15.2 画轴对称的图形-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

第十五章 轴对称 (2)如图②，点P即为所求 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 1.C2.B3.C4C5.106.(1)MN(2)30 7.解：：△ADB与△ADB关于直线AD对称，点D,B均在 ① ② BC边上，.∠B=∠AB'D=50° ∠BAC=90°，∴.∠C=90°-50=40 15.2画轴对称的图形 又：∠AB'D=∠C+∠CAB', ∴.∠CAB'=∠ABD-∠C=50°-40°=10 第1课时画轴对称的图形 8.D9.8 1.D2.C3.34.林、共、品，吉、来5.68 10.解：(1)证明：由题意知，∠GCF十∠FCE=90°，∠FCE十 6.解：(1)如图，△AB1C1即为所求 ∠BCE=90,∴∠GCF=∠BCE. (2)如图，直线m即为线段AB的垂直平分线， 又：∠G=∠D=∠B=90°，GC=DA=BC, .△FPGC2△EBC(ASA), (2)由(1)知，△FGC2△EBC,.GF=BE 又：DF=GF,∴DF=BE,∴.四边形BOGF的面积=四边形 AEFD的面积= AE+DF)·AD=(AE+BE)·AD 2 2 AB·AD_8× 2 216 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 1.B2.C3.20变式题7 7,解：（答案不唯一）图①中，△DCB即为所求：图②中， △NC即为所求：图③中，△APQ即为所求.对称轴如图 4.正明：如图，连接AC,AD. 所示 “:AF是线段CD的垂直平分线， ∴.AC=AD. AB-AE, 在△ABC和△AED中，BC=ED, AC=AD, ∴.△ABC2△AED(SSS),.∠B=∠E 5.C6.AC7.4或12 图① 避② 周3 8.证明：1)OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, 第2课时用坐标表示轴对称 ∴.ED=EC,即△CDE为等腰三角形，∠ECD=∠EDC, 1.D2.A3.14.D5.(2,-3)6.D7.(4,-9)8.-2 (2):OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, 9.解：(1)如图，△A,B:C1即为所求，点C:的坐标为(3，一2) ∴.∠DOE=∠COE,∠ODE=,∠OCE=90°，OE=OE, (2)如图，△A:B:C:即为所求，点B2的坐标为（一1,1）， ,.△OED2△OEC(AAS),.OD=OC (3),OD=OC,且DE=EC, ∴.OE是线段CD的垂直平分线 9.B10.如果两个角是邻补角，那么这两个角互补11，A 第2课时线段的垂直平分线的作法 1.B2.D3.③ 4.解：（作法不唯一）(1)如图①，直线1即为所求， (2)如图②，直线1：即为所求 茶 10.解：1)如图 (2)如图，△A1B1C,即为所求 图① 品② 5.解：如图①，过点A和BC与EF的交点作直线，该直线就是 所求作的直线l:如图②，过BC,FE的延长线的交点和AC DE的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线. (作法不唯一 (3)(-a-4,b) 11.解：1)如图所示，△A,BC,即为所求 A1(0,4),B1(2,2),C1(1,1). 图1 图② (2)如图所示，△A2B,C,即为所求 6.解：(1)（作法不唯一）知图①，直线1即为所求 (3)是.如图所示，直线1即为所求 4444 194 八年级数学R刷版 8 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 15.3等腰三角形 1.D2.B3.24 4.证明：”△ABC为等边三角形， 15.3.1等腰三角形 ∴.∠ABD=∠C=60°，AB=BC 第1课时等腰三角形的性质 (AB=BC, 1.B变式题(1)C(2)30°2.B3.70°4.36 在△ABD和△BCE中，∠ABD=∠C, 5.解：，AD=BD,∴∠A=∠ABD=40 BD=CE, '∠CDB=∠A+∠ABD,.∠CDB=80 ·△ABD2△BCE(SAS),.AD=BE BD=BC,∴∠CDB=∠C=8O', 5.解：(1)△DBC和△EAC全等. ∴.∠DBC=180°-∠CDB-∠C=20° 理由：：△ABC和△EDC都是等边三角形， 6.C7.B8.(1)27(2)30 ,∴.∠ACB=60°，∠DCE■60°，AC=BC,DC=EC 9.解：，AB=AC,∠BAC=100' .∠BCD=60-∠ACD,∠ACE=60°-∠ACD, 六∠B=∠C-号a80-∠BAC)=0 .∠EBCD=∠ACE,∴△DBC≌△EAC(SAS). (2)证明：'△DBC2△EAC, :BD=BE,∠BDE=∠BED=2180'-∠B)=70 ∴.∠B=∠EAC=60 又，∠ACB=60°，.∠EAC=∠ACB, AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC, ..AE//BC. .∠ADB=90°， 6.B7.C8.29.2.5 .∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-70=20 10,证明：(1)：△ABC是等边三角形， ◆一题多解法《 .∠A=∠B=∠C=60”, :AB=AC,∠BAC=100°， ,'DE∥BC, ÷ZB=ZC=2a80-∠BAC)=40 .∠B=,∠ADE=60°，∠C=∠AED=60°， .∠A=∠ADE=∠AED=60°， yBD-BE,∴∠BED-∠BDE-(180-∠B ,△ADE是等边三角形. (2):△ABC是等边三角形 =70 .∠A=60,AB=AC=BC :AD平分ZBAC,∠EAD=号∠BAC=50 .BD=CE..AB-DB=AC-EC,AD=AE. ∴，△ADE是等腰三角形 ∠ADE=∠BED-∠EAD=70-50°=20°. 又，∠A=60°，△ADE是等边三角形 11.解：(1)：△ABC是等边三角形， 10.40"或70°或1009 .∠ABC=∠ACB=60 第2课时等腰三角形的判定 又：∠2=∠3， 1.C2.B3.C4.C5.D6.D7.A .∠ABC-∠2=∠ACB-∠3，即∠ABD=∠BCE, 8.B变式题(1)16(2)BD一CE=DE9.8010.10 ∴∠BEC=180°-∠2-∠BCE=180°-（∠2+∠ABD)= 11.正明：BE=CF, 180°-60°=120 ∴.BE十EF=CF十EF,即BF=CE. (2)是，理由如下： 在Rt△ABF和Rt△DCE中， 由(1)可知，∠BEC=120°，，∠DEF=60 BF=CE. 可理可得∠DFE=∠EDF=60°，∴.△DEF是等边三角形 AB=DC, 第2课时含30°角的直角三角形的性质 ,.Rt△ABF≌Rt△DCE(HL), 1.B2.B3.D4.4 .∠AFB=∠DEC,∴，OE=OF 5.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. 12.正明：如图，延长AE交BC的延长线于点F, 在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC, 'AD∥BC '.∠D=∠DCF,∠DAE=∠F ÷∠B=∠C=2a80-∠BAC)=30 ,E是CD的中点， 又AD⊥BC,∠ADB=90”, .DE-CE. .△AED2△FEC(AAS), ∴AD=号AB=立X12=6,膨张边上的高为6 ..AE=FE. 6.C7.7.2 AE平分∠DAB, 易错易混专练等腰三角形中的 .∠EAD=∠BAE ∴.∠BAE=∠F, 分类讨论问题 .BA=BF, 1.C2.72或36或108 .BE平分∠ABC 3.解：设等腰三角形顶角的度数为工，则底角的度数为x十30或工 13.解：如图，点D即为所求 -30. 上册参考答案 19515.2画轴对称的图形 第1课时 画轴对称的图形 已知识要点扫描 知识点② 补全轴对称图形 1.由一个平面图形可以得到与它关于一 4.如图所示的都是某个汉字的一半，它们依次 条直线（对称的图形，这个新图形与原图形的 是 形状、大小完全相同.新图形上的每一个点都 是原图形上的某一点关于直线1的对称点.连 接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分。 弟4题图 2.几何图形都可以看作由点组成，对于一 5.如图，已知△ABC和边AC所在的 些规则的几何图形，只要作出图形中的一些特 直线l,作△ABC关于直线1对称的 殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称 三角形，点B的对应点为D.若∠B B 点，就可以得到与原图形形成轴对称的图形. =100°，∠ACB=46°，则∠BAD= 巴基础对点训练 第5图 知识点①设计轴对称图形 6.(2024一2025赣州于都月考)如下图，在10 ×10的正方形网格中，每个小正方形的边长 1.分别以直线1为对称轴作轴对称图形，下列 所作轴对称图形中，正确的是 都为1，网格中有一个格点三角形ABC(即 三角形的顶点都在格点上) D 2.如图所示的是一个4×4的正方形网格，其 中已有3个小正方形涂上了阴影.现在要从 其余13个白色小正方形中选出1个也涂上 阴影，使阴影部分成为轴对称图形，这样的 (1)在图中作出△ABC关于直线1对称 白色小正方形有 的△A1B,C1. A.2个 B.3个 (2)用无刻度直尺作出线段AB的垂直平 C.4个 D.5个 分线。 7.如图，请分别在下列2×2的正方形网格中， 画一个位置不同、顶点都在格点（网格线交 点)上的三角形，使其与△ABC成轴对称图 形，并用虚线标出你所画图形的所有对 第2题图 第3题园 称轴。 3.如图，在正三角形网格中，已有两个小正三角 形涂上了阴影，再从图中其余小正三角形中 选一个涂上阴影，使整个涂上阴影的图案构 成一个轴对称图形的方法有 种. 图③ 八年级数学B版 第2课时 用坐标表示轴对称 已知识要点扫描 【点拨】(1)根据关于y轴对称的点的特 1.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是 点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，找出点 (x,一y),即关于x轴对称的点的横坐标相 A,B,C关于y轴对称的对应点A',B',C的 同，纵坐标互为相反数， 位置，然后顺次连接即可；(2)由图可知，AB 2.点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是 PQ,根据△PQM与△ABC会等，利用网格特 (一x,y),即关于y轴对称的点的纵坐标相 点找到，点M即可， 同，横坐标互为相反数 已基础对点训练 3.点(a,b)关于直线x-m对称的点的坐 知识点① 关于x轴对称的点的坐标特征 标是(2m-a,b). 1.在平面直角坐标系中，点A(-2,3)关于x 4.点(a,b)关于直线y=n对称的点的坐 轴对称的点的坐标是 () 标是(a,2m-b). A.(2,3) B.(-2,3) 已经典例题剖析 C.(2,-3) D.(-2,-3) 【例】如下图，在平面直角坐标系内， 2.在平面直角坐标系中，有A(3,3),B(3,一3) △ABC各顶点的坐标分别是A(一2,3)， 两点，则点A与点B关于 () B(-3,2),C(-1,一2).线段PQ两端点的坐 A.x轴对称 B.y轴对称 标分别为P(2,-3),Q(3,-2). C.原点对称 D.直线y=x对称 3.(2025新余渝水区期末)已知点A(1一1,3) 与点B(2,n一1)关于x轴对称，则(m+ n)22s的值为 知识点②关于y轴对称的点的坐标特征 4.在平面直角坐标系中，点P(一2,3)关于y 轴对称的点的坐标是 () (1)请在图中作出△ABC关于y轴对称 A.(-2,-3) B.(2,-3) 的△A'B'C'(点A,B,C的对称点分别是A', C.(-2,3) D.(2,3) B',C),并直接写出点A',B',C的坐标. 5.如图，在平面直角坐标 (2)若△PQM与△ABC全等，请作出一 系中，△ABC的顶点A 个满足条件的△PQM,并写出点M的坐标. (-2,3),B(-4,1),C 【解】(1)如图，△A'BC即为所求，A'(2, (-1,1),先作△ABC 3),B(3,2),C(1,-2 关于y轴对称的 第5题图 △A:BC1,再作△AB1C1关于x轴对称的 △AB,C2,这样的过程称为“第1次变换”.作 △A:B,C2关于y轴对称的△AB,C3,再作 △A:BC:关于x轴对称的△A,B,C4,这样 的过程称为“第2次变换”.“第2025次变换 (2)如图，△PQM即为所求，点M的坐标 后，△A4sB4sC4so的顶点A的坐标为 为(1,2)（答案不唯一） 上册第十五章 知识点③ 关于直线x=m或y=n对称的 10.(教材变式)如下图，在12×10的网格中， 点的坐标特征 △ABC的顶点均在格点（小正方形的顶点） 6.在平面直角坐标系中，若点P(a,5)在第二 上，点B的坐标为（一5,1），点C的坐标为 象限，则点P关于直线m(直线m上各点的 (-4,5) 横坐标都是2)对称的点的坐标是 ( ) (1)请在图中画出x轴、y轴，并标出原 A.(-a,5) B.(a,-5) 点O. C.(-a十2,5) D.(-a十4,5) (2)画出△ABC关于直线1对称 7.若A(4,3),B是平面直角坐标系内的两个 的△A1B1C1 点，且它们关于直线y=一3对称，则点B的 (3)若点P(a,b)在△ABC内，其关于直线 坐标是 L的对称点是P1,则点P,的坐标是 8.在平面直角坐标系中，已知A(一1，a), B(b,3)两点关于直线x=2对称，则a一b= 知识点④ 在平面直角坐标系中画轴对称 图形 9.(2024一2025济宁嘉祥期中)△ABC在平面 直角坐标系中的位置如下图所示，A,B,C 11.(2024一2025赣州石城期中)△ABC在平 三点在格点（网格线的交点）上 面直角坐标系中的位置如下图所示 (1)画出△ABC关于x轴对称的 (1)作出△ABC关于y轴对称的 △A1B1C1,并写出点C1的坐标 (2)画出△ABC关于y轴对称的 △A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的 △AzB,C2,并写出点B2的坐标. 坐标， (2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移 后的△A:BzC2 (3)观察△A1B1C1和△AzB2Ca,它们是否 关于某条直线对称？若是，请作出这条对 称轴；若不是，请说明理由. 36 八年级数学B版