第十一章 三角形 单元复习归纳-【重难点手册】2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

样册 八年级数学 上册 ② 单元复习归纳 01-知识网5构建 - 6 +h->$ 位置与大小关系 高 与一角形有关的线段 中线 半分线 即 三角形的内角(和) 与三角形有关的角 三角形的外角(和) 多边形 多边形及其内角和 多边形的内角和 多边形的外角和 02-微专题妙总结 微专题 利用三角形三边的关系证明 *.AB+AC+MP+NQ>MP+PQ+ 不等式 NQ+BP+CQ 例如图1,P,Q是△ABC内两点,求 '.AB+AC PO+BP+CQ 证:AB+ACPQ+BP+CQ 总结 将需证图形分解为若干个三角形, A 4 其中含有待证式中的线段,每个三角形都用三 N 边关系式呈现出来,组合成待证式即可 Q Q M/P 若本例中的P,Q重合,证明方法类似 # C 微专题2求复杂图形中的角的关系 ☆ C 图1 图2 求复杂图形中几个角的和,可以结合图形 证明如图2,延长PQ,分别交AB,AC于 的特点,将复杂图形分解为若干个基本图形, 点M,N. 利用基本图形找出角度之间的隐含关系,充分 在△AMN中,有AM十ANMN 利用内角和公式、外角和定理、外角与内角的 在△MBP中,有BM十MPBP. 关系解题. 在△NCQ中,有CN+NQ>CQ 例(2021·宜昌中考)如图,将一副三 '.AM+AN+BM+MP+CN+NQ> 角尺按图中所示的位置摆放,点F在AC上; MN+BP+CQ 其中 /ACB-90{,ABC-60*,EFD-90$$ 即AB+AC+MP+NQ>MN+BP+ /DEF-45*,AB/DE,则 AFD的度数是 CQ. 又:MN-MP+PQ+NQ A.15。 B.30{ C.45* D.60* 24 第十一章 三角形) #B E 证明::1=A+B,1=C+$ ## D. ' A十B=C十D (3)凹四边形 解析设AB与EF交于点M. 如图,在凹四边形ABCD中,有/DCB= .AB//DE,'.AMF=E=45* A+ B十D ·ACB-90{*,ABC-60{ .A-30”. ' AFM-180*-30*-45*-105^* “·EFD=90”'AFD-15。 答案A M-→B 微专题3三角形中与角有关的几种常 证明:如图,延长DC交AB于点M. '. CMB- A十D. 见模型 又. DCB=CMB+ B 我们由三角形的基本知识可推导出常用 * DCB=A十B+D 的模型和一般结论,除本节讲解的角平分线模 例B如图1,若 E0C-115*,则 A十 型外,还有以下几种常见模型。 B十/C十/D十/E十/F 1.A形、X形、凹四边形模型 (1)A形 如图,DAE的两边上各有一点B,C,连 接BC,则有 DBC十/ECB=180*十A R 图1 解析 方法一 由凹四边形EDCO和凹四 D/ E 证明::DBC和ECB是△ABC的 边形ABOF可知,EOC= D+ E十C BOF= A+B+F. 外角, 'A十B+C+D+ E十F .DBC=A十ACB,ECB= EOC+BOF-2$115^*-230* 乙A十ABC. 方法二 如图2,连接BE,CF,AD. 又:A+ABC+ACB-180* ' DBC+ FCB=A+ACB+ ABC+A-180*+A (2)X形 如图,在X形中,有A十B一C十 B D D. 图2 B 由X形ACFD可知, DAF十 ADC A DCF+/CFA. 由X形ADBE可知,BAD十/ADE 25 重难用册 八年级数学 上册 ② BED+EBA AEF=180*-2 A-2 AEF 'A十B+C十D十E十F= '.1-2-180*-2 AEF-(180* OEB+OBE+OCF+OFC=2X115 2/A-2AEF). -230{. · 1-2-2A,即A-21{ 答案230. 答案B 2. 折叠模型 3.角平分线与垂线模型 如图,将 BAC沿DE向 BAC内部折 例如图1,AE,AD分别是△ABC的高 叠,A与A重合,则 1+ 2-2/A 和角平分线. ☆ (1)若 B=40{*,C=80{*,求 DAE的 度数. _A (2)如图2.AD平分/BAC,点P是AD 证明::ADE+ AED-180*-A: 由折叠可知,A'DE+A'ED=180*- 延长线上的一点,过点P作PE BC,求证; A. 由A形模型结论可得 BDE十 CED B 180{十A. .. 1+2= BDE+CED-A'DE+ A'ED)-2A. A 例如图,在△ADC中,点E和点F分 C 图1 图2 别为AD,AC上的动点:把△ADC纸片沿 解析(1)在△ABC中,BAC十B十 EF折叠,使得点A落在△ADC的外部A处 C-180”. 若 1-2-42{*,则/A的度数为 ). .B-40{}C-80{},.'BAC-60 A .AE,AD分别是△ABC的高和角平 分线, BAE-90{- B-90{-40*-50^{}$ A.20* B.21* C.21.5{*D.22.5* ' DAE= BAE- BAD-20 解析 根据折叠的性质得 A一A’, AEF-A'EF,/AFE-A'FE. (2):AD乎分/BAC. .1=180*-AEA',A'FE=CFE+ 2.CFE= A+AEF: C). '.1=180*-2 AEF,AFE=A+ ..PEBC, AEF+2. ' P=90*-PDE-90*-(B+ .AFE-180*-A- AEF, .2-180*-A-AEF-A- 26 第十一章 三角形 03-单元学能测评 时间:120分钟 满分:120分 C.有三种截法 一、选择题(每小题3分,共30分) D.有四种截法 1.下列各组数中,能作为一个三角形三边边长 7.若正多边形的内角和是1080{,则该正多边 。. 的是( 形的边数是( ). C.8 B.7 A.6 B.1,2,3 A.1,1,3 D.9 C.2,3,4 D.2,3.5 8.一个凸n边形的:个角中,至多存在锐角的 个数是( 2.一个等腰三角形的两边长分别为4cm和 ). A.2 B.3 C.4 8cm,则它的周长为 ). D.5 A.12cm B. 20 cm 9.如图,在五边形ABCDE中,A十/B十 C. 16cm D. 16cm或20cm E=300{*},DP,CP分别平分 EDC. BCD.则 P-( . 3.若三角形的一个内角等于另外两个内角之 B.55。 C.60* ). A.50。 差,则这个三角形为( D.65” A A.锐角三角形 B.钟角三角形 A C.直角三角形 D.任意三角形 # 1 B GE 4.将一副直角三角板按如图所示的位置放 置,使含30{}角的三角板的一条直角边和含 C 第9题图 45^{*}角的三角板的一条直角边在同一条直线 第10题图 ). 上,则a的度数是( 10.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在三角 形的三边上,点E是AC的中点,AD,BE. CF相交于一点G.BD=2DC,Scrc=3, Scoe=4,则△ABC的面积是( . A.25 B.30 C.35 D.40 A.45* 二、填空题(每小题3分,共18分) C.75* B.60* D.85* 11.(2024·武汉江夏区测试)如图,在七边形 5. 下列四个图形中,线段BE是△ABC的高的 ABCDEFG中,EF,BA的延长线相交于点 是( ). P,若ABC.BCD.CDE,DEF的 B 外角的度数和为230{},则 P的度数为 A. B C D D 6.把14cm长的铁丝截成三段,围成三边均不 相等的三角形,且使三边长均为整数,那么 ( ). 7 B A.只有一种截法 B.有两种截法 12.在△ABC中,设 A-80*}B,C的平 27 重难册八年级数学 上册 2J 分线相交于点O,则BOC一_ 三、解答题(共72分) B.C的外角平分线相交于点P,则 17.(8分)如图,在△ABC中:AB=2019.AC BPC- ;B的平分线与C -2012,AD为△ABC的中线,求△ABD 的外角平分线相交于点D,则D= 的周长与△ACD的周长之差. 13.将完全相同的平行四边形和完全相同的 菱形镶嵌成如图所示的图案,设菱形中较 小角为x^{,平行四边形中较大角为y,则 y与:的关系式是 14.如图:正六边形AAAAAA内部有一个 正五边形BBBBB:且AA/BB,直 线/经过B,B,则直线/与AA.的夹角 A B 18.(8分)已知a,b,c是△ABC的三边,且a A. 4.6=6.若三角形的周长是小于18的 B 偶数: 15.将一块正五边形纸片(如图1)做成一个底 (1)求边c的长 面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒(侧 (2)判断△ABC的形状 面均垂直于底面,如图2),需在每一个顶 点处剪去一个四边形,如图1中的四边形 ABCD,则 BAD的大小是 图1 图2 16. 如图:若 CGE=120^{},则 A十B十 C十D+/E+F= B D 28 第十一章 三角形 19.(8分)如图,在ABC中:已知A=50}; 21.(8分)如图是小华和小明的对话 BE.CF分别是/ABC,ACB的平分线 我设计了一个多边形 小华,我觉得你求的 BE,CF相交于点P./ABP=21*,求 的图案,其内角和为 不对呀!我给你检查 1125{,小明,我求 一下,噢!你少加了 BCP的度数. (的对吗? -个内角的度数! 小华 小明 根据以上信息,求小华设计的图案是几边 形,少加的那个内角是多少度 20.(8分)如图,0-1,2=3,4= 22.(10分)如图,已知射线Ox与射线Oy互相 5.6=7.8-90{,求0的度数 垂直,B,A分别为Ox,Oy上的动点; ABx.BAy的平分线交于点C.问:点 B.A在Ox,Oy上运动的过程中,C的度 数是否改变?若不改变,求出其值;若改 B 变,请说明理由 29 重难用册八年级数学 上册 2 23.(10分)如图,在六边形ABCDEF中,AF/ 24.(12分)如图,在锐角△ABC中,AD是 CD.AB/DE,且BAF=110$,B=$12 0$$ /BAC的角平分线,线段BE垂直AC于 /E一100{},求其他几个内角的度数 点E,交线段AD于点F. P (1)试判断ABC和 C,BFD之间存 E 在何种等量关系,并证明 (2)如果 BAC是钝角,其他条件不变, (1)中的结论是否成立?若不成立,又 有怎样相应的结论?请画图证明. 30重用八年级数学 上册 2 角和应为12×180{,故n-14. 别用360{和720{}除以5就可以得到答案 9..正五边形各边相等,各内角也相等, 14.B 提示:如图,延长GH交BC于点K. ./AED-180”×(5-2)-108°. 5 $ EAF= ADE- DEC180*-108*-36-。 'AFE= ADE+DEC-72 10. DF/BE.理由如下; 正六边形的内角-(6-2)×180{-120°。 A+C+ ABC+ADC=360{,且 A=C 6 =90..ABC+ADC-180 正五边形的内角-(5-2)×180°-108”。 又BE,DF分别平分/ABC与 ADC 5 . ABE+ADF-90{。 2-180-108-72,1-120°-108*-12 又在Rt△DAF中.AFD+/ADF=90{* 在五边形ABKGP中 APG=(5-2)$180$- A-B- B$KG$-$ '. AFD- ABE .'.DF//BE KGP=540-120”-120”-(1+2)-(180”-108) 11. ·ABC= C-CDE-180*X(5-2) -108{. 5。 -540*-120{-120-84{-180*+108{-144^* 且 BG平分 ABC..'.CBG=54$$EDF=72 .DG平分 EDF.:.EDG=36..CDG 单元学能测评 144*},.在四边形BCDG中,G-360*}-54{-108 1.C 2. B 3.C 4.C 5.D -144*-54。 6.A 提示:能够围成三角形且边长为整数的有:①2,6. $2..A-C-90A+C+1+2=360 6;②3.5.6;③4.4.6;④4.5.5.只有②符合题意 * 1+ 2-180{,又由题有 6=n3, 5-n4 7.C 提示:由(n-2)×180{-1080{,解得n-8. 而3+6+1-180{,4+5+2-180”. 8.B 提示:问题相当于求多边形的外角中至多有几个 ' 3+6+1+4+5+2-360。 钝角. 1+2+3+n3+4+n4-360* 9.C 提示:根据多边形内角和公式及角平分线的性质 .. 1+2+(n+1)3+(n+1)4=360* 易求。 *(n+1)(3+4)-360*-1-2. 10.B 提示:因为点E是AC的中点,所以S-Ss 又1+2-180”。.3+4-180 n1 -3.又S-4,所以Sx-10.因为BD-2DC 而在四边形ABED(如图)中. 所以Sw-2S-20.所以S=30. A+2+4+E+3+1-360{,A-90 11.50{}提示;由题意得 1+2+3+ 4-230{ . E-360”-90-180*-180{ *5+6+7-360-230-130。 10~90-180 n叶1 ## .8-6+7. '5+8-130. :.P-180-(5+ 8)=180*-130-50(如图) M 13.D 提示;因为赛车五次操作后回到出发点,所以操作 方式有两种,即“正五边形”和“五角星”,根据。最大 值小于180{},经过五次操作,绝对不可能绕三圈或三 提示:可证BOC一90*十- 12.130{;50{;40°. 1乙A. 圈以上,则赛车可能绕原地一圈360{或两圈720{,分 4 参考答案与提示 G B$C-90- A D-A. BCM. '. M=70$BCM-50$$ $13.y-+90 14.48. '.BCD-180*-50*-130” 15.72^{。提示:正五边形的每一个内角都是108*,BAD 同理, AFE-180”-NFE-180”-[100*-(180” -360+-90*×2-108{-72。 -110)]-150{ 提示:D+E+C= CGE=BGF= 16.240%. 而 A+M-D+ M-180*, 乙A+B+F ./D- A-110* 17.7. 24.(1)2/BFD= ABC+/C.证明如下 18.(1)因为a=4,b-6.所以周长/的范围为12</<20. .AD平分/BAC,设/BAF=/CAD=x./AFE= 又因为周长是小于18的偶数,所以/-16或14. BFD-y. 当周长为16时,c一6:当周长为14时,c-4 ·BE AC..x+-90”..2x+2-180 (2)当c一6时,b=c.△ABC为等腰三角形 又2x+ABC+C-180*。 当c-4时,a三c.△ABC也为等腰三角形 *2y= ABC+C.即2 BFD= ABC+C 综上,△ABC为等腰三角形. (2)(1)中的结论仍成立,证明如下: 19..BE平分/ABC./ABE-21^* 如图.:AD平分BAC. .ABC-2X21*-42” *设BAD= CAD=x. 又:A+ ABC+B[CA=180A=50$ 乙AFE-3. ' BCA-180-50-42*-88{。 ·BECE,且CAD-FAE--. VCF平分BCA,.BCP=BCA-44 . '.+y-90.2x+2y-180 20.18{}. 又2x+ABC+C-180*. '2y= ABC+C.即2 BFD=ABC+C 21.设小华设计的图案是n边形 第十二章 全等三角形 ([n-2)×180*1125”. 由题意得 (n-2)×180”-1125*+180”. 12.1 全等三角形 解得8_。. [变式1] 如图,·△ABE和△ADC是由△ABC分别沿 .n是整数,.n-9. 着AB,AC边所在直线翻折180{得到的, '(9-2)X180*-1125*-135*. ..ABE/ADC△ABC 故小华设计的图案是九边形,少加的那个内角是135* ' E-DCA.DAC= BAE= BAC-136 $。$$ 22.不改变.理由如下: '. EAC-360*-BAE-BAC-360-136*-136$ -88 ·CAB+CBA-x(360*-90”)-135*, 在△EFM与△CAM中,E=DCA.FME= *.C=180*-(CAB+CBA)=180{-135^*-45^ CMA(对顶角相等)...EFC-MAC-88*。 故C为定值. .C的度数不会改变 ## 23.如图,延长AB.DC交于点M,延长AF,DE交于 点N. [变式2].A-80*,C=30{, .ABC=180*-A-C-70 由题意得△ABD2△A'BD,'ABD=A'BD .AF/CD,.A+M-180 2 ABC-35”,BA'D=乙A-80°。 . A=110{}, ABC=120*$ ABC=M+$$ 1