必刷题二 一元二次函数、方程与不等式-【玩转假期必刷题】2024年高二数学寒假作业

则 2-a<-14 , a≥2, a>1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a> 9 4. ②当a<2-a,即a<1时,N=(a,2-a), 则 a<1, a<-14 , 2-a≥2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a<- 1 4. ③当a=2-a,即a=1时,N=⌀,不满足 M⊆N. 综上可得a∈ -∞,-14 ∪ 94,+∞ . 16.D 【解析】 B={1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4, 9},则∁A(A∩B)={2,3,5}.故选D. 17.C 【解析】 由集合的并运算,得 M∪N={x|-3< x<4}.故选C. 必刷题二 1.BC 【解析】 若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故A错 误;若ab>0,bc-ad>0,则bc-adab >0 ,化简得c a - d b >0,故B正确;若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d> b-c,故C正确;若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则ad = -1,bc =-1 ,a d = b c =-1 ,故D错误.故选BC. 2.B 【解析】 p-q=b 2 a+ a2 b-a-b= b2-a2 a + a2-b2 b = (b2 -a2)· 1a- 1 b = (b 2-a2)(b-a) ab = (b-a)2(b+a) ab ,∵a<0,b<0,∴a+b<0,ab>0.若a =b,则p-q=0,故p=q;若a≠b,则p-q<0,故p< q.综上,p≤q.故选B. 3.B 【解析】 不等式(m-x)(n+x)>0可化为(x- m)·(x+n)<0,因为m+n>0,所以m>-n,所以原 不等式的解集为-n<x<m,故选B. 4.B 【解析】 根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x- 2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),又x ☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集 是{x|-2<x<1}. 5.B 【解析】 原不等式可化为3x-2x+3-2≥0 ,即x-8 x+3≥0 , 即(x-8)(x+3)≥0且x+3≠0,∴x<-3或x≥8. 6.A 【解析】 由题知,不等式等价于 1x-x 1x-x2 <0,即 (x2-1)(x3-1) x2 <0,从而 (x-1)2(x+1)(x2+x+1) x2 <0,解得x<-1,选A. 7.【解析】 因为a+b=1,所以1a+ 1 b= 1 a+ 1 b (a+ b)=2+ ab + a b ≥2+2 ba ·ab =2+2=4.当且 仅当a=b=12 时,取等号. 【答案】 4 8.【解析】 法一:由题意知y≠0,由5x2y2+y4=1得 x2= 1 5y2 -y 2 5 ,则x2+y2= 15y2 +4y 2 5 ≥2 1 5y2 ·4y 2 5 =45 ,当且仅当 1 5y2 =4y 2 5 ,即y2=12 时取等号,则x2 +y2的最小值是45. 法二:4=(5x2+y2)·4y2≤ (5x2+y2)+4y2 2 2 = 25 4 (x2+y2)2,则x2+y2≥45 ,当且仅当5x2+y2= 4y2=2,即x2=310 ,y2=12 时取等号,则x2+y2的最 小值是4 5. 【答案】 45 9.【解析】 因为y=x 2-1+1 x+1 =x-1+ 1 x+1=x+1+ 1 x+1-2 ,因为x>-1,所以x+1>0, 所以y≥2 1-2=0,当且仅当x=0时,等号成立. 【答案】 0 10.【解析】 因为不等式2kx2+kx+38>0 为一元二次不 等式,所以k≠0,又一元二次不等式2kx2+kx+38>0 对一切实数x都成立,所以有 2k>0, Δ=k2-4×2k×38<0 , 解得 k>0, 0<k<3, 即0<k<3,所以实数k的取值范围是 {k|0<k<3}. 【答案】 {k|0<k<3} 11.【解析】 设f(x)=x2+mx+4,要使x∈(1,2)时, 不等式x2+mx+4<0恒成立. 则有 f (1)≤0, f(2)≤0, 即 1+m+4≤0,4+2m+4≤0, 解得m≤-5. 【答案】 (-∞,-5] 12.C 【解析】 由题意知,体积V=4m3,高h=1m,所 以底面积S=4m2,设底面矩形的一条边长是xm, 则另一条边长是4 x m ,又设总造价是y元,则y=20 ×4+10× 2x+8x ≥80+20 2x·8x =160,当且 仅当2x=8x ,即x=2时取得等号. 13.B 【解析】 由 题 意 得,N= 1000v 0.7v+0.3v2+30 = 1000 0.7+0.3v+30v ≤ 1000 0.7+2 0.3×30 ≈149,当 且 仅 当0.3v=30v ,即v=10时取“=”,所以该道路一小时 “道路容量”的最大值约为149.故选B. 14.(1)D 【解析】 由3x+y=5xy,得3x+yxy = 3 y+ 1 x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·65· =5,所以4x+3y=(4x+3y)·15 (3 y+ 1 x )=15 (4 +9+3yx + 12x y )≥15 (4+9+2 36)=5,当且仅当 3y x = 12x y ,即y=2x时,等号成立,故4x+3y的最小 值为5. (2)【解析】 令x+2=m,y+1=n,则m+n=4,且 m>2,n>1,所以 x 2 x+2+ y2 y+1= (m-2)2 m + (n-1)2 n =4m+ 1 n-2= 4 m+ 1 n m4+n4 -2 =m4n+ n m - 3 4≥2 m 4n ·n m - 3 4= 1 4 , 当且仅当 m 4n= n m , m+n=4, 即m=83,n=43时取等号. 所以 x 2 x+2+ y2 y+1 的最小值为1 4. 【答案】 14 (3)【解析】 由x-2y+3z=0,得y=x+3z2 ,所以y 2 xz =x 2+9z2+6xz 4xz = x 4z+ 9z 4x+ 3 2. 又x,z均为正实数,所以x4z>0 ,9z 4x>0 ,所以y 2 xz= x 4z +9z4x+ 3 2≥2 x 4z ·9z 4x+ 3 2=3 ,当且仅当x 4z= 9z 4x 即 x=3z时取等号.所以y 2 xz 的最小值为3. 【答案】 3 15.【解】 (1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1 +x)]×1000×(1+0.6x)(0<x<1),整理得y= -60x2+20x+200(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加, 当且仅当 y- (1.2-1)×1000>0, 0<x<1, 即 -60x2+20x>0, 0<x<1, 解不等式,得0<x<13 ,所以为保证本年度的年利润 比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应满足0 <x<13. 16.A 【解析】 因为|x-1|<2⇔-2<x-1<2⇔-1 <x<3,且(-1,3)是(-x,3)的真子集,所以“|x-1 |<2”是“x<3”的充分不必要条件.故选:A. 17.【解析】 方程x2-2x-3=0的解为x=-1或x= 3,故不等式x2-2x-3<0的解集为{x|-1<x< 3},故答案为:{x|-1<x<3}. 【答案】 {x|-1<x<3} 必刷题三 1.B 【解析】 对于 A,函数f(x)的定义域为 R,g(x) 的定义域为{x|x≠-1},f(x)与g(x)的定义域不相 同,则不是同一函数;对于B,函数f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为 R,f(x)与g(x)的定义域相同, f(x)=|x+1|= x+1,x≥-1, -1-x,x<-1, 对应关系相同,则 f(x)与g(x)是同一函数;对于C,函数f(x)的定义域 为R,g(x)的定义域为{x|x≠-1},f(x)与g(x)的定 义域不相同,则不是同一函数;对于D,函数f(x)的定 义域为R,g(x)的定义域为{x|x≥0},f(x)与g(x)的 定义域不相同,则不是同一函数.故选B. 2.A 【解析】 令 4x+1=2 ,则 x=1,所 以 f(2)= f 41+1 =2-3=-1.故选A. 3.A 【解析】 当x0≥1时,f(x0)=2x0-3,∴2x0-3 =1,∴x0=2;当x0<1时,f(x0)=x20-2x0-2,∴x20 -2x0-2=1,解得x0=3(舍去),x0=-1,故选A. 4.【解析】 当a≥0时,f(a)=a+1=2,解得a=1,符合 条件.当a<0时,f(a)=4a=2,解得a=12 ,不符合条 件,所以实数a=1. 【答案】 1 5.B 【解析】 ∵f(x)的定义域为 R,图象关于y轴对 称,∴f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π), 又f(x)在[0,+∞)上为增函数,且2<3<π,∴f(2)< f(3)<f(π),∴f(-2)<f(3)<f(-π).故选B. 6.ABC 【解析】 对于 A,若f(x)=x,则y= 1|f(x)| = 1|x| ,在R上不是减函数,错误; 对于B,若f(x)=x,则y=|f(x)|=|x|,在R上不是 增函数,错误; 对于C,若f(x)=x,则y=- 1f(x)=- 1 x ,在 R上不 是增函数,错误; 对于D,函数f(x)在 R 上为增函数,则对于任意的 x1,x2∈R,设x1<x2,必有f(x1)<f(x2),对于y= -f(x),则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]= f(x2)-f(x1)>0,则y=-f(x)在R上为减函数,正 确.故选ABC. 7.【解析】 f(x)= x2-2x,x≥2, -x2+2x,x<2. 画出f(x)的大致 图象(如图所示), 由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]. 【答案】 [1,2] 8.A 【解析】 ∵a>0, ∴f(x)=9-ax2(a>0)开口向下以y轴为对称轴, ∴f(x)=9-ax2(a>0)在[0,3]上单调递减, ∴x=0时,f(x)最大值为9. 9.A 【解析】 f(x)=x+ 2x-1的定义域为 12 ,+∞ , 在定义域内单调递增,∴f(x)有最小值f 12 =12, 无最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·75· 必刷题二 一元二次函数、方程与不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 不等关系与不等式性质 1.(多选)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是 ( ) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ab>0,bc-ad>0,则ca- d b>0 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c D.若a>b,c>d>0,则ad> b c 2.若a<0,b<0,则p=b 2 a+ a2 b 与q=a+b的大小关系为 ( ) A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q 解不等式 3.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的 解集是 ( ) A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m 或x>n} D.{x|-m<x<n} 4.在 R 上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x ☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 ( ) A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-2}∪{x|x>1}D.{x|-1<x<2} 简单分式不等式的解法 5.不等式3x-2x+3≥2 的解集为 ( ) A.(-∞,-3]∪[8,+∞)B.(-∞,-3)∪[8,+∞) C.(-3,8] D.(-∞,-3)∪(8,+∞) 6.下列选项中,使不等式x<1x<x 2成立的x的取值范围 是 ( ) A.{x|x<-1} B.{x|-1<x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|x>1} 类型一 含参数的一元二 次不等式 【例1】 解关于x 的不等式, ax2+(1-a)x-1>0. 【关键技巧】 含有参数的一元二次不等 式,因为含有参数,便大大增 加了问题的复杂程度.分类 讨论是解决这类问题的主要 方法,确定分类讨论的标准 时,要着重处理好以下三点: (1)讨论的“时刻”,即在什么 时候才开始进行讨论.要求 转化必到位,过早或过晚讨 论都会使问题更加复杂化. (2)讨论的“点”,即以哪个 量为标准进行讨论.若把握 不好这一类,问题就不能顺 利解决. (3)考虑要周到,即讨论对 象的各种情况都要加以分 析,给出结论. 【解】 原不等式化为(x- 1)(ax+1)>0 (1)当a=0时,原不等式为 x-1>0,∴x>1, (2)当a>0时,原不等式为 (x-1)x+1a >0. 两根为1与-1a 且1>-1a , ∴得x>1或x<-1a. (3)当a<0时,原不等式化 为(x-1)x+1a <0, 两根为1与-1a , 又∵当-1<a<0时,-1a>1 , ∴得1<x<-1a. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·4· 利用基本不等式求最值 7.已知a>0,b>0,a+b=1,则1a+ 1 b 的最小值为 . 8.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 . 9.函数y= x 2 x+1 (x>-1)的最小值为 . 一元二次不等式恒成立问题 10.已知一元二次不等式2kx2+kx+38>0 对一切实数 x都成立,则k的取值范围是 . 11.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m 的取值范围是 . 利用基本不等式解决实际问题 12.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容 器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造 价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 ( ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 13.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道 路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条 件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数 N 满足 关系N= 1000v 0.7v+0.3v2+d0 ,其中d0为安全距离,v为 车速(m/s).当安全距离d0取30m时,该道路一小时 “道路容量”的最大值约为 ( ) A.135 B.149 C.165 D.195 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 14.用基本不等式求最值 (1)若正数x,y满足3x+y=5xy,则4x+3y的最小 值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)设x,y是正实数,且x+y=1,则 x 2 x+2+ y2 y+1 的最 小值为 . (3)已知x,y,z均为正实数,且x-2y+3z=0,则y 2 xz 的最小值为 . 当a=-1时,不等式为(x -1)2<0,解集为⌀, 当a<-1时,-1a<1 , ∴得-1a<x<1. 综 上,当 a>0 时,解 集 为 x|x>1或x<-1a ; 当a=0时,解集为{x|x>1}; 当-1<a<0时, 解集为 x|1<x<-1a ; 当a=-1,解集为⌀; 当a<-1时, 解集为 x|-1a<x<1 . 类型二 用基本不等式求最值 【例2】 (1)若x>0,求函数y =x+4x 的最小值,并求此 时x的值; (2)设0<x<32 ,求函数y =4x(3-2x)的最大值; (3)已知x>2,求x+ 4x-2 的最小值; (4)已知x>0,y>0,且1x+ 9 y=1 ,求x+y的最小值. 【关键技巧】 应用基本不等式的常用技巧 (1)常值代替 这种方法常用于“已知ax +by=m(a,b,x,y均为正 数),求1 x+ 1 y 的最小值”和 “已知a x+ b y=1 (a,b,x,y 均为正数),求x+y 的最 小值”两类题型. (2)构造不等式 当和与积同时出现在同一 个等式中时,可利用基本不 等式构造一个不等式从而 求出和或积的取值范围. (3)利用基本不等式求最值 的关键是获得定值条件,解 题时应对照已知和欲求的 式子运用适当的“拆项、添 项、配凑、变形”等方法创设 应用基本不等式的条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·5· 15.某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为 1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度 增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同 时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润= (出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比 例x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入 成本增加的比例x应在什么范围内? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 16.“|x-1|<2”是“x<3”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 17.(2024·上海卷)已知x∈R,则不等式x2-2x-3<0 的解集为 . 【解】 (1)∵x>0. ∴x+4x≥2 x ·4 x=4 , 当且仅当x=4x ,即x2=4, x=2时取等号. ∴函数y=x+4x (x>0)在 x=2时取得最小值4. (2)∵0<x<32 , ∴3-2x>0, ∴y=4x(3-2x) =2[2x(3-2x)]≤ 22x+ (3-2x) 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 2 =92. 当且仅当2x=3-2x, 即x=34 时,等号成立. ∵34∈ 0 ,3 2 ,∴函数y= 4x(3-2x)0<x<32 的 最大值为9 2. (3)∵x>2,∴x-2>0, ∴x+ 4x-2=x-2+ 4 x-2+2 ≥2 (x-2)· 4x-2+2=6 , 当且仅当x-2= 4x-2 , 即x=4时,等号成立. ∴x+ 4x-2 的最小值为6. (4)∵x>0,y>0,1x+ 9 y=1 , ∴x+y= 1x+ 9 y (x+y) =yx+ 9x y +10≥2 y x ·9x y +10=6+10=16, 当且仅当y x= 9x y ,1 x+ 9 y=1 , 即x=4,y=12时,上式取 等号. 故当x=4,y=12时,(x+ y)min=16. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·6·