专题4 平面直角坐标系重难点题型（八大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题4平面直角坐标系重难点题型（八大题型） 【题型1 两点间距离】 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 【题型3 根据规律正确找到周期】 【题型4 规律型中点的坐标以及矩形的性质】 【题型5 根据点坐标特征规律】 【题型6点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系】 【题型7 根据横纵坐标特征找出规律】 【题型8 等腰三角形个数讨论问题】 【题型1 两点间距离】 【典例1】先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知平面内两个点分别为，，其两点间距离公式为．例如：点和)的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可简化成：或． (1)已知、两点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则、两点的距离为 　 　； (2)线段平行于轴，且，若点的坐标为，则点的坐标是 　 　； (3)已知个顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 【变式1-1】先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内两点坐标，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴距离公式可简化成或． (1)已知，试求A，B两点的距离； (2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点的距离． (3)已知一个三角形各顶点坐标为，你能断定此三角形的形状吗?说明理由． 【变式1-2】先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知在平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 【变式1-3】．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)求，两点间距离． (2)试说明是直角三角形． 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中 b，c满足，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S． (1)求a，b，c的值； (2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S； (3)是否存在点M，使得S等于三角形的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接． (1)如图1，求点C，D的坐标及四边形的面积； (2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在； (3)如图2，在直线上是否存在点Q，连接，使，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，． (1)请直接写出A，B两点的坐标； (2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由； (3)在坐标轴上是否存在点P，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【题型3 根据规律正确找到周期】 【典例3】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，按这样的运动规律，第23次运动后，动点的纵坐标是（　　）    A． B．0 C．1 D．2 【变式3-1】如图所示，一个动点P在边长为1的方格中按箭头所示方向做折线运动，即第一次从点运动到点，第二次从点运动到点，第三次从点运动到点，第四次从点运动到点，第五次从点运动到点……按这样的运动规律，经过第次运动后，动点P的位置是 ． 【变式3-2】如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 按这样的运动规律，经过第2027次运动后，动点P的坐标是 ．    【变式3-3】如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…按这样的规律，第2024秒运动到点 ． 【题型4 规律型中点的坐标以及矩形的性质】 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【题型5 根据点坐标特征规律】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，一个机器人从点出发，向正东方向走米到达点，再向正北方向走米到达点，再向正西方向走米到达点，再向正南方向走米到达点，再向正东方向走米到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…，则根据图示规律，点的坐标为 ． 【变式5-3】如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点 为位似中心作正方形、正方形、…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 【题型6点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系】 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，……根据这个规律，第2024个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，有若干个坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，……．根据这个规律，第2024个点的坐标为 ． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为 ． 【题型7 根据横纵坐标特征找出规律】 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，点第1次向上跳动1个单位长度至点，紧接着第2次向左跳动2个单位长度至点，第3次向上跳动1个单位长度至点，第4次向右跳动3个单位长度至点，第5次向上跳动1个单位长度至点，第6次向左跳动4个单位长度至点……照此跳动规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…，以此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，点P由原点O出发，第一次跳动至点，第二次向左跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向左跳动5个单位至点，第五次跳动至点，…，依此规律跳动下去，点P的第2023次跳动至点的坐标是    【题型8 等腰三角形个数讨论问题】 【典例8】在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，若，点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动，当是以为腰的等腰三角形时，求运动时间t； (3)如图3，以为直角边往右上方作等腰直角，，再以为边往右上方作等边，使得，求线段的长度． 【变式8-1】已知，如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，，点，点C在x轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为 ． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点D坐标为，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动的时间为t秒．    (1)如图①，当点P经过点C时，的长为______． (2)如图②，把长方形沿着直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，求点P的坐标． (3)在点P的运动过程中，是否存在某个时刻使为等腰三角形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-4】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，两点的坐标分别为，且，点从出发以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求两点的坐标； (2)连接，当的面积等于的面积的一半时，求的值； (3)当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标． 【变式8-4】如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，（如图所示），b，c满足关系式，． (1)求a，b，c的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使为等腰三角形，若存在，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4平面直角坐标系重难点题型（八大题型） 【题型1 两点间距离】 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 【题型3 根据规律正确找到周期】 【题型4 规律型中点的坐标以及矩形的性质】 【题型5 根据点坐标特征规律】 【题型6点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系】 【题型7 根据横纵坐标特征找出规律】 【题型8 等腰三角形个数讨论问题】 【题型1 两点间距离】 【典例1】先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知平面内两个点分别为，，其两点间距离公式为．例如：点和)的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可简化成：或． (1)已知、两点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则、两点的距离为 　 　； (2)线段平行于轴，且，若点的坐标为，则点的坐标是 　 　； (3)已知个顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)等腰直角三角形，见解析 【分析】此题考查了两点间的距离公式； （1）根据平行于轴的直线横坐标相同，利用两点间的距离公式求出、两点的距离即可； （2）根据平行于轴的直线坐标轴相同，由的长，以及的坐标，确定出的坐标即可； （3）利用两点间的距离公式求出三边长，即可作出判断． 【详解】（1）解：设，， 则 ；故答案为：； （2）解：设， ，， ， 解得：或， 则或； 故答案为：或； （3）解：，，， ， ， ， ，且， 则为等腰直角三角形． 【变式1-1】先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内两点坐标，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴距离公式可简化成或． (1)已知，试求A，B两点的距离； (2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点的距离． (3)已知一个三角形各顶点坐标为，你能断定此三角形的形状吗?说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)等腰直角三角形，证明见解析 【分析】（1）根据点A、B的坐标利用两点间的距离公式即可求出A，B两点间的距离； （2）设点A的坐标为，则点B的坐标为，根据点A、B的坐标利用两点间的距离公式即可求出A，B两点间的距离； （3）根据点A、B、C三点的坐标，利用两点间的距离公式即可求出线段的长度，由和即可得知为等腰直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴＝． 故答案为：． （2）∵轴， ∴＝6． 故答案为：6． （3）△ABC为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ， ， ∴， ∵即：， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查两点间的距离公式，等腰三角形、直角三角形的判定，解题的关键在于正确运用两点间的距离公式求线段的长度． 【变式1-2】先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知在平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 【答案】(1)13 (2)6 【分析】（1）将点A、B的坐标代入两点间的距离公式进行解答即可； （2）点A、B两点间的距离为，进行计算即可． 【详解】（1）解：A，B两点间的距离＝； （2）由题意，得：A，B两点间的距离． 【点睛】本题考查坐标系中两点间的距离．掌握题干中给定的距离公式，是解题的关键． 【变式1-3】．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)求，两点间距离． (2)试说明是直角三角形． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）利用平面直角坐标系中的两点间距离公式，进行计算即可解答； （2）利用平面直角坐标系中的两点间距离公式，分别求出AB2，BC2，AC2，然后再根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵A（0，2），B（2，0）， ∴AB=， ∴A，B两点间距离为； （2）解：∵A（0，2），B（2，0），C（5，3）， ∴AC2=（0-5）2+（3-2）2=26， BC2=（5-2）2+（3-0）2=18， AB2=（）2=8， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，勾股定理的逆定理，熟练掌握两点间距离公式，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中 b，c满足，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S． (1)求a，b，c的值； (2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S； (3)是否存在点M，使得S等于三角形的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或． 【分析】此题考查了坐标与图形，算术平方根和平方的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据算术平方根和平方的非负性求出，，然后根据平方根的性质求出； （2）首先求出点M到x轴的距离为，然后根据结合三角形面积公式代入求解即可； （3）首先求出三角形的面积，然后分两种情况讨论：当点M在第四象限时和当点M在第一象限时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵a，b是同一个数的两个不相等的平方根 ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M在第四象限，点M的坐标为 ∴点M到x轴的距离为 ∴； （3）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴三角形的面积 当点M在第四象限时， ∵S等于三角形的面积 ∴ ∴ ∴； 当点M在第一象限时， ∵S等于三角形的面积 ∴ ∴ ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）先证明轴， 再由点A和点B的坐标得到，，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）先求出，，则，，设， 再分点P在x轴上方和x轴下方两种情况，画出对应的图形求解即可． 【详解】（1）解：轴，， 轴， 点A的坐标为，点B的坐标为 ，， ； （2）解：点坐标为， ，， ， ∴， 设，如图所示： 当点在轴上方时，则点P一定在点E上方， ∴ ， ， ， 点的坐标为； 当点在轴下方时， 过点作轴于N， ∴ ， ， 或（舍去）， 点的坐标为：； 点的坐标为：或． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接． (1)如图1，求点C，D的坐标及四边形的面积； (2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在； (3)如图2，在直线上是否存在点Q，连接，使，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，18 (2)存在，或 (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形的面积计算、点的坐标特征等知识点，根据平移变换的性质求出点C，D的坐标是解题的关键． （1）根据平移的性质求出点C，D的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形的面积； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）根据直线上点的坐标特征设出点Q的坐标，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为，线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段， ∴点C的坐标为，点D的坐标为，， ∴四边形的面积． （2）解：存在， 设点P的坐标为， 由题意得：，解得：， ∴点P的坐标为或． （3）解：设点Q的坐标为，则， 由题意得：，解得：或， 则点Q的坐标为或． 【点睛】 【变式2-3】如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，． (1)请直接写出A，B两点的坐标； (2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由； (3)在坐标轴上是否存在点P，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 (3)存在点P，使三角形PBC的面积与三角形的面积相等，点P的坐标为或或或． 【分析】（）根据非负数的性质求出，，即可求出答案； （）过点作直线，则，再判断出，即可得出结论； （）先求出的面积，再分点在轴和轴上两种情况，根据三角形面积公式建立方程求解，即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）， 理由：如图，过点作直线， ， 线段由线段平移得到， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）如图，依题意可得，，，， ，，， ， 当点在轴上时，设点， 则， ， ， 或； ②当点在轴上时，设点， 则， ， ， 或， 综上所述，存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等，点的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，坐标两点的距离公式，坐标平移的特征，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【题型3 根据规律正确找到周期】 【典例3】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，按这样的运动规律，第23次运动后，动点的纵坐标是（　　）    A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每6次运动组成一个循环是解题的关键． 由图得点的纵坐标变化每6次一循环，，点的纵坐标为符合第5个点的纵坐标为1． 【详解】解：由图得，点每运动一次横坐标就增加1， ∴的横坐标为23， 点的纵坐标变化每6次一循环， ， ∴点的纵坐标为1． 故选：C． 【变式3-1】如图所示，一个动点P在边长为1的方格中按箭头所示方向做折线运动，即第一次从点运动到点，第二次从点运动到点，第三次从点运动到点，第四次从点运动到点，第五次从点运动到点……按这样的运动规律，经过第次运动后，动点P的位置是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律，旨在考查学生的抽象概括能力．由题意得动点P运动次后，位置为；可依次得运动次、次、次的位置，即可寻得规律求解. 【详解】解：由题意得：动点P运动次后，位置为； 运动次后，位置为； 运动次后，位置为； 运动次后，位置为； ∵ ∴经过第次运动后，动点P的位置是 故答案为： 【变式3-2】如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 按这样的运动规律，经过第2027次运动后，动点P的坐标是 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键． 根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可． 【详解】解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 第4次运动到点，第5次接着运动到点，， 横坐标为运动次数，经过第2027次运动后，动点的横坐标为2027， 纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮， 经过第2027次运动后，动点的纵坐标为：余3， 故纵坐标为四个数中第3个，即为2， 经过第2017次运动后，动点的坐标是：， 故答案为：． 【变式3-3】如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…按这样的规律，第2024秒运动到点 ． 【答案】 【分析】本题是点坐标规律探究，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环． 分析点的运动规律，找到循环次数即可求解． 【详解】解：分析图象可以发现，点的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位． ， 当第2024秒点位置在， 故答案为：． 【题型4 规律型中点的坐标以及矩形的性质】 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，由四边形的周长找出细线另一端点所在的位置是解题的关键．由点，，，的坐标可得出四边形为矩形及，的长，由矩形的周长公式可求出矩形的周长，结合可得出细线的另一端在线段上且距点1个单位长度，结合点的坐标即可得出结论． 【详解】解：，，，， ，，四边形为矩形， ． ， 细线的另一端在线段上，且距点1个单位长度， 细线的另一端所在位置的点的坐标是，即． 故选：C 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，先求出四边形的周长为10，得到的余数为4，由此即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴绕四边形一周的细线长度为， ， ∴细线另一端在绕四边形第203圈的第4个单位长度的位置， 即细线另一端所在位置的点在C处上面1个单位的位置，坐标为． 故选：D． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出四边形的周长为10，根据，由此即可解决问题． 【详解】解：∵，，，， ∴，，且四边形为矩形， ∴矩形的周长． ∵，， ∴细线的另一端落在点． 故选：D． 【点睛】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形一周的长度，从而确定个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键． 【题型5 根据点坐标特征规律】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，根据前几个点的坐标，总结出规律是解题的关键． 根据各个点的位置关系，可得出从开始，下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，所以点的在第四象限的角平分线上，然后根据规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴从开始，在第四象限的角平分线上，在第三象限的角平分线上，在第二象限的角平分线上，在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点的在第一象限的角平分线上，， ∴点坐标为 故选D． 【变式5-1】如图，一个机器人从点出发，向正东方向走米到达点，再向正北方向走米到达点，再向正西方向走米到达点，再向正南方向走米到达点，再向正东方向走米到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用坐标确定位置，由于一个机器人从点出发，向正东方向走，到达点的坐标为，再向正北走到达点的坐标为，再向正西走到达点的坐标为，然后依此类推即可求出点的坐标，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，可得点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为 ∴当机器人走到点时，点的坐标是． 故选：． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…，则根据图示规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，抓住点坐标的变化规律是解题的关键．依次求出点(i为正整数)的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ， 由此可知，点的坐标为， 又∵，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式5-3】如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点 为位似中心作正方形、正方形、…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律计算，掌握点的变换规律，有理数的计算方法是解题的关键． 根据点坐标中下标的变换规律，找到所在的位置，再根据横坐标，纵坐标的变换规律即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，， ∴点下标的变换规律是：，，， ∴射线上点下标的规律为：，为正整数， 当时，，不符合题意，即点不在射线上； 同理，，，，，， ∴点下标的变换规律是：，，，， ∴射线上点A下标的规律为：，为正整数， 当时，， ∴点是射线上第个点， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴， 故答案为： ． 【题型6点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系】 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，应先判断出第2024个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 【详解】把第一个点作为第一列，和作为第二列， 依此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，， 第n列有n个点，则n列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上， ∵， ∴第2024个点一定在第64列，由下到上是第8个点，即纵坐标为7， 因而第2024个点的坐标是， 故选：C． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，……根据这个规律，第2024个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键．根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，由，解得．由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推1个点的坐标即可得到答案． 【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为； 第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为； 第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为． 而， ， 解得：． 由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推1个点的坐标为：． 故选：B． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，有若干个坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，……．根据这个规律，第2024个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键．根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，由，解得．由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推1个点的坐标即可得到答案． 【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为； 第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为； 第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为． 而， ， 解得：． 由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推1个点的坐标为：． 故答案为：． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为 ． 【答案】 【分析】首先求出的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标． 【详解】解：正方形边长为， ， 正方形是正方形的对角线为边， ， 点坐标为， 同理可知， 点坐标为， 同理可知，点坐标为， 点坐标为，点坐标为， ，，，， 由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，即， ， 的横纵坐标符号与点相同，横纵坐标相同，且都在第一象限， 的坐标为， ， 故答案为：． 【题型7 根据横纵坐标特征找出规律】 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，点第1次向上跳动1个单位长度至点，紧接着第2次向左跳动2个单位长度至点，第3次向上跳动1个单位长度至点，第4次向右跳动3个单位长度至点，第5次向上跳动1个单位长度至点，第6次向左跳动4个单位长度至点……照此跳动规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标的规律探索，解题的关键是准确找到点的坐标变化规律．设第n次跳动至点Pn，根据部分点Pn坐标的变化找出变化规律，， ，，依此规律结合，即可得出点的坐标． 【详解】解：设第n次跳动至点， 观察发现：，，，，，，，，，，．．． ∴，， ，，（n为自然数）， ∵， ∴，即． 故选：C． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…，以此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标、坐标的平移，根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解，解决本题的关键是寻找点的变化规律． 【详解】解：∵，， ，， ，， ，， ∴，（为正整数）， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，点P由原点O出发，第一次跳动至点，第二次向左跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向左跳动5个单位至点，第五次跳动至点，…，依此规律跳动下去，点P的第2023次跳动至点的坐标是    【答案】（1012，1012） 【分析】观察所给图形，不难得到第次跳动至点的横坐标是跳的次数的一半，纵坐标是跳的次数的一半；进而求出点的坐标． 【详解】解：观察发现可知： 第一次跳动至点， 第二次向左跳动3个单位至点， 第三次跳动至点， 第四次向左跳动5个单位至点， 第五次跳动至点， … 则第次跳动至点，第次跳动至点 故第次跳动至点的坐标是． 故答案为． 【点睛】本题考查了点的坐标规律，解题在关键在于明确奇数次跳动的点的横坐标、纵坐标与跳动次数的关系． 【题型8 等腰三角形个数讨论问题】 【典例8】在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，若，点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动，当是以为腰的等腰三角形时，求运动时间t； (3)如图3，以为直角边往右上方作等腰直角，，再以为边往右上方作等边，使得，求线段的长度． 【答案】(1)32； (2)或； (3)． 【分析】（1）由，得，则，所以； （2）由，求得，则，再分两种情况讨论，一是，作于点H，由，得，求得，则，所以，则，求得；二是，则，求得； （3）以为一边在x轴下方作等边三角形，连接，因为是等边三角形，所以，可证明，得，所以平分，则垂直平分，所以点G、点C的横坐标都是4，作轴于点L，可证明，则，求得，则． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 的面积是32． （2）解：， ， ∵点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动， ， 如图2（甲），是等腰三角形，且，作于点H， 解得 ， 解得 如图2（乙），是等腰三角形，且， ， 解得， 综上所述，运动时间t为秒或2秒． （3）解：如图3，以为一边在x轴下方作等边三角形，连接，则， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，平分， 垂直平分， ∴点G、点C的横坐标都是点A的横坐标的， ∴点G、点C的横坐标都是4， 作轴于点L，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴线段AD的长度是． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 【变式8-1】已知，如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，点的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了长方形的性质，等腰三角形定义和性质，勾股定理的运用，根据题意可得，当是腰长为的等腰三角形时进行分类：当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，在中，运用勾股定理求出；当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，过点作轴于点，则，在中，运用勾股定理求出；当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，过点作轴于点，则，在中，运用勾股定理求出；由点的位置可得，不存在；由此即可求解． 【详解】解：已知、， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴，， 如图所示， 当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形， 在中，， ∴； 当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，过点作轴于点，则， ∴在中，， ∴， ∴； 当点在的位置，，是腰长为的等腰三角形，过点作轴于点，则， ∴在中，， ∴， ∴； 由点的位置可得，不存在； ∴当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为或或， 故答案为：或或 ． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，，点，点C在x轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，坐标与图形、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，注意分类讨论是解题的关键．分当时，时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， 如图，当时，则； 当时，则； 当时， ， 是等边三角形， ， 当时， ， 是等边三角形， ， 即与、重合， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点D坐标为，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动的时间为t秒．    (1)如图①，当点P经过点C时，的长为______． (2)如图②，把长方形沿着直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，求点P的坐标． (3)在点P的运动过程中，是否存在某个时刻使为等腰三角形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）分别求得，的长度，然后利用勾股定理解答即可； （2）根据翻折的性质，可知，由勾股定理可以求出的长，从而求出的长，在根据勾股定理求出的长即可． （3）根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论：；；，结合等腰直角三角形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图1，   ，， ； 故答案为：10； （2）解：由折叠的性质可知，，， 在中，由勾股定理可得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； （3）解：存在， ， ， ①当时， ， 在上， 由勾股定理可得：， ， ②当时，在的垂直平分线， 在上， ， ③当时，在上， 由①可知，， ， 的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了图形与坐标、勾股定理及等腰三角形的性质，合理运用勾股定理及等腰三角形的性质是本题解题的关键． 【变式8-4】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，两点的坐标分别为，且，点从出发以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求两点的坐标； (2)连接，当的面积等于的面积的一半时，求的值； (3)当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)，， 【分析】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形； （1）根据偶次方和算术平方根的非负性得出，，求出即可； （2）求出，再分两种情况进行讨论求解； （3）需要分三种情况讨论，即或或，设，然后根据条件建立等式求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， 的坐标是，的坐标是； （2）解：依题意， ，的面积等于的面积的一半 ， ， 当到的左边时，则， ， 解得：， 当到的右边时，则， ， 解得：， 故当的面积等于的面积的一半时， 的值为或； （3）解：当时，为等腰三角形，如下图： 设，则， 解得：（舍去）， 故； 当时，为等腰三角形，如下图： 设，则， 解得：（舍去）， 故； 当时，为等腰三角形，如下图： 设，则， 解得：， 故； 满足条件的点的坐标为，，． 【变式8-4】如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，（如图所示），b，c满足关系式，． (1)求a，b，c的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使为等腰三角形，若存在，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，M坐标为或或或．理由见详解， 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，等腰三角形的判定等知识． （1）由绝对值和平方及被开方数的非负数的性质可求得结论， （2）分情况讨论，得出M点的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，， ∵ ∴ （2）存在：分析如下： ∵，， ∴， 当时，或， 当时，． 当时，设， 则有， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点M坐标为点M坐标为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$