13.2 画轴对称图形-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十三章 轴对称么组 13.2画轴对称图形 重点和难点 课标要求 重点：画简单图形关于给定对称轴的 1.根据轴对称的性质，掌握画一个图形的轴对称图形的 对称图形，利用轴对称进行简单的图案 方法 设计 2.通过轴对称设计图案，体验图案设计的美感， 难点：认识平面直角坐标系中图形轴 3.利用，点的坐标关于x轴，y轴对称后的变化规律，求点的 对称变换后点的坐标变化的特点 坐标和画轴对称图形. 01必备知识梳理一。 知识点1画轴对称图形 (2)写出AA的长度. 1.关于某直线1成轴对称的两个图形的性 M 质特征 (1)两个图形的形状、大小完全相同，即为 全等形 (2)新图形上的每一点都是原图形上的某 一点关于直线（对称轴）的对称点. 图1 (3)连接任意一对对应点的线段被对称轴 解析(1)如图2，△AB1C1即为所求. 垂直平分. 2.画一个图形与已知图形关于对称轴 对称 由于几何图形都是由点组成的，因此我们 只要分别作出这些点关于对称轴对称的对应 点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的 图2 轴对称图形 (2)由图2可得AA1=10. 对于一些由直线、线段或射线组成的图 总结作三角形关于直线对称的三角形， 形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端 只需作出三角形三个顶点关于直线的对称点， 点)的对称点，再连接这些对称点，就可以得到 然后依次连接这些对称点即可 原图形的轴对称图形 知识恩2对称点坐标的特征 例①(2017·衡阳中考)如图1，方格图中 L.在平面直角坐标系中，点的坐标符号的 每个小正方形的边长为1，点A,B,C都是 特点 格点。 如图是由x轴（横轴）、y轴（纵轴）建立的 (1)画出△ABC关于直线MN对称的 平面直角坐标系，四个象限中点的坐标符号的 △ABC. 特点如图所示. 79 重雕点手细人年级教学上册) 州 (2)若△ABC与△ABC关于y轴对称， Ⅱ(-，+) I(+,+) 在图中画出△ABC,并写出相应顶点的 坐标。 -4-3-2-1,01234主 Ⅲ(-，-） 2 N(+,-) -4 B:2B 01 2.点的平移与坐标变化的规律 (a,b) 向右平移飞个单位长度 向左平移k个单位长度 (a士k,b), =4 (a,b) 向上平移厅个单位长度 -5 向下平移h个单位长度 (a,b±h). 解析(1)A(3,4).B(1,2),C(5,1). 圆通点 关于坐标轴对称的点的坐标特征 (2)先作出△ABC关于y轴对称的△ABC, (1)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为 再根据其在坐标系中的位置写出顶，点的坐标： (x,-y). A1(-3,4),B1(-1,2),C(-5,1. (2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为 总结在坐标系中作轴对称图形的两种方 (-x,y). 法：(1)由轴对称性质作出对称点.(2)根据关 例2如图，△ABC的顶点均在格点上. 于坐标轴对称的点的坐标特征求出对称，点的 (1)分别写出点A,B,C的坐标 坐标，再由坐标作出对称点 -02关建能力提升。 题型1镜面对称的解题方法 显示的时针和分针与钟表实际显示的时针和 吧法 分针是关于某条铅垂线成轴对称的，不妨在该 (1)背面读数法：从纸的背面按从左到右的顺 钟表的左（右）侧画一条铅垂线，再画出其关于 序看，相当于将纸翻折180°后看到的图形. 这条直线成轴对称的图形，即可得到镜中钟表 (2)对称作图法：先画对称轴，再作轴对称 表示的实际时间.D选项的实际时间如图所示 图形 答案D 例③下列图示是小明在镜中看到身后墙上 的时钟，其中实际时间最接近8点的是( 镜中时间实际时间 题型2根据点的对称性确定坐标中的 B 参数 解析方法一（背面读数法）有关镜中成 用方法 像问题，可以从纸的背面按正常读法读出即可. 根据关于坐标轴或原，点对称的点的坐标的关 方法二（对称作图法）钟表在平面镜中 系特点，可以利用轴对称找到特定点的对称，点的坐 80 第十三章 轴对称收组 标：在点的坐标不是单一的数宇时，例如用字母表 ,点P关于y轴的对称点为P2(一4一b, 示，用各种形式的代数式表示的点的坐标仍然满足 b+2), 轴对称的特定关系，可以利用这种关系，列出满足 .点P的坐标为(4十b,b十2). 题意的方程或不等式，从而求出坐标中的参数」 2a十b=4+b. a=2, 例④若点P关于x轴的对称点为P(2a十 解这个方程组，得 a-5=b+2. b=-5. b,一a十5)，关于y轴的对称点为P2(一4一b, .br=(-5)2=25. b十2)，则：的值为 答案25. 解析点P关于x轴的对称，点为P,(2a十 ◆变式1已知点A(2a一b,5+a),B(2b b.-a十5)， .点P的坐标为(2a十b,a一5). 1,一a十b)关于y轴对称，求(4a十b)21的值， 03热点考向聚焦。 考向1求已知点关于坐标轴的对称点 ∠A=∠D,请画出BC边的垂直平分线m. 例5(2021·兰州中考)在平面直角坐标 (3)如图3，在一个5×6的方格图中有一 系zOy中，点A(一3,4)关于y轴对称的点B 个格点△ABC(顶点A,B,C均在格点上)，请 的坐标是( . 画出AC边上的高BH. A.(3,-4) B.(-3,-4) 解析如下所示 C.(-3,4) D.(3,4) 解析点A(一3,4)关于y轴的对称点是 B(3,4). 答案D 图1 向2利用轴对称的性质作图 图2 图3 考向3作轴对称变换的对称轴 例6(2023·武汉武昌区模拟)请仅用无 例☑（经典·大连中考）如图1，△ABC 刻度的直尺完成下列作图，不要求写作法，保 和△A'B'C'关于直线MN对称，△A'BC和 留作图痕迹， △A"BC"关于直线EF对称. (1)画出直线EF (2)直线MN与EF相交于点O,试探究 ∠POB与直线MN,EF所夹锐角a的数量关系. M A 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B=∠D,BC=DC,请画出四边形ABCD的 对称轴。 (2)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC, 图1 81 国避手册人年级教学上册网 解析(1)如图2，连接BB”,作线段BB” +∠BOE 的垂直平分线EF,则EF是△A'B'C'和 =2∠B'OM+2∠B'OE △A"BC”的对称轴. =2∠a. (2)如图2，连接B),B'O,BO ∴.∠BOB"=2∠a. ,△ABC和△A'BC'关于直线MN对称， A XE ∴.∠BOM=∠B'OM. B 又，△A'B'C和△A"B"C”关于直线EF B A 对称， C '.∠B'OE=∠BOE ∴.∠BOB"=∠BOM+∠B'OM+∠B'OE 图2 04学业质量测评。 A 基础过关练 洲试时间：25分钟 5.在平面直角坐标系中，已知点A(0,3),B(2, 1.下列各点中，点M(1,一2)关于x轴对称的 0),点B是点B关于直线OA(O为坐标原 点的坐标是( 点)对称的对称点，写出点B的坐标，并求出 A.(1,2) B.(-1,2) S△BB. C.(-1,-2) D.(1,-2) 2.若点A(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于y 轴对称，则m十n的值是( A-5 B.-3 C.3 D.1 3.若点P(a,b)在第二象限，则点Q(a一1，一b) 关于y轴的对称点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.如图，在3×3的正方形网格中有四个格点 A,B,C,D,以其中一点为原点，网格线所在 的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使 其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴 对称，则原点是( B D A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 82 第十三章 轴对称收组 6.(2024·武汉洪山区摸拟)如图，已知△ABC 、乙中考提能练 测试时间：30分钟 的三个顶点的坐标分别为A(一2,3)，B( 8.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB 6,0),C(-1,0) 再以AB的中点O为顶点，把∠AOB三等 (1)请直接写出点A关于y轴对称的点A 分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图 的坐标 形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么 (2)将△ABC沿直线x=1翻折，得到△A'B'C 将剪出的直角三角形全部展开铺平后得到 请直接写出点A',B',C的坐标 的平面图形一定是( 43V 沿此虚线剪开 A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 9.如图，正方形的中心均在坐标原点，且各边 与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长 依次为2,4,6,8，…，顶点依次用A1,A2,A, 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点 A1,…表示，则顶点A的坐标是(). 坐标为A(一4,1)，B(一2,1)，C(一2,3). 43y (1)作△ABC关于y轴的对称图形△ABC. (2)将△ABC向下平移4个单位长度，作出 平移后的△AB,C2. A (3)求四边形AA:B,C的面积. A.(13,13) B.(-13,-13) C.(14,14) D.(-14,-14) 5牛3-21⊙2345 10.已知△ABC是直角坐标系中任意位置的一 个三角形，现将△ABC各顶点的纵坐标乘 以一1，得到△A1BC1,则它与△ABC的位 置关系是( A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 83 国雕白手细人年级教学上册团 C.关于直线x=一1对称 16.(2023·武汉江汉区摸拟)如图，在边长为1 D.关于直线y=一1对称 的小正方形构成的6×6网格中，每个小正 11.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, 方形的顶点称为格点.AD是△ABC的角 BC=8,将它的一个锐角翻折，使该锐角的 平分线，其中A,B,D为格点 (1)画出AB的中点M. 顶点落在对边的中点D处，折痕交另一直 (2)在AC上画出点N,使ND∥AB. 角边于点E,交斜边于点F,则△CDE的周 (3)画出点B关于AD的对称点P. 长为 (4)若△QAB是等腰三角形，直接写出该网 12.如图，∠AOB内有一点P,P1,P2分别是点 格中满足条件的格点Q的个数. P关于OA,OB的对称点，PP交OA于 点M,交OB于点N,若PP2=5cm,则 △PMN的周长是 cm. 2n 第12题图 第13题图 13.如图，光线以角度α照射到平面镜m上，然 后在平面镜，n之间来回反射，已知∠a= 60°，∠3=50°，则∠y ●C培优突破练 测试时间：10分钟 14.如图，在3×3的正方形网 17.如图，在Rt△ABC中，D是CB延长线上 格中，格线的交点称为格 一点，以AD为边作△ADE,连接BE, 点，以格点为顶点的三角形 ∠DEB=∠DAB,∠ABC=a,且∠AED= 称为格点三角形，图中的A B ∠ADE=a. (1)在图中作出△ABC关于直线AB的轴 △ABC为格点三角形，在图中最多能画出 对称图形△ABC. 个格点三角形与△ABC成轴对称 (2)试判断BE一BC与DC的数量关系，并 15.如图，已知线段AB=CD,求作线段a,使线 证明你的结论， 段a与线段AB成轴对称，与线段CD也成 E 轴对称（保留作图痕迹）. B 84重雅线手册八年级教学上册， ,.△ABE≌△CDE(SSS) 13.2画轴对称图形 .∠ABE=∠CDE. [变式1]：点A,B关于y轴对称. 15.(1),△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED 2a-b=-(2b-1), a=-1. 4 cm.FC=1 cm..'BC=ED=4 cm. 解得 5十a=-a+b, b=3. ∴.BF=BC-FC=3cm. ∴.(4a十b)20=[4×(-1)+3]o=(-1)0=-1. (2),'△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC 【学业质量测评】 =76,∠EAC=58,∴.∠EAD=∠BAC=76. 1.A2.D3D4.B ∴.∠CAD=∠EAD-∠EAC=76-58°=18. (3)直线MN垂直平分线段EC.理由如下： 5(-2.0).5am=号×4X3=6. :点E,C关于直线MN对称， 6.(1)A1(2.3). .直线MN垂直平分线段EC. (2)A'(4,3).B(8.0).C(3,0). 16.(1)①如图，连接CD,AD,过点D作DG⊥AB于点 7.(1)(2)所作图形如图所示 G,证△DCF≌△DAG .CF=AG,易证BF=BG ..BC-AB=(BF+CF)-(BG-AG)=CF+AG= 2CF. ②同理可证BC+AB=2BF. (3)四边形AA,B.C的面积为2×(4+6)×2=10， (2)由(1)得∠ADC=∠GDF=120°， 8.A提示：对于此类问题，一种方法是通过逆向思维，逐 ∴.∠ADE=∠CDE=60. 步画出图形：另一种方法是亲自动手操作，答案即可直 (3)∠ADC=∠GDF=180°-a 观地呈现出来， ·∠ADE-∠CDE=18Og 2 9.C提示：由于55=4×13+3.故A是第14个正方形 ∠DAE=90°-18mO29=2a 上的第3个顶点，即A为第一象限内的点.又第一象限 2 内每个正方形的顶点均在直线y=x上，且其横、纵坐标 17.问题出在图形与文字条件不符，图中∠EBD必须大 为所在正方形的半边长.如A(1,1),A(2.2),A1(3, 于180°，图形才符合文字条件. 18.(1)如图，延长BA至点F,使得 3),…,故A(14,14) AF=AB.连接FD 10.A提示：，△ABC各顶点的纵坐标乘以一1，得到 (2)连接FC,先证∠FCB=90°， △ABC,△ABC与△ABC的各顶点横坐标 再证△FCD≌△BED(SAS), 相同，纵坐标互为相反数.，△ABC与△ABC ∴∠BED=∠FCD=90', 的位置关系是关于x轴对称 即BE⊥DE 11.10或11.提示：如图，设点A落在BC边的中点D (3)设∠EAD=, 上，则EF为AD的垂直平分线，连接DE,有DE=AE 则∠EAD=∠ADE=x,∠DEC=∠C=2.x=∠ABC 此时△CDE的周长为AC+号BC=6+4=10,当点B 又：∠CAD+∠C+∠ABC=90°，5.x=90°，x=18, .∠CAB=108. 落在AC边的中点时，其周长为BC+号AC=I山. 16 参考答案与提示么超 12.5.提示：△PMN的周长为PM+MN+NP=PM +MN+NP:=PP:=5 cm. 1 阁2 13.40°.提示：依据反射角等于入射角及三角形内角和 为180°，得∠a十(180°-2∠3)+∠y=180°， 即∠y=2∠3-∠a=2×50°-60°=40°. 14.6.提示：如图所示，有6条对称轴，可作6个格点三 角形与△ABC成轴对称. 图3 图4 D 17.(1)如图，：∠DEB=∠DAB, ∠1=∠DEB+∠ADE=∠DAB+∠EBA, ∴.∠EBA=∠EDA=a=∠ABC 过点A作AC⊥BE于点C,即得△ABC 第14题图 第15题图 15.如图，连接AC,作线段AC的垂直平分线1，作点D关 于直线I的对称点E,连接AE,则AE即为线段a.故 D CD与AE关于I对称.作∠BAE的角平分线AF,则 (2)BE-BC=DC.证明如下： AE与AB关于AF对称. ,∠ABE=∠ABC=a 线段a与线段AB成轴对称，与线段CD也成轴 AC⊥DC于点C,AC⊥BE于点C, 对称 ∴.AC=AC. 16.(1)如图1所示：作AB的垂直平分线交AB于点M, 又AB=AB, 则M为AB的中点。 ∴.R1△ABC≌R△ABC(Hl). (2)作AD的垂直平分线，交AC于点N,连接ND,如 ∴BC=BC. 图2.AN=ND.∴∠NAD=∠NDA. 又AE=AD, 又：AD是△ABC的角平分线， ,Rt△AEC≌△Rt△ADC(HL). ∴.∠BAD=∠DAC=∠NDA..ND∥AB. ∴EC,=DC.∴.BE-BC=BE-BC=EC,=DC (3)如图3所示：过B点作BO⊥AD,交AD于点O, 13.3等腰三角形 使BO=OP,则点P与点B关于AD对称 13.3.1等腰三角形 (4)如图4，Q点的个数有5个，满足△QAB是等腰三 [变式1]B提示：如图，连接 C 角形.理由如下： AP,由角平分线的判定定理可 M 如图4，AQ为底，满足△QAB是等腰三角形的Q点 知，AP平分∠BAC,∴∠MAP 的个数有2个，AB为底，满足△QAB是等腰三角形 =∠BAP=∠MPA. 的Q点的个数有1个，BQ为底，满足△QAB是等腰 ∴.MA=MP=8.同理易证BN=NP=5. 三角形的Q点的个数有2个 ,∴.MN=MP-PN=8-5=3. 综上所述，Q点的个数有5个，可满足△QAB是等腰 [变式2]如图，连接CD,ED. 三角形. :∠ABC=90°，∠CBE=∠ABD=60°， 17