第十三章 轴对称 单元复习归纳-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十三章 轴对称 单元复习归纳 01-知识网5构建 轴对称图形 两个图形关丁某直线轴对称 -轴对称一 -轴对称的性质 性质 直平分线 -判定 作轴对称图形的对称轴 轴对称一 -作轴对称图形 -作一个图形关于某条直线的轴对称的图形 关于:轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标的关系 关于y轴对称 定义,性质 -等腰三角形 判定 特殊化 等边三角形 定义,性质 判定 02 微专题妙总结 微专题 与等腰三角形有关的分类讨 与底边的差为4cm. 论问题 此题分两种情况 等腰三角形是一种特殊三角形,等腰三角 若腰比底边长4cm,则腰长为6十4 形的边有腰、底之分;角有顶角、底角之分,在 10(cm); 等腰三角形的求边、求角问题中,如果题自没 若腰比底边短4cm,则腰长为6一4 有特别强调所求的边或角是等腰三角形的哪 2(cm),因为2十2-4 6,不能组成三角形,故 种边或角,就需要针对所求的边或角的具体情 舍去. 况进行分类讨论,这是与等腰三角形有关的问 综上,此等腰三角形的腰长为10cm 答案B 题中经常会涉及的类型 例已知等腰三角形的底边长为6cm 微专题2利用轴对称性构造等腰三角 一腰上的中线将其分成两个三角形,两个三角 形(含等边三角形) 形的周长差为4cm,则腰长为( 。 构造等腰三角形的方法有三种; A.2cm B.10cm (1)依据平行构造等腰三角形,作等腰三 C.2cm或10cm D.以上都不对 角形的任意一边的平行线,得到新的三角形也 解析一腰上的中线将其分成两个三角 是等腰三角形,就可以得到要转化的边或角的 形,两个三角形的周长差为4cm,实际上是腰 关系. 105 重难理册八年级数学 上册 2J (2)依据“三线合一”构造等腰三角形,当 分析 由于 PAB一 PAC,因而AP平 出现顶角的平分线,底边上的高、中线时,只要 分 BAC,根据角平分线的特点可构造全等三 其中的两条重合,就可以构造等腰三角形 角形,方法一;在AB边上截取,方法二:延长 (3)根据倍角关系构造等腰三角形 AC边,又由于 BPA一150{}是特殊角,考虑 例在△ABC中,ABC-2C,AD是 BPA的完整性,因而取方法二更合理 BAC的平分线 解析如图,延长AC到D,使AD一AB,连 求证:AB+BD-AC 接PD.BD 分析 在已知条件中出现了二倍角关系 可反向延长八ABC的一边BC,构造出等腰三 角形,问题即可解决 证明如图,延长CB至点E,使BE一BA 连接AE,则 BAE- E. 。 “PBA-8^{},PAB-22*} ' /BPA-150* E C [AB-AD. : ABC-2 C.ABC=E+BAE 在△ABP和△ADP中.BAP- DAP 2E, AP-AP, .E-C. ..ABP/ADP(SAS). .AE-AC. : APD- APB=150{*},BP=DP 又:AD乎分BAC. PDA- PBA-8{ ..BAD-CAD. ..BPD-60”。 ../EAD=/EAB+ BAD '.△BPD是等边三角形. -E+/CAD ·. PBC-30* -C+CAD=BDA . /PBC-/DBC ..EA-ED-EB+BD. [BP-BD. 即证AB+BD-AC 在△PBC和△DBC中,PBC=DBC. 点评除上述解答方法外,还可以延长AB BC-BC. 至点F,使BF一BD(或AF一AC),也可以在 .PBCDBC(SAS). AC上截取AM,使AM一AB,都能推出AB十 ..PC-DC. BD-AC的结论. .CPD-CDP-8* 在已知条件中,如果出现了60{}角或120 . APC= APD-CPD=150*- 角,那么可以利用作平行线、截长补短等方法 88-142{. 构造等边三角形 微专题3利用旋转构造等腰三角形和 例BP是△ABC内一点,PBC-30, PBA=8{,且 PAB= PAC=22*,求 AP$C 全等三角形 的度数. 已知等腰△ABC,AB一AC,过点A的线 106 第十三章 轴对称 段AD,AD在 /BAC内部或外部均可如图作 *.BO-BE+OE-2AQ DAE= BAC.且 AE=AD,连接CE,DE 例如图,在等边△ABC中,P为AB边 则△ABD △ACE,对图1.还有结论/DCE 上的一点,线段BC与DC关于直线CP对称, BAC十BDC 连接DA,并延长交直线CP于点E 对图2,还有结论 1二/EAD (1)求/E的度数 (2)求CF-AD的值. 当△ABC为等边三角形时,过三个顶点的 AE 任一线段,均可绕顶点顺时针或逆时针作以此 线段为边的等边三角形,从而利用SAS构造全 1 等三角形. D E 解析(1)设ACE=x,则DCE= BCP-60*-.易证CB-CA=CD. D 阁1 图2 例(2023·武汉武昌区模拟)在等腰 ACD)-60*十x. Rt△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点 'E=CAD- ACE=(60{}十x) 且 BOC=AOC=135*$,求证:BO=2A$O 2-600。 证明如图,过点A作AD1AO交CO的 (2)在ED的延长线上取点M,使EM一 延长线于点D,连接BD,过点D作DE |BO CE.连接CM 于点E. '.△ECM为等边三角形. '. M- E=60*,CM-CE .CA=CD.../CAD= /CDA .. /CAE- CDM. “BOC-/AOC-135* ..△CAE△CDM ..AE-DM. */BOD= AOD-45*。 ..EM-AD-AE+DM-2AE. '.八ADO为等腰直角三角形, “.CE-EM, ..CE-AD-2AE .CF-AD-2. :.△ABD△ACO(SAS). AE . ADB- AOC-135^{* 微专题4已知一边一角分别相等,构 . BDC= ADB-ADO-135^{* 45*-90”. 造全等三角形 '.△BDO为等腰直角三角形. △ABC与△A BE,AB=A B.A= ..BE-OE-DE. A. .BOD=AOD-45*. 第一种构造方法:如图1.在AC上截取 .'.DA-DE. AD=A E,连接BD,则ABD\A BE. :$AO-AD-DE-BE-OE 第二种构造方法:如图2,在AE的延长 107 重难用册八年级数学 上册 2J 线上截取A.C =AC,连接BC,则△ABC * DCF= /FCF-BCD= ANE △A.BC. <BCD-(90+)-(180-a)--90#。 例(2024·武汉江岸区模拟)如图所 示,在△ABC中.C=90{*$,B=30{*},点D B oC 图1 图2 E,F分别为边AC,AB,CB上的点,且△DEF 例如图,点E是菱形ABCD边BC上 的一点,△AEF是等腰三角形,AE一EF AEF= ABC=a(a>90),探究 DCF与$$ a的数量关系. 0 M ,。 G 解析设AD=3m,CD-4m,则AB-2AC 解析DCF-3。 -14m. #0一90理由如下: 3+2=BED=1+A.A= 在AB上截取AN,使AN-EC,连接 2-60”, NE. .1-3. ·ABC+BAE= AEF+ FEC 在 BE上截EG-AD-3m; AEC,ABC-AEF. 则EFG/DEA ..EAN-FEC '$EG-AD,4- A-60”。 ".AE-EF. ..△ANE△ECF(SAS) '5-$4-$B-30- B .. /ANE-/ECF $BG-FG=AF-AB-EG11. # .AB-BC. ..BN-BE .BNE- BEN. : EBN-a,:. BNE=90*-。 . 11. 答案 03-单元学能测评 时间:120分钟 满分:120分 一、选择题(每小题3分,共30分) 称图形的是( ). 光 1.现实世界中,对称现象无处不在,中国的方 块字中有些也具有对称性,下列汉字是轴对 B D 108 第十三章 轴对称) 2.点P(一2.1)关于x轴的对称点的坐标为 8.如图1是把一张长方形的纸沿长边中点的连 线对折两次后得到的图形,再沿虚线裁剪,外 A.(2.1) B.(-2,-1) 面部分展开后的图形是图2中的( ). C.(2,-1) D.(1,-2) 3.已知等腰三角形的两边长分别为3cm. A B 4cm,且周长为奇数,那么它的周长为 △□□ B.11cm A.10cm D 图1 C 图2 C. 10cm或11cm D.以上答案都不对 ). 4.下列图形中不是轴对称图形的是( 9.如图,在等腰三角形ABC中,BD A.有两个内角相等的三角形 平分 ABC$ A-36^*},AB=AC -a,BC-b,则CD-( B.三个角的比为3;4;5的三角形 ). #t C.有一个内角为45{的直角三角形 D.有一个内角为30{},一个外角为60{}的三 C.a-b D.b-a 角形 10.如图,在网格中有一个 5.从平面镜里看到背面墙上电子钟的显示数 直角三角形(网格中的 如图所示,这时的时间应该是( ). 每个小正方形的边长 2□: 均为1个单位长度), 若以该三角形的一边 A.21:05 B.21:15 为公共边画一个新三角形,使之与原来的 C.20:15 D.20:05 直角三角形一起组成一个等腰三角形,要 6.如图所示,将一个直角三角形纸片(ACE 求新三角形与原来的直角三角形除了有一 -90{})沿线段CD折叠,使点B落在点 条公共边外,没有其他的公共点,新三角形 B 处,若 ACB一60{*},则 ACD的度数为 的顶点不一定在格点上,那么符合要求的 新三角形有( ( ). ). A.4个 B.6个 C.7个 D.9个 D 二、填空题(每小题3分,共18分) B 11.如图,在\ABC中,AB=4,BC=6,B 60{,将△ABC沿着射线BC的方向平移 A.30* B. 25{* C.20* D. 15{ 2个单位长度后,得到△ABC,连接AC. 7.在平面直角坐标系中,0为坐标原点,已知 则△ABC的周长为 A(1.1),在x轴上确定一点P,使△AOP为等 A. A' 腰三角形,则符合条件的点P共有( ). A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 109 重难用册八年级数学 上册 2J 12.等腰三角形的顶角和一个底角的度数之比 18.(8分)(2022·武汉江岸区期中)如图,在 是4:1,则这个三角形三个内角的度数分 坐标系的网格中,△ABC的三个顶点的坐 别为 标分别为A(-3,3),B(-4.-2),C(0. 13.如图,F是正方形ABCDA D 一1).仅用无刻度的直尺在给定网格中画 的边CD上的一个动点; 图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线 BF的垂直平分线EM F 表示,并回答下列问题 交对角线AC于点E,连 C 13 接BE,EF,则 EBF的度数是 14.若点A(a-1,2021)与B(2022,b-1)关 于y轴对称,则(a十b)2o23= 15.如图,已知△ABC是等边三角形,/ADC 12 0^{* ,AD=3.BD-5,则边CD的长为 (1)在图中画出△ABC关于y轴对称的 ({ 八DEC(点D与点A对应). (2)在图中画出△ABC的中线AM,点M C 的坐标为 B 第15题图 第16题图 (3)在图中画出ABC的高BF. 16.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在 边BC,CD上,且AE-EF=FA,有如下 结论:①△ABE2△ADF;②CE=CF ③ AEB-75*;④BE+DF-EF;SBE 十SApr一S.其中正确的是 (填序号). 三、解答题(共72分 17.(8分)如图,山娃星期天从A处赶羊到草 地/处吃草,然后赶羊到小河/处饮水, 之后再回到B处的家,假设山娃赶羊走的 19.(8分)请在图中三个2×2的方格中各画 都是直路,请你为他设计一条最短的路线 出一个三角形,要求所画三角形是图中三 并指明羊吃草与饮水的位置 角形经过轴对称变换后得到的图形,且所 画三角形的顶点与方格中的小正方形的项 草地. 点重合,并将所画三角形涂上阴影(注:所 画的三个图形不能重复) n. 小河 110 第十三章 轴对称) 20.(8分)已知一等腰三角形的三边长分别是 22.(10分)如图,△ABC是等边三角形,过 3x-1.x+1,5,求x的值 AB边上的点D作DG/BC交AC于点 G,在GD的延长线上取一点E,使DE DB,连接AE.CD. (1)求证:△AGE2△DAC (2)过点E作EF/DC交BC于点F,请你 连接AF,判断△AEF是怎样的三角 形,并证明你的结论 E 21.(8分)如图,在\ABC中,AB=AC,ADl BC.CE|AB,AE-CE.求证: (1)/AEFCEB (2)AF-2CD 111 重难用册八年级数学 上册 2 23.(10分)在△ABC中,AB=AC,BAC- 24.(12分)已知△BAD和△BCE均为等腰直 (0{} 。{60{}).将线段BC绕点B逆时针旋 角三角形, BAD= BCE=90{*},点M为$$ 转60得到线段BD DE的中点,过点E作与AD平行的直线 (1)如图1,直接写出ABD的大小(用含 交射线AM于点N a的式子表示). (1)当A.B,C三点在同一直线上时(如 (2)如图2.BCE=150*,ABE=60^*,$$ 图1),求证:点M为AN的中点 判断入ABE的形状并加以证明 (2)将图1中的△BCE绕点B旋转,当A. (3)在(2)的条件下,连接DE,若DEC B.E三点在同一直线上时(如图2),求 45{*,求a的值 证:八ACN为等腰直角三角形 (3)将图1中的△BCE绕点B旋转到图3 位置时,(2)中的结论是否仍成立?若 & 成立,试证明;若不成立,请说明理由 N D B ND 图1 M M M D N E C 图1 图2 图3 112重雕手册人年级教学上册则 .PA+PC+PD-PB+PDBD. 11.12.提示：△AB'C为等边三角形. (3)如图3，以AO为边向下构造等边△AOD, 12.120°，30°，30.提示：设底角为x°，则6x=180,得r=30. 则△ADC≌△AOB,∴.∠ADC=∠AOB=90. 13.45,提示：过点E作HI∥BC交AB于点H,交CD :∠AD0=60°，∴∠ODH=30. 于点I,可得△BHE2△EIF 作OH1CD于点H,则OH=0D-2 14.1.提示：a=-2021,b=2022. 15.2.提示：如图，延长AD到 .OC≥OH=2,即OC的最小值为2. 点E,使DE=CD,连接CE 13.4课题学习最短路径问题 :∠ADC=120°， [变式1]C提示：如图，连接AD,AM .∠CDE=60°. ,△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴.△CDE是等边三角形. ∴.AD⊥BC .∠DCE=60°.CD=CE Sr=专C·AD=号X4AD=16,AD=8 :∠ACB=60,∴∠BCD=∠ACE. ,EF是线段AC的垂直平分线， ,BC=AC,∴.△BCD≌△ACE(SAS. ∴点C关于直线EF的对称点为点A. ..BD-AE. ..MA=MC. ,BD=5,AD=3,∴.DE=2.∴.CD=2. :AD≤AM+MD. 16.①②80⑤. ∴.AD的长为CM+MD的最小值. 17.如图，作出点A关于(1的对称点E,点B关于的对 “△CDM周长的最小值为AD+号BC=8+号×4 称点F,连接EF,分别交，h于点C,D,连接AC, BD,则A→C→D→B是山娃走的最短路线，其中点C 8+2=10. 是羊吃草的位置，点D是羊饮水的位置. 节地 D小河一 单元学能测评 18.(1)(2)如图所示，M(-2,一1.5). 1.D2.B 3B提示：只能腰长为4，底长为3，否则周长为偶数 4.B提示：三边不相等。 5.A6.D 7.A提示：注意满足OP=OA的点P有两种取法. 8.D提示：可动手操作，注意折登边。 9.C提示：AB=AC=a,∠A=36, (3)如图所示，取点H(0,1),连接BH,交AC于点F, ∴∠ABC=∠C=号180°-∠A=7E.又：BD平分 则线段BF即为所求作的高 ∠AB,∠DBC=∠ABD=号∠ABC=36=∠A. ∴.∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°=∠C.BD=AD .BD=BC=a∴.AD=h∴.DC=AC-AD=a-d 20.2. 10.C提示：分不同的边为新等腰三角形的腰。 2L.(1).'AD⊥BC.CE⊥AB 22 参考答案与提示么超 ∠AEF=∠CEB=90 ,∠BCE=150°， .∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90° ∴∠BEC-180°-(30°-2a）-150°=2a=∠BAD, 又：∠AFE=∠CFD,∴.∠EAF=∠ECB. ∠BAD=∠BEC. 在△AEF和△(CEB中，∠AEF=∠CEB,AE=CE, 在△ABD和△EBC中， ∠ABD=∠EBC, ∠EAF-∠ECB, BD=BC. .△AEF2△CEB(ASA). ,∴.△ABD≌△EBC(AAS), (2)由△AEF≌△CEB得AF=BC,在△ABC中， ..AB=BE. AB=AC.ADLBC...CD=BD.BC=2CD. ∴.AF=2CD. 又：∠ABE=60°， ∴.△ABE是等边三角形. 22.(1)易证△ADG是等边三角形， ..EG=ED+DG=AD+DB=AB=AC. 又，∠AGE=∠DAC=60°，AD=AG. ,∴.△AGE≌△DAC(SAS). (2)△AEF是等边三角形.证明如下： 如图，连接DF,AF 图1 图2 可证△EDF≌△CFD, (3)如图2，连接CD. ∴EF=CD. ,∠BCD=60°，∠BCE=150. 由(1)知△AGE2△DAC, ∴∠DCE=150°-60°=90. ..AE=CD. ,∠DEC=45, 又由(1)知EG=AC=BC, ∴.△DEC是等腰直角三角形.∴.DC=CE=BC 由△EDF≌△CFD知ED=CF. “Z仪E=150,∴ZEC-号×180-130m=1. DG=BF=AD .可证△ABF2△CAD(SAS), :∠EBC=30°- 2a=15°， 则有AF=CD..AE-EF=AE a=30° ∴△AEF是等边三角形， 24.(1)EN∥AD, 2a.∠ABD-0-0 ∴.∠MAD=∠MNE,∠ADM=∠NEM :点M为DE的中点，∴.DM=EM (2)△ABE是等边三角形.证明如下： I∠MAD=∠MNE. 如图1，连接AD,CD,由旋转知BC=BD,∠DBC= 在△ADM和△NEM中，∠ADM=∠NEM, 60°，又∠ABE=60°， DM-EM. ∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°- 交a,且 ,∴.△ADM2△NEM(AAS). △BCD为等边三角形. .AM=MN..点M为AN的中点. ..BD=CD. (2):△BAD和△BCE均为等腰直角三角形， (AB=AC. ∴.AB=AD,CB=CE,∠CBE=∠CEB=45. AD∥NE,∴.∠DAE+∠NEA=180. 在△ABD和△ACD中，AD=AD. BD=CD. ∠DAE=90°，∠NEA=90..∠NEC=135. A,B,E三点在同一条直线上， ∴.△ABD2△ACD(SSS). ∴.∠ABC=180°-∠CBE=135 ∴∠BAD=∠CAD=2∠BAC=7a, ∴.∠ABC=∠NEC 23 重雅线手册八年级教学上册则 ,△ADM≌△NEM(已证)，.AD=NE. +.一3+8.提示：原式=一3一0++”=一3+3， .AD-AB..AB-NE. 5.6.提示：a=d5,.11=1十5.∴1=6. AB=NE. 6.3×10×6×3×10=5.4×108(千米). 在△ABC和△NEC中， ∠ABC=∠NEC. 7.原式=-x·(-1)·x2·(-1)·x2=-x++1=-x BC-EC. 8.原式=-(x-2)2·(x-2)2·(x一2)=-(x-2)°. ,∴.△ABC≌△NEC(SAS). 9.B提示：设S=1十a十a2十…十a2必， .AC=NC,∠ACB=∠NCE 则aS=a十a2+…十a25, .∠ACN=∠BCE=90. ∴.(a1)S=a2w-1. ∴.△ACN为等腰直角三角形. 5=q225-1 a-1(a≠0且a≠1. (3)△ACV仍为等腰直角三角形.证明如下： 10.21.提示：.+"=x·=3×7=21. 此时A,B,N三点在同一条直线上. 11.3. 提示：：am+1=a0,∴.3m十1=10..m=3. AD∥EN,∠DAB=90°， ∴.∠ENA=∠DAN=90. 12.2.提示：由条件得(w2)“=2=(2),a=2. :∠BCE=90, 13.8. ∴.∠CBN+∠CEN=360°-90°-90°=180°. 14.(1)32. :A,B,N三点在同一条直线上， (2)22×2+1=2,.2+x+1=4.∴x=1. 又∠ABC+∠CBN=180°，∴.∠ABC=∠NEC 15.由a+1·a1=a*得m十2n=8. ⊙ △ADM≌△NEM已证)，.AD=NE. 由+1·+2=b"得2m十n十3=10. ② .AD=AB,..AB=NE. n=2, 由①②得{ .m=2=8. n=3. AB=NE, 在△ABC和△NEC中，∠ABC=∠NEC, 16.2×2=33,.2×2×2=66=2..2+m6=2. BC=EC. ∴.1+a十b=c ∴.△ABC≌△NEC(SAS). 14.1.2幂的乘方 .AC=NC,∠ACB=∠NCE. [变式1]an-am=(a")2-(a)=3-33=9-27= ∴.∠ACN=∠BCE=90 -18. .△ACN为等腰直角三角形. [变式2]4.提示：，22·8·162=22·2·28= 2t0=22,∴3r=12..x=4 第十四章整式的乘法与因式分解 【学业质量测评】 14.1整式的乘法 1.B提示：原式=-（一3）2·a2=-9a 2.C 14.1.1同底数幂的乘法 3.B提示：原式=a·(一a)=一a" [变式1](r-y) 4.A提示：(k+k十十=(k·=()=产 [变式2]16.提示：a"m=a"·a"=2×8=16. k个 [变式3]由2=6=2×3=2×2=2+1，得b=a十1. 5.a.提示：原式=（一1）·ax4·a=a=a4】 由2=12=2×6=2×2=2*1.得c=b+1. 6.一y.提示：原式=一y·y=一y 故c=a十2. 7.1.提示：(4“)=(4)=16=16，故n=1 【学业质量测评】 8.(1)-a1w.(2)y.(3).x4.(40(x-y)e-“. 1.A提示：①为a“:②错误：③为x:④为2v. 9.C提示：a+c=2a2,a2·a=a,(d)=a,(a+b) 2.C提示：原式=一2·2·x=一x++1=一x =a2+2ab+i. 3.a.提示：原式=a+w+=a. 10.C提示：①(a)=a":②(a)严=a:⑤a5·a=a. 24