必刷题六 平面向量及其应用与复数-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

kπ+π8 ,kπ+5π8 ,k∈Z,又x∈ 0,π2 ,则f(x)在 区间 0,π2 上的单调递减区间是 π8,π2 . 【答案】 π8 ,π 2 12.D 【解析】 令2x-π3= kπ 2 (k∈Z),解得x=π6+ kπ 4 (k∈Z),故函数的对称中心为 kπ4+ π 6 ,0 ,k∈Z. 故选D. 13.A 【解析】 设相邻最高点和最低点坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2),则y1=2 3,y2=-2 3,又函数 f(x)=2 3sinπxn (n>0)为奇函数,∴x1=-x2,当 πx n = π 2⇒x= n 2 时,函数取得最大值2 3,∴x1= n 2 ,x2=- n 2 ,由题,函数f(x)=2 3sinπxn (n>0) 图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆 O:x2+y2=n2上,∴ n2 2 +(2 3)2=n2⇒n=4, 则f(1)=2 3sinπ4= 6. 故选A. 14.【解】 (1)证明:∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ =12 ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ= 1 3 , ∴2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,① 3sinαcosβ-3cosαsinβ=1,② ②-①得sinαcosβ-5cosαsinβ=0, 则sinαcosβ=5cosαsinβ. (2)∵sin(α+β)= 1 2 ,sin(α-β)= 1 3 ,0<α+β< π 2 , 0<α-β< π 2 ,∴cos(α+β)= 3 2 ,cos(α-β)= 2 2 3 , 则cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α- β)-sin(α+β)sin(α-β)= 3 2 × 2 2 3 - 1 2 × 1 3 =2 6-16 . 15.【解】 (1)由①可得2πω=π⇒ω=2 ; 由②得ωπ6+φ=kπ+ π 2⇒φ=kπ+ π 2- πω 6 ,k∈Z; 由③得πω4+φ=mπ⇒φ=mπ- πω 4 ,m∈Z,T2≥ π 2- π 6= π 3⇒ 2π ω≥ 2π 3⇒0<ω≤3 ; 若①②成立,则ω=2,φ= π 6 ,f(x)=sin2x+π6 . 若①③成立,则φ=mπ- πω 4=mπ- π 2 ,m∈Z,不合 题意. 若②③成立,则kπ+π2- πω 6=mπ- πω 4⇒ω=12 (m- k)-6,m,k∈Z,由 ③ 中 的0<ω≤3,得 m-k∈ 1 2 ,3 4 ,与m,k∈Z矛盾,所以②③不成立. 所以只有①②成立,f(x)=sin2x+π6 . (2)由题意得,0≤x≤π3⇒ π 6≤2x+ π 6≤ 5π 6⇒ 1 2≤ f(x)≤1,所以函数f(x)的值域为 12 ,1 . 16.A 【解析】 由cos(α+β)=m 得cosαcosβ-sinα sinβ=m ①.由tanαtanβ=2得 sinαsinβ cosαcosβ =2 ②,由①②得 cosαcosβ=-m sinαsinβ=-2m ,所以cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ=-3m,故选A. 17.C 【解析】 数形结合法 因为函数y=2sin(3x- π 6 )的最小正周期T=2π3 ,所以函数y=2sin(3x- π 6 )在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,所以 作出函数y=2sin(3x-π6 )与y=sinx在[0,2π]上 的图象如图所示. 由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C. 必刷题六 1.B 【解析】 对于A,当λ>0时,a与λa 的方向相同, 当λ<0时,a与λa 的方向相反,故A不正确,B正确; 对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定, 故|-λa|与|a|的大小关系不确定,故C不正确;对于 D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大 小,故D不正确. 2.C 【解析】 由PA→+PB→+PC→=AB→,得PA→+PB→+PC→= PB→-PA→,即PC→=-2PA→,故点P在线段AC上. 3.D 【解析】 取a=BA→,b=BC→作为基底,则BE→=a+ 1 2b. 因为BF=3FE,所以BF→=34BE →=34 a+ 1 2b =34a+ 3 8b ,所以CF→=BF→-BC→=34a+ 3 8b-b= 3 4a- 5 8b ,故选D. 4.ABD 【解析】 各选项代入验证,若A,B,C 三点不 共线即可构成三角形.因为AB→=OB→-OA→=(2,-1) -(1,-3)=(1,2),AC→=OC→-OA→=(m+1,m-2)- (1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C 三点共线,则1× (m+1)-2m=0,即m=1.所以只要m≠1,A,B,C 三 点就可构成三角形,故选ABD. 5.D 【解析】 由已知可得|a-b|2=a2-2a·b+b2= 2-2a·b=1,则 a·b= 12 ,因 此,|2a+b|= (2a+b)2= 4a2+4a·b+b2= 7.故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·16· 6.BC 【解析】 a+b=(-1,3),若(a+b)∥c,则-t- 6=0,所以t=-6,故A错误; 若(a+b)⊥c,则-2+3t=0,所以t=23 ,故B正确; 若t=1,则cos<a,c>= a ·c |a|·|c|= 4 5× 5 =45 ,故C 正确;a+c=(3,t+2),则|a+c|= 9+(t+2)2≥3, 故D错误.故选BC. 7.A 【解析】 由A=π6 ,AB= 3,AC=4,得S△ABC= 1 2×4× 3× 1 2= 3 , 由余弦 定 理 得:BC= 3+16-2×4× 3× 32 = 7 , BC边上的高的长度为2× 3 7 =2 217 . 故选A. 8.D 【解析】 依题意△ABC 的面积为S=14 (b2+ c2),则12bcsinA= 1 4 (b2+c2),2bcsinA=b2+c2,由 于0<A<π,0<sinA≤1,所以0<2bcsinA≤2bc,由 基本不等式可知b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时等号 成立,所以sinA=1,A=π2 ,△ABC 是等腰直角三角 形.故选D. 9.B 【解析】 因为b=3c=6,△ABC 的面积为4 2= 1 2bcsinA=6sinA ,解 得sinA=2 23 ,因 为 A∈ 0,π2 ,所以cosA=13,在△ABC中,由余弦定理可 得a= b2+c2-2bccosA=4 2,因为4 2 2 2 3 = 2sinC ,所 以sinC=13. 故选B. 10.A 【解析】 如图,由题意可知,∠PAQ=α,∠PBC =γ,∠PAB=α-β,分别在Rt△APQ,Rt△BPC 中, ∠APQ=π2 -α ,∠BPQ= π2 -γ ,所 以∠APB= ∠APQ-∠BPQ=γ-α,又sin∠ABP=sin[π- (∠APB+ ∠BAP)]=sin(∠APB+ ∠BAP)= sin(γ-β),在△ABP 中,由正弦定理可得 AB sin∠APB = APsin∠ABP ,即 b sin(γ-α)= AP sin(γ-β) ,AP = bsin(γ-β) sin(γ-α) ,在 Rt△APQ 中,PQ = APsinα= bsinαsin(γ-β) sin(γ-α) . 故选A. 11.AC 【解析】 由题意可知∠ADB=60°,∠BAD= 75°,∠CAD=30°,所以B=180°-60°-75°=45°,AB =12 6,AC=8 3,在△ABD 中,由 正 弦 定 理 得 AD sinB= AB sin∠ADB ,所以AD= 126× 22 3 2 =24(nmile), 故 A 正 确;在 △ACD 中,由 余 弦 定 理 得 CD = AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD,即CD= (8 3)2+242-2×8 3×24× 32=8 3 (nmile), 故B错误;因为CD=AC,所以∠CDA=∠CAD= 30°,所以灯塔C在D 处的西偏南60°,故C正确;由 ∠ADB=60°,D 在灯塔B 的北偏西60°处,故 D错 误.故选AC. 12.D 【解析】 由复数z与复平面内的点(2,-1)对 应,可知z=2-i,所以1-2i2-i= (1-2i)(2+i) (2-i)(2+i)= 4 5- 3 5i ,其对应的点为 4 5 ,-35 .故选D. 13.【解析】 因为z=2+(z+1)i,所以z(1-i)=2+i,所 以 z=2+i1-i= (2+i)(1+i) (1-i)(1+i)= 1+3i 2 ,故|z|= 1 2 2 + 32 2 = 102 . 【答案】 102 14.【证明】 如图,以E 为原点,AB 所在直线为x 轴, EC所在直线为y 轴建立直角坐标系,设|AD→|=1, 则|DC→|=1,|AB→|=2. ∵CE⊥AB,而 AD=DC.∴ 四 边 形 AECD 为 正 方形. ∴可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1), D(-1,1),A(-1,0). (1)∵ED→=(-1,1)-(0,0)=(-1,1), BC→=(0,1)-(1,0)=(-1,1), ∴ED→=BC→,∴ED→∥BC→, 即DE∥BC. (2)连接 MB,MD,∵M 为EC 的中点,∴M 0,12 , ∴MD→=(-1,1)-0, 12 = -1,12 , MB→=(1,0)- 0,12 = 1,-12 , ∴MD→=-MB→,∴MD→∥MB→. 又 MD 与MB 有公共点M, ∴D,M,B 三点共线. 15.【解】 (1)选择①,根据正弦定理得(a-c)(a+c)= b(a-b), 整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab, 所以cosC=a 2+b2-c2 2ab = 1 2. 因为C∈(0,π),所以C=π3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·26· 选择②,根据正弦定理有 sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC, 所以sin(A+B)=2sinCcosC, 即sinC=2sinCcosC. 因为C∈(0,π),所以sinC≠0,从而有cosC=12 , 故C=π3. 选择③, 因为1 2casinB= 1 2c (asinA+bsinB-csinC), 所以asinB=asinA+bsinB-csinC,由正弦定理得 ab=a2+b2-c2, 由余弦定理,得cosC=a 2+b2-c2 2ab = ab 2ab= 1 2 , 又因为C∈(0,π),所以C=π3. (2)在△ACD 中, AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC, 即b2=1+3-2 3cos∠ADC. 在△BCD 中, BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC, 即a2=1+3-2 3cos∠BDC. 因为∠ADC+∠BDC=π, 所以cos∠ADC=-cos∠BDC, 所以a2+b2=8. 由C=π3 及c=2,得a2+b2-4=ab,所以ab=4, 从而a2+b2-2ab=0, 所以a=b=2. 16.B 【解析】 由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a ·b=0,所以b2=2a·b.将|a+2b|=2的两边同时 平方,得a2+4a·b+4b2=4,即1+2b2+4b2=1+6 |b|2=4,解得|b|2=12 ,所以|b|= 22 ,故选B. 17.D 【解析】 解法一(向量法+坐标法) 因为b⊥(b -4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a= (0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,得4+ x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. 解法二(坐标法) 因为a=(0,1),b=(2,x),所以b -4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4). 因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+ x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. 必刷题七 1.D 【解析】 选项A,有一个面是多边形,其余各面都 是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面 体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶 点,错误;选项B,棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的 平面所截而得的,而有两个面平行且相似,其余各面 都是梯形的多面体有可能不是棱台,因为它的侧棱延 长后不一定交于一点,错误;选项C,当棱锥的各个侧 面的共顶点的角之和是360°时,各侧面构成平面图 形,故这个棱锥不可能为六棱锥,错误;选项D,若每个 侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也 是长方形,符合长方体的定义,正确.故选D. 2.B 【解析】 根据斜二测画法画平面图形的直观图的 规则可知,在x 轴上(或与x 轴平行)的线段,其长度 保持不变;在y轴上(或与y 轴平行)的线段,其长度 变为原来的一半,且∠x'O'y'=45°(或135°),所以若 设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为S'= 1 2 · 2 2 ·S= 24S. 又直观图的面积为a2,所以原平面 四边形的面积S=a 2 2 4 =2 2a2. 3.A 【解析】 不妨设圆锥的底面半径为r,母线长为 l,高为h,根据题意,则4×12×2rh=πrl ,所以h=π4l =π4×4=π. 4.ABD 【解析】 该圆锥的母线长为 32+42=5,A正 确;该圆锥的体积为1 3×π×3 2×4=12π,B正确;该 圆锥的表面积为π×3×(3+5)=24π,C错误;当OB ⊥AC时,△ABC的面积最大,此时S△ABC= 1 2×6× 3=9,三棱锥S ABC 体积的最大值为13×9×4= 12,D正确.故选ABD. 5.A 【解析】 如图所示,因为AC⊥BC,所以AB 为截 面圆O1的直径,且 AB= 2.连接OO1,则OO1⊥面 ABC,OO1= 1- AB 2 2 = 1- 2 2 2 = 22 ,所以三 棱锥O ABC 的体积V=13S△ABC×OO1= 1 3× 1 2× 1×1× 22= 2 12. 6.D 【解析】 ∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l, M∈l,∴M∈β.根据基本事实3可知,M 在γ 与β 的 交线上.同理可知,点C也在γ 与β的交线上. 7.AD 【解析】 对于A,可设l1与l2相交,这两条直线 确定的平面为α;若l3与l1相交,则交点 A 在平面α 内,同理,l3与l2的交点B 也在平面α内,所以AB⊂α, 即l3⊂α,A为真命题; 对于B,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个, 故B为假命题; 对于C,两条直线有可能平行也有可能异面,故C为 假命题; 对于D,若直线m⊥平面α,则m 垂直于平面α内所有 直线,因为直线l⊂平面α,所以直线m⊥直线l,D为 真命题. 8.A 【解析】 m,n是两条不同的直线,α,β是两个不 同的平面,且m⊂α,n⊂α,则“α∥β”得“m∥β且n∥β”, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·36· 必刷题六 平面向量及其应用与复数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 平面向量的概念及线性运算 1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是 ( ) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|a 2.已知平面内一点P 及△ABC,若PA→+PB→+PC→=AB→, 则点P 与△ABC的位置关系是 ( ) A.点P 在线段AB 上 B.点P 在线段BC 上 C.点P 在线段AC 上 D.点P 在△ABC外部 平面向量基本定理及坐标表示 3.如图,平行四边形ABCD 中,E 是AD 的中点,F在线段 BE上,且BF=3FE,记a=BA→,b=BC→,则CF→= ( ) A.23a+ 1 3b B. 2 3a- 1 3b C.-14a+ 3 8b D. 3 4a- 5 8b 4.(多选)已知向量OA→=(1,-3),OB→=(2,-1),OC→= (m+1,m-2),若点A,B,C 能构成三角形,则实数m 可以是 ( ) A.-2 B.12 C.1 D.-1 平面向量的数量积及应用 5.已知向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=1,则|2a+b| = ( ) A.3 B.3 C.7 D.7 6.(多选)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,1),c=(2, t),下列说法正确的是 ( ) A.若(a+b)∥c,则t=6 B.若(a+b)⊥c,则t=23 类型一 平面向量的坐标运算 【例1】 已 知 A(-2,4), B(3,-1),C(-3,-4).设 AB→=a,BC→=b,CA→=c,且 CM→=3c,CN→=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc 的 实数m,n; (3)求 M,N 的坐标及向量 MN→的坐标. 【关键技巧】 向量的坐标运算主要是利 用向量的加法、减法、数乘 运算法则进行,若已知有向 线段两端点的坐标,则应先 求出向量的坐标,求解过程 中要注意方程思想的运用. 【解】 由已知得a=(5,- 5),b=(-6,-3),c=(1, 8). (1)3a+b-3c=3(5,-5) +(-6,-3)-3(1,8)= (15-6-3,-15-3-24) =(6,-42). (2)法 一:∵mb +nc = (-6m+n,-3m+8n), ∴ -6m+n=5, -3m+8n=-5, 解得 m=-1, n=-1. 法二:∵a+b+c=0, ∴a=-b-c, 又∵a=mb+nc, ∴mb+nc=-b-c, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·71· C.若t=1,则cos<a,c>=45 D.|a+c|<3 余弦定理和正弦定理 7.在△ABC中,A=π6 ,AB= 3,AC=4,则BC边上的高 的长度为 ( ) A.2 217 B.2 C.3 D. 21 3 8.已知△ABC 的面积为S=14 (b2+c2)(其中b,c为 △ABC的边长),则△ABC的形状为 ( ) A.等边三角形 B.是直角三角形但不是等腰三角形 C.是等腰三角形但不是直角三角形 D.等腰直角三角形 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=3c =6,A∈ 0,π2 .△ABC面积为42,则sinC= ( ) A.16 B. 1 3 C. 6 9 D. 2 2 3 解三角形应用举例 10.如图,在山脚A 处测得山顶P 的仰角为α,沿倾角为β 的斜坡向上走b米到B 处,在B 处测得山顶P 的仰 角为γ(A、B、P、Q 共面),则山PQ 的高度为 ( ) A.bsinαsin (γ-β) sin(γ-α) B. sin (γ-β) bsinαsin(γ-α) C.bsinβ+bsinγsin (α-β) sin(γ-β) D.bsinβ+ bsinγsin(γ-β) sin(γ-α) 11.(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离 12 6nmile;在A处看灯塔C在货轮北偏西30°,距离 83nmile.货轮由A处向正北航行到D 处时,再看灯 塔B在南偏东60°,则下列说法正确的是 ( ) ∴ m=-1, n=-1. (3)设O 为坐标原点, ∵CM→=OM→-OC→=3c, ∴OM→=3c+OC→=(3,24) +(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20). 又 ∵CN→ =ON→ -OC→ = -2b, ∴ON→=-2b+OC→=(12, 6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2), ∴MN→=(9,-18). 类型二 利用正弦、余弦定 理解三角形 【例2】 已知a,b,c分别是 △ABC 的内角A,B,C 所 对的边,3csinA=4bsinC, 再从下面条件①与②中任 选一个作为已知条件,完成 以下问题. (1)证明:△ABC 为等腰三 角形; (2)若△ABC的面积为25, 点D在线段AB上,且BD= 2DA,求CD的长. 条件①:cosC=23 ; 条件②:cosA=19. 注:如果选择多个条件分别 解答,则按第一个解答计分. 【关键技巧】 1.求三角形面积的方法 (1)若已知三角形的一个角 (角的大小或该角的正、余 弦值)及该角的两边长度, 代入公式求面积; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·81· A.A 处与D 处之间的距离是24nmile B.灯塔C与D 处之间的距离是16nmile C.灯塔C在D 处的西偏南60° D.D 在灯塔B 的北偏西30° 复数 12.已知i是虚数单位,复数z与复平面内的点(2,-1)对 应,则复数1-2i z 对应的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 13.若复数z=2+(z+1)i,其中i为虚数单位,则复数z 的模为 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 14.如图所示,已知直角梯形 ABCD,AD⊥AB,AB= 2AD=2CD,过点C 作CE⊥AB 于E,M 为CE 的中 点,试建立适当的坐标系并用向量的方法证明: (1)DE∥BC; (2)D,M,B 三点共线. (2)若已知三角形的三边,可 先求其一个角的余弦值,再求 其正弦值,代入公式求面积, 或直接代入海伦公式求面积. 总之,结合图形恰当选择面积 公式是解题的关键. 2.已知三角形面积求边、角的 方法 (1)若求角,就寻求夹这个角 的两边的关系,利用面积公式 列方程求解; (2)若求边,就寻求与该边(或 两边)有关联的角,利用面积 公式列方程求解. 【解】 选择条件①cosC=23. (1)证明:由3csinA=4bsinC 和正弦定理得3a=4b, 由cosC=23 和余弦定理得2 3 =a 2+b2-c2 2ab = 25b2-9c2 24b2 , ∴b=c, ∴△ABC为等腰三角形. (2)由(1)得3a=4b,b=c, ∵cos∠ACB=23 , ∴sin∠ACB= 53 , ∴S△ABC = 1 2absin∠ACB= 2 5 9 ,c2=2 5, ∴c=b=3,a=4. ∵BD=2DA, ∴BD=2,DA=1, ∴CD2 =a2 +BD2 -2a· BDcosB=a2+BD2-2a· BDcos∠ACB=283. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·91· 15.在①(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB); ②2ccosC=acosB+bcosA;③△ABC 的 面 积 为 1 2c (asinA+bsinB-csinC)这三个条件中任选一 个,补充在下面的问题中,并加以解答. 已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 且 . (1)求角C; (2)若 D 为AB 的中点,且c=2,CD= 3,求a,b 的值. 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答 计分. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 16.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+ 2b|=2,且 b-2a ⊥b,则|b|= ( ) A.12 B. 2 2 C. 3 2 D.1 17.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x), 若b⊥(b-4a),则x= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 ∴CD=2 213 . 选择条件②cosA=19. (1)证明:由3csinA=4bsinC 和正弦定理得3a=4b, 由cosA=19 和余弦定理得1 9 =b 2+c2-a2 2bc = 9c2-7b2 18bc , ∴b=c或b=-97c (舍去), ∴△ABC为等腰三角形. (2)由(1)得3a=4b,b=c, ∵cosA=19 ,∴sinA=4 59 , ∴S△ABC = 1 2bcsinA= 2 5 9b 2 =2 5, ∴c=b=3,a=4. ∵BD=2DA, ∴BD=2,DA=1, ∴CD2 =b2 +AD2 -2b· ADcosA=283 , ∴CD=2 213 . 【学习笔记】 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·02·