析】 不妨设圆锥的底面半径为r,母线长为 l,高为h,根据题意,则4×12×2rh=πrl ,所以h=π4l =π4×4=π. 4.ABD 【解析】 该圆锥的母线长为 32+42=5,A正 确;该圆锥的体积为1 3×π×3 2×4=12π,B正确;该 圆锥的表面积为π×3×(3+5)=24π,C错误;当OB ⊥AC时,△ABC的面积最大,此时S△ABC= 1 2×6× 3=9,三棱锥S ABC 体积的最大值为13×9×4= 12,D正确.故选ABD. 5.A 【解析】 如图所示,因为AC⊥BC,所以AB 为截 面圆O1的直径,且 AB= 2.连接OO1,则OO1⊥面 ABC,OO1= 1- AB 2 2 = 1- 2 2 2 = 22 ,所以三 棱锥O ABC 的体积V=13S△ABC×OO1= 1 3× 1 2× 1×1× 22= 2 12. 6.D 【解析】 ∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l, M∈l,∴M∈β.根据基本事实3可知,M 在γ 与β 的 交线上.同理可知,点C也在γ 与β的交线上. 7.AD 【解析】 对于A,可设l1与l2相交,这两条直线 确定的平面为α;若l3与l1相交,则交点 A 在平面α 内,同理,l3与l2的交点B 也在平面α内,所以AB⊂α, 即l3⊂α,A为真命题; 对于B,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个, 故B为假命题; 对于C,两条直线有可能平行也有可能异面,故C为 假命题; 对于D,若直线m⊥平面α,则m 垂直于平面α内所有 直线,因为直线l⊂平面α,所以直线m⊥直线l,D为 真命题. 8.A 【解析】 m,n是两条不同的直线,α,β是两个不 同的平面,且m⊂α,n⊂α,则“α∥β”得“m∥β且n∥β”, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·36· 根据面面平行的判定定理得“m∥β且n∥β”不能得“α ∥β”,所以“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条 件.故选A. 9.C 【解析】 如图所示,平面α即平面EFGH,则四边 形EFGH 为平行四边形,则EF∥GH.∵EF⊄平面 BCD,GH⊂平面BCD,∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂ 平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,∴EF∥CD. 又EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH.∴CD∥平面 EFGH,同理,AB∥平面EFGH,所以与平面α(平面 EFGH)平行的棱有2条. 10.【解析】 如图,过点G 作EF∥AC,分别交PA,PC 于点E,F,过点E 作EN∥PB 交AB 于点N,过点F 作FM∥PB 交BC 于 点 M,连 接 MN,则 四 边 形 EFMN 是平行四边形(平面 EFMN 为所求截面), 且EF=MN=23AC=2 ,FM=EN=13PB=2 ,所以 截面的周长为2×4=8. 【答案】 8 11.CD 【解析】 A选项,若m∥α,n∥β,且m∥n,则α, β可能相交或平行,故 A错误;B选项,若m∥α,n∥ β,且m⊥n,则α,β可能相交,也可能平行,故B错误; C选项,若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n⊥β,则α∥β,故 C正确;D选项,若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,又n ⊥β,根据面面垂直的判定定理可得α⊥β,故D正确. 故选CD. 12.A 【解析】 连接 AC1(图略),由 AC⊥AB,AC⊥ BC1,AB∩BC1=B,得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平 面ABC,∴平 面 ABC1⊥平 面 ABC.∴C1在 平 面 ABC上的射影H 必在两平面的交线AB 上. 13.【解析】 根据面面平行的特征可得,若m⊂α,α∥β, 则m∥β;根据线面垂直以及面面平行的特征可得,若 m⊥α,α∥β,则m⊥β. 【答案】 (3)(5) (2)(5) 14.【证明】 (1)如图,连接AE,则AE 必过DF 与GN 的交点O,因为四边形ADEF 为平行四边形,所以O 为AE 的中点. 连接 MO,则 MO 为 △ABE 的 中 位 线,所 以 BE ∥MO, 又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF, 所以BE∥平面DMF. (2)因为 N,G 分别为平行四边形ADEF 的边AD, EF 的中点,所以DE∥GN, 又DE⊄平面 MNG,GN⊂平面 MNG,所以DE∥平 面 MNG. 因为M 为AB 的中点,N 为AD 的中点,所以MN 为 △ABD 的中位线, 所以BD∥MN,又 BD⊄平 面 MNG,MN⊂平 面 MNG,所以BD∥平面 MNG, 又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线,所以 平面BDE∥平面 MNG. 15.【证明】 (1)因为PA=PD,E 为AD 的中点, 所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD 为矩形,所以AB⊥AD. 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,AB⊂平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD, 因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD,AB∩PA=A, 所以PD⊥平面PAB. 因为PD⊂平面PCD, 所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如图,取PC的中点G,连接FG,DG. 因为F,G 分别为PB,PC的中点, 所以FG∥BC,FG=12BC. 因为四边形ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点, 所以DE∥BC,DE=12BC. 所以DE∥FG,DE=FG. 所以四边形DEFG 为平行四边形.所以EF∥DG. 又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD, 所以EF∥平面PCD. 16.B 【解析】 设圆柱和圆锥的底面半径均为r,因为 它们的高均为 3,且侧面积相等,所以2πr× 3=πr (3)2+r2,得r2=9,所以圆锥的体积V=13πr 2× 3=3 3π,故选B. 17.【解析】 两圆台的上、下底面积对应相等,则两圆台 的体积之比为高之比,根据母线与半径的关系可得 甲与乙的体积之比为 4(r2-r1)2-(r2-r1)2 9(r2-r1)2-(r2-r1)2 = 3 8 = 64. 【答案】 64 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·46·