专题3.2 一元一次不等式（组）应用（5大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题3.2 一元一次不等式（组）应用（5大题型） 【题型一：球赛积分问题】 【题型二：分配问题】 【题型三：行程问题】 【题型四：经济问题】 【题型五：方案问题】 【题型一：球赛积分问题】 【典例1】为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内（含分线）投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球（只有分球和分球），所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 【变式1-1】我市某校为了落实“阳光体育活动”，在八年级开展了篮球赛．比赛规则是：八年级10个班级每个班级派出一支队伍参赛，赛制采用的是单循环积分赛（每个班级都与其他9个班级进行一场比赛），胜一场记2分，负一场记1分，然后按照积分高低进行排名．赛程过半，小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分． (1)求小明所在班级胜、负的场次各是多少； (2)根据分析，总积分超过15分才能确保进入前两名，小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得几场胜利？ 【变式1-2】为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【变式1-3】篮球赛单循环赛一般按积分确定名次．胜一场得2分，负一场得1分．如果积分相同，再比较相互间胜负记录．某次篮球联赛中，太阳队与蓝天队要争夺一个出线权，太阳队目前的战绩是12胜8负（与蓝天队无比赛），后面还要比赛5场（其中与蓝天队有一场比赛）；蓝天队目前的战绩是10胜10负，后面还要比赛5场．探究以下问题： (1)为确保出线，太阳队在后面的比赛中至少要胜多少场？ (2)如果太阳队在后面的比赛中3胜2负，未能出线，那么蓝天队后续战果如何？ 【题型二：分配问题】 【典例2】某加工车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母， (1)为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ (2)若每一个螺钉的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于万元，那么名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？ 【变式2-1】我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】某校六年级的一次活动中，将学生平均分成8组，如果分配每组人数比预定人数多1人，那么学生总数将超过100人；若每组人数比预定人数少1人，那么学生总数将不到90人，求预定每组分配学生的人数． 【变式2-3】把一些笔记本分给几个学生，如果每人3本 ，那么余8本，如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本，求学生有多少人？ 【变式2-4】2个小组计划在10天内生产1000个零件，并且每天的生产量相同，且生产的零件数为整数，按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产2个零件，就能提前完成任务，求每个小组原来平均每天生产多少个零件． 【题型三：行程问题】 【典例3】甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍． (1)求甲、乙两人行驶的速度； (2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围； (3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由． 【变式3-1】某段铁路全长2400千米，经过铁路技术改造，列车实现第一次提速，已知提速后比提速前速度增加了，行驶全程所需时间减少了4小时． (1)求列车提速前的速度； (2)现将铁路全长延伸至3000千米，且要继续缩短行驶全程所需的时间，则列车需再次提速，设提速百分比为m，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不应超过180千米/每小时，求m的取值范围． 【题型四：经济问题】 【典例4】凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4300 3600 售价（元/部） 4800 4200 (1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？ (2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的而用于购买这两种手机的资金低于81500元，清通过计算设计所有可能的进货方案． 【变式4-1】暑假临近，云云和南南约好去河南旅游，据悉，河南是一个有着悠久历史和丰富文化的省份，还有着许多美食和土特产：新郑大枣、道口烧鸡、灵宝苹果、信阳毛尖、铁棍山药等土特产都是河南的一张张名片．某土特产店销售着新郑大枣和信阳毛尖两种河南特产，若购买9盒信阳毛尖和6盒新郑大枣共需3900元；若购买5盒信阳毛尖和3盒新郑大枣共需2100元． (1)求每盒信阳毛尖和新郑大枣各多少元？ (2)若某公司购买信阳毛尖和新郑大枣共计30盒，且信阳毛尖的数量至少比新郑大枣的数量多5盒，又不超过新郑大枣的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【变式4-2】某超市计划购进甲、乙两种商品共计10件进行销售(购进甲、乙两种商品数量均不为0)．已知两件乙商品的进价比一件甲商品的进价贵20元，两件甲商品的进价比三件乙商品的进价贵10元． (1)求甲、乙两种商品的进价； (2)若购进甲、乙两种商品费用不超过590元，则该超市有几种进货方案? (3)该超市计划将甲商品定价100元/件，乙商品定价60元/件．若购进的10件甲、乙两种商品全部售完，且至少盈利150元，求购进的甲商品不能少于多少件? 【变式4-3】某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【题型五：方案问题】 【典例5】文化旅游节期间，某市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲、乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元． (1)求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？ 【变式5-1】新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金840元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金1380元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于5520元且不少于5280元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； (3)若甲型口罩的售价为每箱450元，乙型口罩的售价为每箱420元．（2）中哪种方案获利最多？最大利润是多少？ 【变式5-2】临近端午，某超市准备购进甜、咸两种口味的粽子，若购进甜粽子40盒，咸粽子16盒，需要1760元，若购进甜粽子20盒，咸粽子10盒，需要950元． (1)求购进甜、咸两种口味每盒各需多少元？ (2)该超市准备购进这两种口味的粽子共150盒，根据市场调查发现，甜粽销售情况比咸粽好，故该超市准备多购进甜粽，但数量不超过咸粽的2倍，购进两种口味粽子的总金额不超过4760元．根据以上信息，共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【变式5-3】某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元． (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用少于105万元且多于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？ 【变式5-4】我区采取了多项举措发展实体经济．夏布小镇一小商品店销售A，B两种小商品，已知3个A商品和2个B商品共售840元，2个A商品和1个B商品共售520元． (1)求A，B两种小商品每个售多少元？ (2)已知该店A商品成本为150元，B商品成本为90元．儿童节前夕，商店想在6月1日这天销售这两种商品共30个，总利润不低于1140元，并且A商品数量少于B商品数量．该商店共有哪几种可能的销售方案？请写出所有可能方案． 【变式5-5】新能源汽车因其环保、节能，被越来越多的家庭所喜爱，老宁车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出3辆甲型车和2辆乙型车，销售额为98万元；第二周售出5辆甲型车和4辆乙型车，销售额为174万元． (1)求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？ (2)湖湘科技发展有限公司准备向老宁车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共12辆，其购车费用不少于216万元，且不超过225万元，问有哪几种购车方案？ 【变式5-6】2023年暑假，兰州旅游爆火，全国各地的游客纷纷来兰州旅游避暑．某学校同学们为此积极设计了与两款文创产品，购买 1件产品与1件产品共需150元；购买3件产品与2件产品共需390元． (1)这两款文创产品的销售单价分别是多少元？ (2)若每个产品制作成本为60元，产品制作成本为40元，同学们准备制作两种文创产品共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次文创产品，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？ 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【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．（1）设小明所在班级胜了场，负了场，根据小明所在的班级已经进行了5场比赛，积9分，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜场，根据总积分超过15分才能确保进入前两名，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设小明所在的班级胜场，负场，依题意得 解得， 答：小明所在的班级胜4场，负1场． （2）设小明的班级在剩下的比赛中还要胜场，依题意得 解得， 为正整数， 答：小明的班级若想进入前两名在剩下的比赛中至少还要取得3场胜利． 【变式1-2】为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在八年级开展班级篮球赛，共16个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【答案】(1)胜12场，负3场 (2)4个 【分析】此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，找到等量关系列方程和找到不等关系列不等式是解题的关键． （1）设该班胜场，则负场，根据在15场比赛中获得总积分为39分列出方程，解方程即可得到答案； （2）设该班这场比赛中投中了x个3分球，则投中了个2分球，根据共投中27个球，所得总分不少于58分，列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设该班胜场，则负场，根据题意，得 . 解这个方程，得 ∴(场) ∴该班胜12场，负3场 （2）设该班这场比赛中投中了x个3分球，则投中了个2分球， 根据题意，得 解这个不等式，得 ∴该班这场比赛中至少投中了4个3分球 【变式1-3】篮球赛单循环赛一般按积分确定名次．胜一场得2分，负一场得1分．如果积分相同，再比较相互间胜负记录．某次篮球联赛中，太阳队与蓝天队要争夺一个出线权，太阳队目前的战绩是12胜8负（与蓝天队无比赛），后面还要比赛5场（其中与蓝天队有一场比赛）；蓝天队目前的战绩是10胜10负，后面还要比赛5场．探究以下问题： (1)为确保出线，太阳队在后面的比赛中至少要胜多少场？ (2)如果太阳队在后面的比赛中3胜2负，未能出线，那么蓝天队后续战果如何？ 【答案】(1)4场 (2)蓝天队后5场比赛全胜 【分析】（1）要保证太阳队出线，只需要考虑蓝天队后面5场比赛全胜即可，设太阳队后5场比赛胜x场，根据太阳队出线列不等式求解即可； （2）分①太阳队在后面的比赛“3胜”中含胜蓝天队，②太阳队在后面的比赛“3胜”中不含胜蓝天队两种情况，分别根据太阳队未能出线列不等式求解，并舍去不合题意的结果即可． 【详解】（1）解：要保证太阳队出线，只需要考虑蓝天队后面5场比赛全胜即可， 设太阳队后5场比赛胜x场， 根据题意，得， 解得， ∵x为正整数， ∴， 答：为确保出线，太阳队在后面的比赛中至少要胜4场； （2）设蓝天队后5场比赛胜y场， ①太阳队在后面的比赛“3胜”中含胜蓝天队， 根据题意，得， 解得y>5， 这与蓝天队后面只有5场比赛矛盾，舍去； ②太阳队在后面的比赛“3胜”中不含胜蓝天队， 根据题意，得， 解得， ∴当蓝天队后5场比赛全胜时，太阳队未能出线， 答：蓝天队后5场比赛全胜． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【题型二：分配问题】 【典例2】某加工车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母， (1)为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？ (2)若每一个螺钉的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于万元，那么名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？ 【答案】(1)应该分配名工人生产螺钉，名工人生产螺母； (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，找出题中等量关系是解题的关键． （1）设应分配名工人生产螺母，列出方程求解即可； （2）设名工人每月加工天才能完成车间任务，则，求解即可． 【详解】（1）解：设应分配名工人生产螺母，则 解得： ∴生产螺母的工人数为：（人） （2）解：设名工人每月加工天才能完成车间任务，则 a取整数，（天） ∴至少22天加工才能完成车间任务． 【变式2-1】我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题列不等式组，易得学生总人数，有一间宿舍不空但所住的人数不足5人是一个宿舍人数比0多，比5人少，关系式为：总人数间宿舍的人数；总人数间宿舍的人数，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住， ∴学生总人数为人， 由题意得：， 故选：C． 【变式2-2】某校六年级的一次活动中，将学生平均分成8组，如果分配每组人数比预定人数多1人，那么学生总数将超过100人；若每组人数比预定人数少1人，那么学生总数将不到90人，求预定每组分配学生的人数． 【答案】预定每组分配学生的人数为12人 【分析】设预定每组分配学生的人数为x人，根据，如果分配每组人数比预定人数多1人，那么学生总数将超过100人；若每组人数比预定人数少1人，那么学生总数将不到90人列出不等式组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配学生的人数为x人， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴， ∴预定每组分配学生的人数为12人． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系列出不等式组是解题的关键． 【变式2-3】把一些笔记本分给几个学生，如果每人3本 ，那么余8本，如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本，求学生有多少人？ 【答案】学生有6人 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设学生有x人，则有笔记本本，再根据如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有x人， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴， 答：学生有6人． 【变式2-4】2个小组计划在10天内生产1000个零件，并且每天的生产量相同，且生产的零件数为整数，按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产2个零件，就能提前完成任务，求每个小组原来平均每天生产多少个零件． 【答案】每个小组原来平均每天生产49个零件 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设每个小组原来平均每天生产x个零件，根据题意可知原来2个小组10天内生产的零件数小于1000，在每天比原来多生产2个零件后2个小组10天内生产的零件数大于1000，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：设每个小组原来平均每天生产x个零件， 根据题意，得， 解得． ∵x是整数， ∴． 答：每个小组原来平均每天生产49个零件． 【题型三：行程问题】 【典例3】甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍． (1)求甲、乙两人行驶的速度； (2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围； (3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时 (2) (3)当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是 【分析】（1）根据甲的路程和时间求出速度，从而得到乙的速度； （2）根据题意列出不等式组，解之可得x的范围； （3）分若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，两种情况，列出不等式组，根据解集即可得解． 【详解】（1）解：由题意，知甲从A地到B地用了2小时，行程是40千米， ∴甲行驶的速度是（千米/时）．                     ∵乙的速度是甲的3倍， ∴乙行驶的速度是（千米/时）． 答：甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时． （2）由题意，得， 解之，得． 答：所求的取值范围是． （3）∵， ∴由（2）可知，当时，在甲从B地到C地的行驶过程中，乙与甲第一次相遇．                                         若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中， 则，即，此不等式组无解．         若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中， 则有， 解之，得． 答：当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，题中条件较多，要仔细理解题干，抽象出不等式组． 【变式3-1】某段铁路全长2400千米，经过铁路技术改造，列车实现第一次提速，已知提速后比提速前速度增加了，行驶全程所需时间减少了4小时． (1)求列车提速前的速度； (2)现将铁路全长延伸至3000千米，且要继续缩短行驶全程所需的时间，则列车需再次提速，设提速百分比为m，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不应超过180千米/每小时，求m的取值范围． 【答案】(1)列车提速前的速度为100千米/小时 (2) 【分析】（1）设列车提速前的速度为x千米/小时，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为千米/小时， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：列车提速前的速度为100千米/小时． （2）第一次提速后的速度为（千米/小时）， 第一次提速后行驶全程所需时间为（小时）． 依题意得：， 解得：， ∴． 答：m的取值范围为． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程和不等式组，是解题的关键． 【题型四：经济问题】 【典例4】凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4300 3600 售价（元/部） 4800 4200 (1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？ (2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的而用于购买这两种手机的资金低于81500元，清通过计算设计所有可能的进货方案． 【答案】(1)甲手机12部，乙手机5部 (2)2种方案：①购进甲手机12部，乙手机8部；②购进甲手机13部，乙手机7部． 【分析】本题考查了一元一次不等式组解实际问题的运用，二元一次方程组解实际问题的运用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设售出甲手机x部，乙手机y部，由“三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍”列出方程组，可求解； （2）设购进甲手机x部，乙手机部，由“购进乙种手机数不超过甲种手机数的，而用于购买这两种手机的资金低于81500元”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设售出甲手机x部，乙手机y部， 由题意得，， 解得：． 答：售出甲手机12部，乙手机5部； （2）解：设购进甲手机x部，乙手机部， 由题意得，， 解得：， 取整数， 可取12，13， 则可能的方案为： ①购进甲手机12部，乙手机8部； ②购进甲手机13部，乙手机7部． 【变式4-1】暑假临近，云云和南南约好去河南旅游，据悉，河南是一个有着悠久历史和丰富文化的省份，还有着许多美食和土特产：新郑大枣、道口烧鸡、灵宝苹果、信阳毛尖、铁棍山药等土特产都是河南的一张张名片．某土特产店销售着新郑大枣和信阳毛尖两种河南特产，若购买9盒信阳毛尖和6盒新郑大枣共需3900元；若购买5盒信阳毛尖和3盒新郑大枣共需2100元． (1)求每盒信阳毛尖和新郑大枣各多少元？ (2)若某公司购买信阳毛尖和新郑大枣共计30盒，且信阳毛尖的数量至少比新郑大枣的数量多5盒，又不超过新郑大枣的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)信阳毛尖每盒价格是300元，新郑大枣每盒价格是200元． (2)所以购买信阳毛尖18盒，新郑大枣12盒才能使总费用最少，最少费用为7800元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设信阳毛尖每盒价格是元，新郑大枣每盒价格是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买信阳毛尖盒，则购买新郑大枣盒，根据题意建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，再结合为正整数可得所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可． 【详解】（1）解：设信阳毛尖每盒价格是元，新郑大枣每盒价格是元， 由题意得：， 解得， 答：信阳毛尖每盒价格是300元，新郑大枣每盒价格是200元． （2）解：设购买信阳毛尖盒，则购买新郑大枣盒， 购买信阳毛尖的数量至少比新郑大枣的数量多5盒，又不超过新郑大枣的2倍， ， 解得， 又为正整数， 所有可能的取值为18，19，20， ①当，时，购买总费用为（元）， ②当，时，购买总费用为（元）， ③当，时，购买总费用为（元）， 所以购买信阳毛尖18盒，新郑大枣12盒才能使总费用最少，最少费用为7800元． 【变式4-2】某超市计划购进甲、乙两种商品共计10件进行销售(购进甲、乙两种商品数量均不为0)．已知两件乙商品的进价比一件甲商品的进价贵20元，两件甲商品的进价比三件乙商品的进价贵10元． (1)求甲、乙两种商品的进价； (2)若购进甲、乙两种商品费用不超过590元，则该超市有几种进货方案? (3)该超市计划将甲商品定价100元/件，乙商品定价60元/件．若购进的10件甲、乙两种商品全部售完，且至少盈利150元，求购进的甲商品不能少于多少件? 【答案】(1)甲种商品每件的进价是80元，乙种商品每件的进价是50元； (2)共有3种进货方案． (3)购进的甲商品不能少于5件； 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式（组）的应用； （1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，根据两件乙商品的进价比一件甲商品的进价贵20元，两件甲商品的进价比三件乙商品的进价贵10元，再建立方程组解题即可； （2）设购进a件甲种商品，则购进件乙种商品，再根据购进甲、乙两种商品费用不超过590元，购进甲、乙两种商品数量均不为0，建立不等式组解题即可； （3）设购进m件甲种商品，则购进件乙种商品，根据至少盈利150元，建立不等式解题即可； 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲种商品每件的进价是80元，乙种商品每件的进价是50元； （2）解：设购进a件甲种商品，则购进件乙种商品， 依题意得：， 解得：． 又∵a为整数， ∴a可以取1，2，3， ∴共有3种进货方案． （3）解：设购进m件甲种商品，则购进件乙种商品， 依题意得：， 解得：． ∴购进的甲商品不能少于5件； 【变式4-3】某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【答案】(1)A，B两种商品每件进价各为100元，60元； (2)购进A商品的件数最多为20件 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元； （2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为20， 答：购进A商品的件数最多为20件． 【题型五：方案问题】 【典例5】文化旅游节期间，某市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲、乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元． (1)求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？ 【答案】(1)购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元 (2)该商店共有3种进货方案 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系或不等关系建立方程或不等式是解本题的关键； （1）设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，根据购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元．再建立方程组解题即可； （2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件，利用甲种纪念品的数量不少于38件，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，再建立不等式组解题即可； 【详解】（1）解：设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元． （2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件， 依题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为38,39,40， ∴该商店共有3种进货方案． 【变式5-1】新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金840元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金1380元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于5520元且不少于5280元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； (3)若甲型口罩的售价为每箱450元，乙型口罩的售价为每箱420元．（2）中哪种方案获利最多？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲型口罩每箱的进价为300元，乙型口罩每箱的进价为240元 (2)该医药器材经销商共有5种进货方案，方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩；方案2：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩；方案3：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩；方案4：购进11箱甲型口罩，9箱乙型口罩；方案5：购进12箱甲型口罩，8箱乙型口罩 (3)方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩获利最多，获利最多为3360元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用： （1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购进m箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩，根据题意，列出不等式组，即可求解； （3）计算出（2）中每种方案所获利润，即可求解． 【详解】（1）解：设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲型口罩每箱的进价为300元，乙型口罩每箱的进价为240元． （2）解：设购进m箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩， 依题意得：， 解得：， 又∵m为整数， ∴m可以为8，9，10，11，12， ∴该医药器材经销商共有5种进货方案， 方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩； 方案2：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩； 方案3：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩； 方案4：购进11箱甲型口罩，9箱乙型口罩； 方案5：购进12箱甲型口罩，8箱乙型口罩． （3）解：方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩，元； 方案2：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩，元； 方案3：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩，元； 方案4：购进11箱甲型口罩，9箱乙型口罩，元； 方案5：购进12箱甲型口罩，8箱乙型口罩，元． 答：方案1：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩获利最多，获利最多为3360元． 【变式5-2】临近端午，某超市准备购进甜、咸两种口味的粽子，若购进甜粽子40盒，咸粽子16盒，需要1760元，若购进甜粽子20盒，咸粽子10盒，需要950元． (1)求购进甜、咸两种口味每盒各需多少元？ (2)该超市准备购进这两种口味的粽子共150盒，根据市场调查发现，甜粽销售情况比咸粽好，故该超市准备多购进甜粽，但数量不超过咸粽的2倍，购进两种口味粽子的总金额不超过4760元．根据以上信息，共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】(1)甜粽子和咸粽子每个进价各为30元、35元； (2)共有3种进货方案，方案1：购进甜粽子98盒，咸粽子52盒；方案2：购进甜粽子99盒，咸粽子51盒；方案3：购进甜粽子100盒，咸粽子50盒；方案3：购进购进甜粽子100盒，咸粽子50盒费用最低，最低费用为4750元． 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，读懂题意正确列方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设甜粽子和咸粽子每个进价各为x元、y元，若购进甜粽子40盒，咸粽子16盒，需要1760元，若购进甜粽子20盒，咸粽子10盒，需要950元．据此列方程组并解方程组即可； （2）设购进甜粽子m盒，则购进咸粽子盒，甜粽的数量不超过咸粽的2倍，购进两种口味粽子的总金额不超过4760元．据此列不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）设甜粽子和咸粽子每个进价各为x元、y元， 根据题意得：， 解得： 答：甜粽子和咸粽子每个进价各为30元、35元； （2）设购进甜粽子m盒，则购进咸粽子盒， 依题意，得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以取98、99、100， ∴共有3种进货方案， 方案1：购进甜粽子98盒，咸粽子52盒； 方案2：购进甜粽子99盒，咸粽子51盒； 方案3：购进甜粽子100盒，咸粽子50盒；； ∵咸粽子进货的单价大于甜粽子进货的单价， ∴方案3：购进购进甜粽子100盒，咸粽子50盒费用最低，最低费用为（元）， 答：商场共有3种进货方案，方案3：购进购进甜粽子100盒，咸粽子50盒费用最低，最低费用为4750元． 【变式5-3】某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元． (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用少于105万元且多于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？ 【答案】(1)今年5月份A款汽车每辆售价8万元； (2)有3种方案：方案一：A款汽车购进7辆；B款汽车购进8辆；方案二：A款汽车购进8辆；B款汽车购进7辆；方案三：A款汽车购进9辆；B款汽车购进6辆． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用．关键是根据题意找到数量关系，列出方程与不等式组． （1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额90万元与今年销售额80万元所卖的车辆数量相等，据此列方程求解； （2）根据关系式为：款汽车总价+B款汽车总价列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设今年5月份A款汽车每辆售价x万元．根据题意得： ， 解得：， 经检验知，是原方程的解且符合题意． 所以今年5月份A款汽车每辆售价8万元； （2）解：设A款汽车购进y辆．则B款汽车每辆购进辆．根据题意得： ， 解得：， 所以有3种方案： 方案一：A款汽车购进7辆；B款汽车购进8辆； 方案二：A款汽车购进8辆；B款汽车购进7辆； 方案三：A款汽车购进9辆；B款汽车购进6辆． 【变式5-4】我区采取了多项举措发展实体经济．夏布小镇一小商品店销售A，B两种小商品，已知3个A商品和2个B商品共售840元，2个A商品和1个B商品共售520元． (1)求A，B两种小商品每个售多少元？ (2)已知该店A商品成本为150元，B商品成本为90元．儿童节前夕，商店想在6月1日这天销售这两种商品共30个，总利润不低于1140元，并且A商品数量少于B商品数量．该商店共有哪几种可能的销售方案？请写出所有可能方案． 【答案】(1)A，B两种小商品每个售价分别为200元，120元 (2)有3种可能销售方案；A商品销售12个，B商品销售18个；A商品销售13个，B商品销售17个；A商品销售14个，B商品销售16个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，理解题意，正确列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）设A，B两种小商品每个售价分别为x元，y元；根据题意列出二元一次方程组并求解即可． （2）设A商品销售a个，则B商品销售个，根据题意列出不等式组即可． 【详解】（1）解：设A，B两种小商品每个售价分别为x元，y元； 根据题意，得：， 解方程组得：； 答：A，B两种小商品每个售价分别为200元，120元； （2）解：设A商品销售a个，则B商品销售个； 根据题意，得：， 解得：， 由于a为整数，则a为12，13，14， 共有3种销售方案： A商品销售12个，B商品销售18个；A商品销售13个，B商品销售17个；A商品销售14个，B商品销售16个． 【变式5-5】新能源汽车因其环保、节能，被越来越多的家庭所喜爱，老宁车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出3辆甲型车和2辆乙型车，销售额为98万元；第二周售出5辆甲型车和4辆乙型车，销售额为174万元． (1)求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？ (2)湖湘科技发展有限公司准备向老宁车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共12辆，其购车费用不少于216万元，且不超过225万元，问有哪几种购车方案？ 【答案】(1)每辆甲型车的售价为22万元，每辆乙型车的售价为16万元 (2)两种购车方案：方案一：购买甲型车4辆，购买乙型车8辆；方案二：购买甲型车5辆，购买乙型车7辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用： （1）设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据“第一周售出3辆甲型车和2辆乙型车，销售额为98万元；第二周售出5辆甲型车和4辆乙型车，销售额为174万元”列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲型车a辆，则购买乙型车为辆，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据题意得： 解得：， 答：每辆甲型车的售价为22万元，每辆乙型车的售价为16万元； （2）解：设购买甲型车a辆，则购买乙型车为辆，依题意得： ， 解得： ∵a为正整数， ∴a取4或5． ∴有两种购车方案： 方案一：购买甲型车4辆，购买乙型车8辆； 方案二：购买甲型车5辆，购买乙型车7辆． 【变式5-6】2023年暑假，兰州旅游爆火，全国各地的游客纷纷来兰州旅游避暑．某学校同学们为此积极设计了与两款文创产品，购买 1件产品与1件产品共需150元；购买3件产品与2件产品共需390元． (1)这两款文创产品的销售单价分别是多少元？ (2)若每个产品制作成本为60元，产品制作成本为40元，同学们准备制作两种文创产品共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次文创产品，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？ 【答案】(1)A产品的销售单价为90元，B产品的销售单价为60元 (2)有3种制作方案：①制作48个A产品，52个B产品；②制作49个A产品，51个B产品；③制作50个A产品，50个B产品 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用等知识． （1）设A产品销售单价为x元，B产品的销售单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设制作m个A产品，则制作个B产品，根据“总成本不超过5000元，利润不低于2480元”列出不等式组，解不等式组，根据m为正整数即可确定出方案． 【详解】（1）解：设A产品销售单价为x元，B产品的销售单价为y元， 依题意得：， 解得：， 答：A产品的销售单价为90元，B产品的销售单价为60元； （2）解：设制作m个A产品，则制作个B产品， 依题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m的值为48、49、50， ∴有3种制作方案： ①制作48个A产品，52个B产品； ②制作49个A产品，51个B产品； ③制作50个A产品，50个B产品． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$