专题3.2 勾股定理的经典实际应用（五大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题3.2 勾股定理的经典实际应用（五大题型） 重难点题型归纳 【题型1 梯子滑落问题】 【题型2 树枝旗子折断问题】 【题型3 航海是否有影响问题】 【题型4 风吹荷花问题】 【题型5垂美四边形问题】 （1）构造直角三角形解决问题； （2）垂美四边形 【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， 则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD 【题型1 梯子滑落问题】 【典例1】如图1，一架云梯斜靠在一面竖直的墙上，云梯的长为25米，云梯顶端离地面15米． (1)这架云梯的底端离墙面有多远？ (2)如图2，如果梯子的顶端下滑了8米，那么梯子的底端向右滑动了多少米？ 【变式1-1】如图所示，一架长为米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离墙根米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动多少？ 【变式1-2】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，求小巷的宽． 【变式1-3】如图，一架5的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3，若梯子的顶端下滑2，则梯足将滑动（    ） A．2 B． C． D． 【题型2 树枝旗子折断问题】 【典例2】如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． (1)求旗杆距地面多高处折断（）； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？ 【变式2-1】如图，一木杆长13m，在离地面的点B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端A的12m处．求木杆折断处离地面有多高？ 【变式2-2】如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为多少？ 【变式2-3】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”可翻译为：有一根竹子高一丈，今在A处折断，竹梢落在地面的B处，B与竹根部C相距3尺，求AC (注：1丈＝10尺). 【题型3 航海是否有影响问题】 【典例3】台风会引起城市积涝、山体滑坡等严重灾害，为降低台风贝碧嘉的影响，A市实时跟踪其运动状态，气象站测得台风中心在其正南方向800千米的B处，以60千米/时的速度向北偏西的方向移动，已知距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域． (1)A市是否会受到台风的影响？请说明理由； (2)如果A市受这次台风影响，那么影响的时间有多长？ 【变式3-1】去年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式3-2】2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【变式3-3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图所示，据气象预测，距沿海某城市A的正南方向千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为级，每远离台风中心千米，风力会减弱一级．该台风中心正以千米/时的速度沿北偏东方向往移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级就会受台风影响．   (1)该城市是否受到台风的影响？请说明理由． (2)若受台风影响，台风影响该城市持续的时间有多长？ (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 【题型4 风吹荷花问题】 【典例4】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 【变式4-1】我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？    【变式4-2】池塘中有一株荷花的茎长为OA，无风时露出水面部分CA＝0.4米，如果把这株荷花旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离BC＝1.2米，求这颗荷花的茎长OA． 【变式4-3】如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长是多少尺？ 【题型5垂美四边形问题】 【典例5】我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)性质探究：如图，已知四边形中，，垂足为，求证：． (2)解决问题：如图，在中，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，连接，求的长． 【变式5-1】定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求． 【变式5-2】模型介绍 定义：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形． (1)性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． (2)模型应用：如图2，在长方形中，，是边上一点，且，，求的长． 【变式5-3】已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O． (1)若，，，则 ； (2)若，，则 ； (3)若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ． 【变式5-4】我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点是四边形内一点，已知，，，对角线与交于点，与交于点，与交于点．    (1)判断四边形_______垂美四边形（请在横线上填写是或者不是）； (2)求证：； (3)若，，，则的长为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 勾股定理的经典实际应用（五大题型） 重难点题型归纳 【题型1 梯子滑落问题】 【题型2 树枝旗子折断问题】 【题型3 航海是否有影响问题】 【题型4 风吹荷花问题】 【题型5垂美四边形问题】 （1）构造直角三角形解决问题； （2）垂美四边形 【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， 则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD 【题型1 梯子滑落问题】 【典例1】如图1，一架云梯斜靠在一面竖直的墙上，云梯的长为25米，云梯顶端离地面15米． (1)这架云梯的底端离墙面有多远？ (2)如图2，如果梯子的顶端下滑了8米，那么梯子的底端向右滑动了多少米？ 【答案】(1)这架云梯的底端离墙面有20米； (2)梯子的底端向右滑动了4米． 【分析】此题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理求解即可； （2）首先求出（米），然后根据勾股定理求出（米），进而求解即可． 【详解】（1）解：∵米，米，， ∴（米）， ∴这架云梯的底端离墙面有20米； （2）解：∵梯子的顶端下滑了8米， ∴米， ∴（米）， ∵梯子长度不变 ∴米， ∴（米）， ∴（米）． ∴梯子的底端向右滑动了4米． 【变式1-1】如图所示，一架长为米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离墙根米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动多少？ 【答案】梯子顶端离地米，梯子底端将向左滑动 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 由题意知，，，，，由勾股定理得，，进而可得梯子顶端离地的距离，则，由勾股定理得，，根据梯子底端将向左滑动距离为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，，， 由勾股定理得，， ∴梯子顶端离地米， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴梯子底端将向左滑动． 【变式1-2】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，求小巷的宽． 【答案】小巷的宽为米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中，由勾股定理计算出的长，再在中由勾股定理计算出长，然后可得的长． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 答：小巷的宽为米． 【变式1-3】如图，一架5的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3，若梯子的顶端下滑2，则梯足将滑动（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．如图，由题意知，，，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 【题型2 树枝旗子折断问题】 【典例2】如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． (1)求旗杆距地面多高处折断（）； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面3m处折断 (2)距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可； （2）先画好图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意，知． 因为， 设长为，则长， 则， 解得． 故旗杆距地面3m处折断； （2）如图． 因为点D距地面， 所以， 所以， 所以距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险． 【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键． 【变式2-1】如图，一木杆长13m，在离地面的点B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端A的12m处．求木杆折断处离地面有多高？ 【答案】 【分析】设木杆折断处离地面有xm，根据勾股定理求解． 【详解】解：设木杆折断处离地面有xm，则， 在中，， ∴， 解得， ∴木杆折断处离地面有m高． 【点睛】此题考查了利用勾股定理解决实际问题，正确理解题意中的数量关系构建勾股定理是解题的关键． 【变式2-2】如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为多少？ 【答案】18m. 【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得答案. 【详解】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m， ∴ ∴这棵树原来的高度= 答：这棵大树在折断前的高度为18m. 【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，能够用勾股定理解答实际问题是解题的关键. 【变式2-3】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”可翻译为：有一根竹子高一丈，今在A处折断，竹梢落在地面的B处，B与竹根部C相距3尺，求AC (注：1丈＝10尺). 【答案】AC＝4.55． 【分析】设AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设AC＝x， ∵AC+AB＝10， ∴AB＝10﹣x． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝(10﹣x)2． 解得：x＝4.55， 即AC＝4.55． 【点睛】考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【题型3 航海是否有影响问题】 【典例3】台风会引起城市积涝、山体滑坡等严重灾害，为降低台风贝碧嘉的影响，A市实时跟踪其运动状态，气象站测得台风中心在其正南方向800千米的B处，以60千米/时的速度向北偏西的方向移动，已知距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域． (1)A市是否会受到台风的影响？请说明理由； (2)如果A市受这次台风影响，那么影响的时间有多长？ 【答案】(1)A市是否会受到台风的影响，理由见详解 (2)A市受这次台风影响的时间为10小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用和含角的直角三角形，根据题意正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作于点C，根据题意得出的长，进而得出答案； （2）以点A为圆心，500千米为半径画圆交于点D、E，首先求出的长，进而得出的长，因此可求得A市受这次台风影响的时间． 【详解】（1）解：A市会受到台风的影响，理由如下： 过点A作于点C， 在中，，千米， 千米500千米， A市会受到台风的影响； （2）以点A为圆心，500千米为半径画圆交于点D、E， 在中，（千米）， （千米）， A市受这次台风影响的时间为：（小时） 【变式3-1】去年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响；理由见详解 (2)小时 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理、直角三角形的性质和勾股定理的相关知识． （1）先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后计算出高的值，再进行判断即可； （2）先通过勾股定理计算出，从而得到的值，最后通过速度计算出时间即可． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形； 如下图所示，过点作于点D， 是直角三角形， ， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米小时， （小时）． 故台风影响该海港持续的时间为小时． 【变式3-2】2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 【变式3-3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图所示，据气象预测，距沿海某城市A的正南方向千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为级，每远离台风中心千米，风力会减弱一级．该台风中心正以千米/时的速度沿北偏东方向往移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级就会受台风影响．    (1)该城市是否受到台风的影响？请说明理由． (2)若受台风影响，台风影响该城市持续的时间有多长？ (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 【答案】(1)会，见解析 (2)小时 (3)级 【分析】（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求到的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过作于，就是所求的线段．中，根据的度数，的长，即可求出． （2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的上的线段的长即得长，可通过在直角三角形和中，根据勾股定理求得．再根据路程和速度，即可求出时间． （3）风力最大时，台风中心应该位于点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风． 【详解】（1）解：该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过作于．在中，    ，， ， 城市受到的风力超过四级，则称受台风影响， 受台风影响范围的半径为． ， 该城市会受到这次台风的影响． （2）如图以为圆心，200为半径作交于、． 则． 台风影响该市持续的路程为：． 台风影响该市的持续时间（小时）． （3）距台风中心最近， 该城市受到这次台风最大风力为：（级． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 【题型4 风吹荷花问题】 【典例4】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 【答案】12尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 根据题意可得，然后中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，点是AB的中点， . ，， . 在中，根据勾股定理可得：. ，解得. 答：水的深度PN为12尺． 【变式4-1】我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？    【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺， 由勾股定理：， 解得：， ∴， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【变式4-2】池塘中有一株荷花的茎长为OA，无风时露出水面部分CA＝0.4米，如果把这株荷花旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离BC＝1.2米，求这颗荷花的茎长OA． 【答案】这颗荷花的茎长为2m 【分析】根据题意直接得出三角形各边长，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：由题意可得：设AO＝xm，则CO＝（x﹣0.4）m， 故CO2+BC2＝OB2， 则， 解得：x＝2， 答：这颗荷花的茎长为2m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的方程思想． 【变式4-3】如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长是多少尺？ 【答案】这根芦苇的长是17尺． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键． 如图所示，设芦苇长尺，则水深尺，根据题意得到尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：如图所示， 设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺 在中，， 解得：， ∴尺． ∴芦苇长17尺． 【题型5垂美四边形问题】 【典例5】我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)性质探究：如图，已知四边形中，，垂足为，求证：． (2)解决问题：如图，在中，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股定理可得：，，，，即可证得结论； （2）如图，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理可得，再证得 ，得出，，运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：，垂足为，如图， ，，，， ，， ． （2）解：如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，． 【变式5-1】定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求． 【答案】61． 【分析】本题考查了新定义以及勾股定理的应用，根据“垂美”四边形的定义得，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形， ∴， 则 ∵ ∴． 【变式5-2】模型介绍 定义：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形． (1)性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． (2)模型应用：如图2，在长方形中，，是边上一点，且，，求的长． 【答案】(1)相等，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理； （1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据长方形的性质得出，，设，则，，根据解析（1）结论可得：，即，求出（负值舍去），即可得出答案． 解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】（1）猜想：相等； 证明：， 中，， 中，， 中，， 中，， ； （2）解：连接，    四边形是长方形， ，， 设，则，， ， ， ， ， 解得（负值舍去） 因此，的长为． 【变式5-3】已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O． (1)若，，，则 ； (2)若，，则 ； (3)若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ． 【答案】(1) (2)7 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）利用勾股定理即先求出的长，再利用勾股定理可求出的长． （2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到，据此可得答案． （3）由（2）得求解过程可以得到，进行替换即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， ， ，，，，， ，， ． 故答案为：． （3）解：由（2）得：， ． 故答案为：． 【变式5-4】我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点是四边形内一点，已知，，，对角线与交于点，与交于点，与交于点．    (1)判断四边形_______垂美四边形（请在横线上填写是或者不是）； (2)求证：； (3)若，，，则的长为________． 【答案】(1)是 (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）先证明，可得，再证，由此即可求解； （2）运用直角三角形的勾股定理即可求证； （3）结合（2）中的结论，运用勾股定理即可求解； 本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解图示，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 故答案为：是． （2）证明：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得，（舍去），， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$