第十二章 全等三角形 单元复习归纳-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十二章 全等三角形 单元复习归纳 01-知识网巧构建 一具备普通三角形的判定方法 r直角三角形一 -斜边和一条直角边(HL) 一全等三角形的判定 -边边边(sSs) -普 角形 边角边(SAS) 角边角(ASA) -角角边(AAS) 性质:角平分线上任意一点到角两边的距离相等 -角的平分线- 判定;角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 -尺规作图 找夹角(SAS) -已知两边 找直衔(HL) 全等二形一 找第三边(SSS) 找已知角的另一边(SAS) -边为角的邻边 -基本方法 找已知边的对角(AAS) 已知边·角 找已知边的夹角(ASA) 边为角的对边,找任意角(AAS) -已知两角 找两角的夹(ASA) -找任意一边(AAS) -对应边相等 对应角相等 一全等三角形的性质 对应中线,高和角平分线相等 面积相等 02.微专题妙总结 微专题1连接法构造全等三角形 △ECM,进一步得到 DBM一 ECM,故证角 例如图1,已知BE与CD相交于点A 的相等可转化为证这两个三角形全等,从而得 出结论. 点M为BC的中点,1=2,AB-AC D 求证:/DBM- /ECM 分析 由图1知 DBM与 ECM分别在 △DBM与△ECM中,又已知 1= 2,BM= C CM,只要证明DM-EM,就可得到△DBM 图1 63 重难用册 八年级数学 上册 证明如图2,连接AM. 另外,在四边形ABCD中,以下三个条件 D E 知二推一: ①AC平分 DAB;② ADC+ABC= ③4 180*}③CD-CB. ,。 B C 即①②→③:①③→②;②③→①. 图2 注意另一种情况,可类似得到相关结论 .点M为BC的中点 例(2023·武汉外校模拟)如图, ..BM-CM. $ $BDE= ACB-90*$,$BD=$DE,BC=AC$$F$$$ 又AB-AC,AM-AM: 是AE的中点,写出线段FD与线段FC的关 ..△ABM△ACM(SSS) 系并说明理由. .3-4.AMB- AMC 解析FD-FC,FDIFC. 习 又1-2. 理由如下: . /DMA-/EMA 延长CF至点M,使MF一 .DAB-EAC. CF.连接ME,DM,DC,延长 一 .'. DAM- /EAM DE交AC于点N. B ..△AMD△AME(ASA) 过( .F为AE的中点, ..AF-EF ..DM-EM ":AFC- MFE. 又 1- 2,BM-CM. .DBM/ECM(SAS) ..△AFC△EFM ./DBM-ECM '.ME=AC=BC.EMF=FCA 微专题2对角互补的四边形模型 ..ME//AC. ..MED-AND . BDN+ BCN+DBC+DNC 下列两种情况: 36 0{.$BDN-90^{*$BCA-90{$$$$$ (1)邻边相等且对角互补的四边形 (2)一边与对角线相等且对角互补的四 '. DBC+DNC-180* 边形. “AND+DNC=180*. 均可由截长补短等方法推出一些与全等 .. DNA- DBC 三角形有关的结论 *. MED- DBC. 例如,已知在如图所示的四边形ABCD中, . BD=DE.ME-BC DC=BC.ADC+ ABC=180*,则AC平分 'DBC/DEM DAB. '. BDC= EDM.DC-DM '. CDM- BDE-90 ' DCM-DMC-45* .DC=DM,MF=CF. ..FD FC '. CDF-90*-DCF-45* 拓展结论:①AE-AD=BE:②AB+ '. /CDF=DCF AD-2AE;③AB-AD-2BE '.FD-FC,故FD-FC,FD FC 64 第十二章 全等三角形) 微专题3一线三等角 分析(1)AD1MN于点D,BE1MN 如图1.已知 BAC,AB=AC,在 BAC 于点E,又ACB=90{},在Rt△ADC与 外部有过点A的线段DE,且D-E= Rt/八CEB中,直角对应相等,斜边对应相等,又 BAC,则△ADB△CEA DAC与 BCE同为 ACD的余角,自然也 特殊地,当 BAC一90{时,就成为如图2 是相等的,所以可得到△ADC△CEB.进一 中的三垂直,即DE一BD+CE 步可推出DE一AD十BE.(2)(3)与(1)的证明 思路类似,先证明ADCCEB,再来证明 DE,AD.BE三条线段间的等量关系。 0 证明(1)①.AD |MN,BE|MN C 图1 图2 . ADC-CEB-90*- ACB. 如图3,已知BAC,AB=AC,在BAC .CAD十 ACD-90* 内部有射线AF,且 BAC= BDF= CEF “BCE十ACD=90*. 则ADB/CEA. .. CAD-/BCE. 特殊地,当 BAC一90{时,就成为如图4 .AC-BC. 中的三垂直,即DE一CE-BD ..△ADC△CEB(AAS). 1 ②△ADC/CEB. .'.AD-CE.CD-BE ..DE=CE+CD-AD+BE , 。 图3 图4 (2)'.:AD MN.BE MN. 例B在△ABC中,ACB=90*,AC= .. /ADC=/CEB-90*=ACB BC.直线MN经过点C,且ADIMN于点D. '. BCE十CBE=90*,BCE十 ACD -90”. BEMN于点E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置 .ACD-CBE. 时,求证: 又AC-BC. ①△ADC△CEB ..△ACDCBE(AAS). ②DE-AD+BE. ..AD-CE.CD-BE (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置 ..DE-CE-CD-AD-BE 时,求证:DE一AD-BE (3)当MN旋转到图3的位置时,AD. (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置 DE,BE所满足的等量关系是DE一BE一AD 时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系? (或AD-BE-DE或BE=AD+DE等) 请写出这个等量关系,并加以证明 . ADI MN,BE IMN. M MDCEN C/M .. ADC=CEB=90*- ACB .. BCE十CBE-90*,BCE十ACD B -90{. N 图1 图2 图3 .ACD-CBE 65 重难用册 八年级数学 上册 2 又AC-BC '.AD=CE,CD=BE ..△ACD△CBE(AAS). '.DE-CD-CE-BE-AD 03 单元学能测评 时间:120分钟 满分:120分 一、选择题(每小题3分,共30分) ADB,则 B的度数为( ). A.30* B.60* C.45* 1. 如图,ABC与/AEF全等,AB三AE D.20” /B三E,现有以下结论:①AC=AF; 5.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中 ②/FAB-EAB;③EF-BC;④EAB 点,DE AB于点E,DF AC于点F,则图 /FAC.其中正确的结论有( ). 中的全等三角形共有( ). A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B C 2.在下列各条件中,不能作出唯一三角形的是 第5题图 第6题图 C 6.如图,AD是△ABC中BAC的平分线, A.已知两边和夹角 DE AB于点E,S c=5,AC=3,AB B.已知两角和夹边 4,则DE的长是( ). C.已知三边 C.4 B.3 D.5 D.已知两边和其中一边的对角 3. 如图,E=F=90,B=C,AE 7.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠 AF,现有下列结论;①/EAC= FAB; BC,BD为折痕,则 CBD的度数为 ). ②CM=BN:③CD=DN;④△ACN A.60{ B.75* C.90” D.95* △ABM.其中正确的结论有( ). A.4个 B.3个 D.1个 C C.2个 E E B E A A C 第7题图 第8题图 r A 8. 如图. ACB=90*,AC=BC.AD|CE B BE CE,垂足分别是点D.E,AD=3, 第3题图 第4题图 BE-1,则DE的长是( 一 4.如图,在Rt△ABC中,C-90{*},过点D作 } C.2/2 B.2 D.10 DE |AB于点E,DC-DE,DE恰好平分 66 第十二章 全等三角形 9.如图,已知在△ABC中,AD是中线,AB三 A . 5.AC-3,则AD的取值范围是( E A.3 AD5 B.1AD4 B C.2AD8 D.0AD1 rC 第13题图 第14题图 14.如图,在△ABC中,C-90*},ABC的平 分线BD交AC于点D,且CD:AD= D 2:3,AC-10cm,则点D到AB的距离等 于 CME cm. 第9题图 第10题图 15. 如图,在△ABC中,AB=AC,BAC 10.如图,B.C.E三点在同一条直线上,CD平 分 ACE,DB=DA.DM BE于点M,若 BEIDE,垂足为点E,DE与AB相交于 AC-8,BC-6,则CM的长为( B3} 点F,若BE=v5,则△BFD的面积为 A.1 C.2 二、填空题(每小题3分,共18分) D 11.如图,B,E,C,F四点在一条直线上,AB/ DE,AB一DE,请你添加一个条件 D C B E 使△ABC2△DEF(ASA) C 第15题图 第16题图 1 □ 16.如图,在正方形ABCD中,E为BC上的一 点,F为CD上的一点,BE十DF=EF,则 EAF的度数是 E C 。 A 三、解答题(共72分) 第11题图 第12题图 17.(8分)如图:在Rt△ABC中,ACB 12.如图所示,利用尺规作 AOB的平分线, 90{$,点D,F分别在AB,AC上,CF=CB 做法如下:①在OA,OB上分别截取OD 连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向 OE,使OD=OE;②分别以D,E为圆心 旋转90{后得CE,连接EF (1)求证:△BCD△FCE. AOB内交于一点C;③画射线OC,射线 (2)若EF//CD.求 BDC的度数 OC就是AOB的角平分线,在用尺规作 A 角平分线时,用到的三角形全等的判定方 法是 13.如图,五边形ABCDE中有一等边△ACD. 若AB=DE,BC=AE. E=115^*,则$$ BAE- 67 重难用册八年级数学 上册 2 18.(8分)如图,AM为△ABC的边BC上的 21.(8分)已知正方形ABCD的四个顶点都是 高,E为AC上一点,BE交AM于点F,且 格点,E点也是格点,目在BC边上,仅用 有BF-AC,FM-CM.求证:BE AC 无刻度的直尺在给定的网格中完成画图 A 画图过程用虚线表示 7 C 7 图2 阁1 阁③ (1)在图1中画格点F,并连接AF,使AF -AE,且AFIAE (2)在图2中连接EF,过点A作AG EF 于G点. (3)在图3中延长AG交DC于点M,直接 19.(8分)如图,在四边形ABCD中,已知AB 写出线段DM,ME,BE间的数量关系 CD.AD=CB.DE=BF,且点E.F分别在 AD.CB的延长线上.求证:BE一DE 不需要说明理由 E C 20.(8分)如图,已知在△ABC中,AD平分 22.(10分)如图,在/ABC中,AE,BF是角平 BAC,点E,F分别在BD,AD上,且 分线,交于Q点,若/C=90{.BC=8.AC DE-CD.EF-AC.求证:EF//AB -6.Scr=4,求SwoB. A D 68 第十二章 全等三角形 23.(10分)如图1.已知线段AC/y轴:点B 24.(12分)已知PAQ与正方形ABCD共顶 在第一象限,且AO平分 BAC,AB交 点A,且 PAQ=45{*},PAQ的两边所在 v轴于点G,连接OB,OC 直线分别与正方形的边CD,CB所在的直 (1)判断△AOG的形状 线相交于点M,N. (2)若点B,C关于y轴对称,求证;AO CMP M DC BO. __ (3)在(2)的条件下,如图2,点M为OA上 B 一点,且 ACM-45*,BM交y轴于点 NQ P,若点B的坐标为(3,1),求点M的 图1 图2 图3 坐标. (1)当 PAQ在/BAD内部时,如图1,直接 7 写出线段DM.BN,MN之间的关系 (2)当正方形的边AB在 PAQ内部时; 如图2,(1)中的结论还成立吗?如果 C 不成立:请你写出正确的结论,并说明 理由: 阁1 图2 (3)当 PAQ绕A点顺时针旋转。(45* a 135})时,如图3,直接写出线段 DM.BN,MN之间的关系 69重雕手册人年级教学上册风则 ,M,N分别为AB,BD的中点，AB=2BC, ,'.△DMC≌△DNB(AAS) .BM-AM-BC-ZAB-BD-DN-BN-DE. ,∴.DC=DB.故③错误， :∠MAN为公共角，∠B=∠C,AC=AN, 如图1，连接CM,EN, △ABM2△ACN.故④正确 ∴∠BMN=∠BNM=∠DNE=∠BMC=45, 4.A提示：有三个全等三角形，△ABC的内角和为 ∴.∠CMN=∠MNE=9o°. 180°. 易证△BCM≌△DEV(SAS),,∴.CM=NE. 5.A提示：△ABD2△ACD,△AEG≌△AFG,△BED≌ 又，∠CKM=∠EKN, △CFD,△EGD≌△FGD,△AED≌△AFD ∴，△CMK≌△EVK..CK=EK. 6.A提示：过点D作DH⊥AC于点H,如图 (2)如图2，过C,E分别作直线MK的垂线段，垂足分 :AD是△ABC中∠BAC的平分线，IDE⊥AB.DH LAC, 别为P,Q,由(1)知△ABC≌△BDE,△BCM≌ ∴.DE-DH. △DEN, 设DE=DH=x, ∴.BM=BN,CM=NE,∠DNE-∠CMB, :SAM十SAMB=S△AME, ∴.∠BNM=∠BMN. ∴.180°-∠BNM-∠DVE=180°-∠BMN-∠CMB. 即∠CMP=∠ENQ ∴a=9,即DE-9。 又，∠CPM=∠NQF=90°，CM=EN. 7.C提示：利用折叠的保形性， ∴.△CMP≌△ENQ.∴.PC=QE. 8.B提示：易证△ADC≌△CEB,得CD=BE=1,CE '∠CPQ-∠EQP=9o°，∠EKQ=∠CKP, AD=3. .△CPK≌△EQK.∴CK=KE ..DE=CE-CD=2. 9.B提示：如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接 BE,可得△ACD≌△EBD(SAS). ..AC=BE. 在△ABE中，由三边关系可得AB-BE<AE<AB+ BE,.5-3<2AD3+5. :1<AD<4.故选B 图1 图2 单元学能测评 1.C2.D 3.B提示：∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF, C材 .R△ABE2R△ACF(AAS). 第9题图 第10题图 .∠FAC=∠EAB,AC=AB. 10.A提示：如图，过点D作DN⊥AC于点N, ∴.∠EAB-∠MAN=∠FAC-∠MAN :CD平分∠ACE,DMLBE,∴.DN=DM. ∴∠EAC=∠FAB.故①正确. ∴.Rt△DCN≌Rt△DCM(HI). ∠E=∠F=90°，AE=AF, Rt△ADN≌Rt△BDM(HL). ∴.△EAM≌△FAN(ASA).∴.AM=AN. .CN=CM.AN=BM. ∴.AC-AM=AB-AN,即CM=BN.故②正确， .AN=AC-CN.BM-BC+CM. ,MC=BN,∠C=∠B,∠CDM=∠BDN, ∴.AC-CN=BC+CM∴，2CM=AC-BC 12 参考答架与提示么超 AC=8,BC=6,.CM=1. ∠EAF-z∠HAF=45 11.∠A=∠D. 17.(1)由旋转可得CD=CE.且∠DCE=90° 12.SSS. 13.125.提示：易证△ABC2△DEA.∠BAC=∠EDA ∠DCB+∠DCF=90°，∠ECF+∠LDCF=90. ∠DCB=∠ECF .∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE=∠EDA+ ∠CAD+∠DAE=180°-∠E+∠CAD=125 又，CF=CB,∴.△BCD≌△FCE(SAS). (2):EF∥CD,∴.∠E+∠DCE=180°. 14,4.提示：过点D作AB的垂线，垂线段长即为点D 到AB的距离. 又，∠DCE-90°，∠E=90°. 15.5.提示：如图，倍长BE至点M,连接DM交AB于 :△BCD≌△FCE,∴∠BDC=∠E=90 点G,则△BDE≌△MDE(SAS), 18.:AM为△ABC的边BC上的高， ∴.∠BMF=∠AMC=90. ∴∠BDE=∠AMDE=∠C BF=AC. ∴.∠MDB=∠C=45 在R△BMF和Rt△AMC中， FM-CM. ∴.△BDG为等腰直角三角形，“8”字导角：∠MBG= .Rt△BMF≌Rt△AMC(HL). ∠FDG,△BGM≌△DGF(ASA). ∴.∠EBC=∠CAM. ∴DF=BM=2BE=2V5,Sm= 号K DFX BE= :∠BFM=∠AFE,∴.∠AEF=∠BMF=90. .BE⊥AC ×5×25=5. 19.如图，连接BD. 在△ABD和△CDB中， AB=CD. BD=DB. D H B E AD=CB. 第15题图 第16题图 ∴.△ABD2△CDB(SSS). 16.45.提示：如图，延长EB至点H,使BH=DF,连 ∠ADB=∠CBD..∠EDB=∠FBD. 接AH. DE-BF. 在△ABH和△ADF中， 在△DEB和△BFD中， ∠EDB=∠FBD AB=AD, DB=BD. ∠ABH=∠ADF=90°， .△DEB≌△BFD(SAS).∴.BE=DF BH=DF, .△ABH≌△ADF .AH=AF,∠BAH=∠DAF ∴∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF 即∠HAF=∠BAD=90°. D BE+DF=EF. BE+BH=EF,即HE=EF 在△AEH和△AEF中， 第19题图 第20题图 (AH=AF. 20.如图，延长AD至点M,使DM=DF,连接CM AE=AE, 在△DFE和△DMC中， EH=EF. DF=DM, ,∴.△AEH≌△AEF(SSS) ∠FDE=∠MDC, ∴.∠EAH=∠EAF ED=CD, 13 重雅线手册八年级教学上册则 ,.△DFE2△DMC(SAS) (2)如图1，连接BC,过点O作OE⊥AB于点E, .EF=CM,∠EFD=∠M ,B,C关于y轴对称，AC∥y轴，延长AC交x轴于 EF=AC,.AC=CM,.∠DAC=∠M 点D,.AC⊥BC,CD⊥OD. :AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠DAC 又·OA平分∠BAC,.OD=OE. ∴∠BAD=∠EFD..EF∥AB. DO=EO. 在R△COD与Rt△BOE中， 21.(1)如图1所示. CO-BO. (2)如图2所示. ,Rt△COD≌Rt△BOE(HL) (3)DM+BE=ME(如图3所示). ∴.∠DO=∠EB)..∠BAC+∠BC=180. 设∠BAO=∠CAO=x,∠OBC=∠OCB=y, .2.x+∠B0=180°. 又，2y+∠B0C=180°， ∴.x=y,故∠OAC=∠OBC 图1 图2 图3 ∴.∠AOB=∠ACB=90°..AO⊥BO 22.如图，在AB上截取AM=AF,BN=BE,连接OM, ON,MF交AE于点H,则有△AOF≌△AOM(SAS), △BOE≌△BON(SAS). M N 图1 图2 (3)如图2，连接BC,作MF⊥x轴于点F,BH⊥.x轴于 B E 点H,则∠ACB=90° :∠1=号∠ABC+号∠BAC=45, ,∠ACM=45,∴.CM平分∠ACB. 又AM平分∠BAC ∴.∠1=∠2=45. ∴.BM平分∠ABC 同理可得∠3=∠4=45，OE=ON,M.F关于AE对称， 设∠ABM=∠CBM=, ∴，HF=MH,OALMH,SAxe=SANM,SE=SnN, 由(2)可得∠OMB=x+x+∠OBM=y+z=x+x. ∴∠5=180°-∠2-∠1-∠4=45°=∠2. ∴.∠OMB=∠OBM.OM=OB. 作MG⊥ON于点G,∴.MG=MH=HF. ∴.△OBM为等腰直角三角形. :SaBF=2OE·HF.Saww=20N·MG, ∠MFO=∠OHB=90°， 六SABF=SAMN.六S8省=豆S边无U时 在△OMF与△BOH中， ∠FMO=∠HOB. OM=OB. :5w=号×6X8=24, ∴.△OMF2△BOH(AAS). .Sg边年8F=24一4=20. ∴.OF=BH=1,MF=OH=3.∴.M(-1,3. .S△￥m=10. 24.(1)MN=DM+BN. 23.(1)△AOG的形状为等腰三角形.理由如下： (2)不成立，DM-BN=MN. AC∥y轴，∠CAO=∠GOA 证明：如图1，在DC上截取DE=BV,连接EA,易证 :AO平分∠BAC,∴.∠CAO=∠GAO. △ADE≌△ABN(SAS), ∴.∠GOA=∠GAO..AG=OG ∴.AE=AN,∠DAE=∠BAN ∴.△AOG为等腰三角形. ∴.∠EAN=∠DAB=90°. 14 参考答案与提示么 又，∠MAN=45°， 【学业质量测评】 .∠EAM=45°，易证△MEA≌△MNA(SAS) 1.A ∴.ME=MN.∴.DM-BN=MN. 2.C提示：△ABC2△A'B'C. 3.C提示：图形①②③均有2条对称轴，图形④有3条对 称轴 4.B提示：，直线MN是四边形AMBN的对称轴， 点A与点B对应 图1 2 Q ∴.AM=BM,AN=BN,∠ANM-∠BNM. :点P是直线MN上的点， (3)如图2，延长DC至点E,使DE=BN,连接AE,易 ∠MAP=∠MBP. 证△ADE≌△ABN(SAS), ∴.A.C.D正确，B错误. .AN=AE.∠DAE=∠BAN. 5.5.提示：：△BCD沿者直线BD翻折得到△BED, ∴，∠DAB=∠EAN=90. ·△BED≌△BCD. 又∠PAQ=45°，.∠PAE=45. .DE=DC=5cm.∠BED=∠C=90° ∴.∠MAN=∠MAE. 故点D到AB的距离DE=5m 易证△MAE≌△MAN(SAS, 6.140°. 提示：∠1十∠2=360°-∠A'EA-∠A'DA ∴.MN=ME-MD+BN.即MN=DM+BN. ∠A+∠A'=2×70°=140°. 7,如图，当把②，④或⑤涂黑时，阴影部分是轴对称图形 第十三章轴对称 13.1轴对称 [变式1]C提示：根据轴对称的性质可知阴影部分的 面积与三角形ABD的面积相等。 [变式2]A提示：根据折叠的特性和矩形的性质得出 ∠BFE=∠EFB,∠B=∠B=90 ∠2=40°，∠CFB=509 又：∠1+∠EFB-∠CFB=180°. 8.易证△BPQ≌△CQR(SAS),得PQ=QR,从而得点Q 在PR的垂直平分线上. ∴.∠1+∠1-50°=180°.∠1=115° 9.C10.C11.C [变式3]如图，连接BC AB=AC, 12.B提示：如图.CD=CD=CE,S= 方A'B. ∴点A在BC的垂直平分线上. CE=号ABX3CD=3S6M. 又：DB=DC. ∴.点D在BC的垂直平分线上 ∴.DA是线段BC的垂直平分线。 又·点E在AD上，BE=CE [变式4]87°.提示：：DE是BC的垂直平分线， 13.1.提示：连接AA',BB,CC. .∠DBC=∠C=31° 14.如图，连接AE,CE,则由线段垂 又：BD平分∠ABC, 直平分线的性质得AE=CE,BE ∴.∠ABC=2∠DBC=2×31°=62. =DE. .∠A=180°-31°-62°=87”. 又AB=CD, 15