四川省成都市简阳市成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

成都石室阳安学校2024-2025学年度上期高2023级半期考试 数学 出题人:谭锦 做题人:游雪 审题人:任燕 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每一题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 1. 设点A(2.3.-4)在Oxy平面上的射影为B,则oBl等于( ) A. 2 C. 2V5 B.5 D.3 2. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下:11.15.17.a.23.26.27.34.37.38.若该组数据的40%分位 数为22.则a=() B. 20 C. 21 A. 19 D. 22 3.设yeR,a-(1),6-(1y,:),c-(n,-4.2)且v,则^+} ) B. 4 A.3 C. 2v2 D. 0 4. 对空中移动的目标连续射击两次,设A一(两次都击中目标)B一(两次都没击中目标).C一(恰有一次 击中目标)D一(至少有一次击中目标).下列关系不正确的是( A.AcD B. AUC=BUD C.AUC=D D. BOD=2 5.将一枚质地均匀的般子连续抛掷8次,得到的点数分别为1.2.3.x.4.5.5.6,则这8个点数的中位数 为4.5的概率为() B. C。 D. 6. 已知某人收集一个样本容量为50的一组数据,并求得其平均数为70,方差为75,现发现在收集 这些数据时,其中得两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90,在对错 误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为X,方差为,则() A.x<70.s275 B. >70.<75 C. x-70.g<75 0 D. r-70.>75 7.平行六面体ABCD-4.B.C.D.的底面ABCD是边长为2的正方形,且乙4.AD=乙4.AB=60^,A4=3 M为A.C,BD的交点,则线段BM的长为() C B B. 0 C. A. 3 D. 23 高二半期考试 数学 第1页(共4页) 8. 如图,在正方体ABCD-4.B.C.D中,M,N分别为4C,4.B的中点,则下列说法错误的是( A. MN/平面ADD.A B. 异面直线MN与DD.所成角为60* C. 直线MN与平面ABCD所成角为45。 D. MN 1AB 二、多项选择题(每空6分,共18分) 9. 在我们发布的各类统计数据中,同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标,如图是某专业机 构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图,则下列结论正确的是( ) A. 8月校车销量的回比增长率与环比增长率 △长 表_- 一比长 都是全年最高 15 B. 1-12月校车销量的同比增长率的平均数小 _) 50% 于环比增长率的平均数 C. 1-12月校车销量的环比增长率的极差大于 同比增长率的极差 -150% 12有有5期67有8期10112青 D. 1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差 10. 给出下列命题,其中正确的是( ) A. 若{ā.5.2]是空间的一个基底,则{2.55+ 也是空间的一个基底 B. 在空间直角坐标系中,点P(-2.4.3)关于坐标平面vOz的对称点是(-2.-4.-3 C. 若空间四个点P,A.B.C满足PC-P+3P,则4,B,C三点共线 D. 平面a的-个法向量为m-(1.3.-4),平面 的一个法向量为n-(-2.-6.k)若a/,则k=8 A A.若4与B相互独立,则P(4UB)-1 C. 若4与B互斥,则P(4UB)- 数学 高二半期考试 第2页(共4页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 经过点A(1,2,1),点B(3,4.5)的直线的一个方向向量是 13. 某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长,2019年销量为5万辆,2022年销量为 22万辆,且这四年销量的中位数与平均数相等,则这四年的总销量为_万辆. -(ry)-(x+y%)-1(xo%R),则y%=.同= 四、解答题:共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(13分)柜子里有3双不同的鞋,分别用t,:,b;,6表示6只鞋,其中,b,表 示每双鞋的左脚:,:c表示每双鞋的有脚,如果从中随机地取出2只,那么 (1)写出试验的样本空间; (2)求下列事件的概率 ①取出的鞋都是一只脚的:②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的,但不是一双鞋。 (3)求取出的鞋不成双的概率. 16.(15分)2023年是中国共产党建党102周年,为了使全体党员进一步坚定理想信念,传承红色基 因,市教育局以“学党史、悟思想,办实事、开新局”为主题进行“党史”教育,并举办由全体党员参加的 “学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题,每个小题1分,共100分,现随机抽取1000名党员的成绩进 行统计,并将成绩分成以下七组:[72.76),[76.80),[80,84),[84.88) [88.92),[92.96),[96.100),并绘制成如图所示的频率分布直方图. n07 (1)根据频率分布直方图,求这1000名党员成绩的众数,中位数 (2)用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人,若在这5 0 人中任选2人进行问卷调查,求这2人中至少有1人成绩低于76分 的概率。 01681418 0100 高二半期考试 数学 第3页(共4页) 17. (15分)在四校锥P-ABCD中.底面为矩形ABCD,且AD-3.CD-4.PD1平面ABCD.PD-1.M为 中点. (1)求点>到直线4C的距离: (2)求异面直线AC.PM所成角的余弦值 18. (17分)如图,在三校柱ABC-AB.C中:底面是边长为2的等边三角形,CC=2.D.E分别是线 段4C.CC的中点:C在平面ABC内的射影为D (1)求证:A.C1平面BDE: (2)若点F为校BC的中点:求点F到平面BDE的距离; (3)若点F为线段B.C上的动点(不包括端点),求锐二面角 F一BD一F的余弦值的取值范围 19. (17分)在空间直角坐标系Ox中,定义:过点4(x.%,2),且方向向量为-(a.b.c)(abc;0)的 直线的点方向式方程为x-y-%-2;过点4(x,%),且法向量为-(a.b.c)(a+6+c'*0)的 平面的点法向式方程为a(x-x)+by-%)+c(2-2)=0,将其整理为一般式方程为ax+by+c2-d=0,其 中d=ax。+by。+c2。. (1)求经过4(-1.2.4).B(2.0.1)的直线的点方向式方程 (2)知平面:2x-3y+-1-0,平面A:x+y-22+4-0,平面×(m+1)x-(2m+3)y+(m+2)-5=0,若 a0-1.12%,证明:V/%: (3)已知斜三校杜ABC-4BC中,侧面ABB.4所在平面g,经过三点P(-4.0.0),0(-3.-1.1),H(1.-5.-2) 侧面BCCB所在平面6的一般式方程为y+2+4-0,侧面ACC4所在平面y的一般式方程为 2x-my+(2m+1)z41-0,求平面4BB.4与平面ACC4的夹角大小 数学 高二半期考试 第4页(共4页) 1．D 【分析】先得到，从而求出，计算出模长. 【详解】点在平面上的射影为，， 故， 故选：D 2．C 3. A 【详解】解：因为，，且， 所以，解得，所以， 又因为，且∥，所以，所以， 所以，所以.故选：A. 4.【答案】B 【分析】根据事件之间的关系与运算对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于选项A,事件A包含于事件D,故A正确； 对于选项D,由于事件B,D不能同时发生,故,故B正确； 对于选项C,由题意知C正确； 对于选项B,由于＝D＝{至少有一次击中目标},不是必然事件； 而为必然事件,所以,故D不正确. 5. D x的点数只能为5，或者6，故概率为 6．C 【详解】因为，因此平均数不变，即， 设其他48个数据依次为， 记录数据：， 更正数据：， ∴，故选：C． 7.【答案】C 8.【答案】B 9．BCD 【分析】由统计图数据对选项逐一判断可得答案. 【详解】2022年8月校车销量的同比增长率比9月的低，故A错误； 由校车销量走势图知1-12月校车销量的同比增长率的平均数为负数，环比增长率的平均数是正数，故B正确； 1-12月校车销量的环比增长率的极差为，同比增长率的极差为，所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差，故C正确； 由校车销量走势图知1-12月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故D正确． 故选：BCD. 10．ACD 【分析】根据三个向量是否共面判断A，由点关于坐标面的对称判断B，由向量的运算确定三点共线可判断C，根据向量共线求参数可判断D。 【详解】对于A, 不共面，则不共面，所以也是空间的一个基底，故正确； 对于B, 点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误； 对于C，由可得，即, 所以A，B，C三点共线，故正确； 对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确. 11. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B相互独立，则， 所以，故A对； 对于B，因，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若A与B互斥，则，故C错； 对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对． 故选：ABD 12.（2，2，4）或者倍数均可 13. 54 14【详解】，由于，所以， 问题等价于当且仅当时取到最小值， . 则，解得. 15. 【详解】（1）该试验的样本空间可表示为,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,； （2）记：“取出的鞋都是一只脚的” ,，,，,，,，,，,， ， ； 记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”， , , ,，,，,，,， ， ， （3）记“取出的鞋不成双”， 由（1）得， ，,，,，， ， ； 16．(1)，(2) 详解】（1）由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为， 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 故中位数位于之间，中位数是， （2）∵与的党员人数的比值为， 采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人， 设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，， 则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为： ，，，，，，，，，，共10个样本点， 这2人中至少有1人成绩低于76分的有： ，，，，，，，共7个样本点， 故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率. 17．(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用空间向量法求出，从而求出，再由点到直线的距离计算可得； （2）利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为为矩形，所以， 又因为平面平面，所以， 所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以， 则有， 所以， 所以点到直线的距离． （2）因为， 所以， 所以异面直线所成角的余弦值． 18. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 小问1详解】 连接，因为为等边三角形，为中点，则， 由题意可知平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 且，，平面，所以平面. 【小问2详解】 在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形， 由平面，平面，可得，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 因为， 设，，则， 可得，，，即， 可得， 由（2）知：平面的一个法向量 设平面的法向量，则， 令，则，，可得； 则， 令，则， 可得， 因为，则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为 19．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程； （2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系； （3）根据题意可得平面、的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）由得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为． （2）由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3）因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量， 则，令，解得，可得， 由平面可知，平面法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，即， 则， 故平面与平面夹角的大小为． 学科网（北京）股份有限公司 $$