专题3 平面直角坐标系重难点题型（四大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题3 平面直角坐标系重难点题型（四大题型） 【题型1 两点间距离】 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】 【题型1 两点间距离】 1．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，则A，B两点间的距离为 . 2．已知平面直角坐标系中有一点． (1)存在点，当平行于轴时，求点的坐标： (2)当点在轴上方，且到轴的距离是到轴距离的两倍时，求点的坐标． 3．已知点． (1)若点P在y轴上，求m的值； (2)若点P在第一象限，且点P到x轴的距离是到y轴的距离的4倍，求点P的坐标． 4．阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？ 如图，在坐标系中，，构造，则，， ∴ 若，，则 ∴ 这就是两点间的距离公式，例如， ∴ (1)根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值． 小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 请完成如下填空： 作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________， ∴的最小值是_____________． (2)借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式： ①最小值． ②的最大值． 5．阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，那么两点的距离，则． 例如： 若点，则， 若点，且，则． 根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的的值． 根据上面材料完成下列各题： (1)若点 若，则两点间的距离是______． 若轴，则两点间得距离是______． (2)若点，点B在轴上，且两点间的距离是5，求B点坐标． 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积是的面积的2倍，请求出点P的坐标． 7．已知在平面直角坐标系中有点，，，． (1)在坐标系内描出的位置； (2)求出的面积； (3)在y轴上是否存在一点P使得以三点为顶点的三角形面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，，，满足，过点C作轴于点B． (1)如图1，连接，求三角形的面积． (2)如图2，连接，若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，求？ (3)如图3，过C作垂直于点D，连接，点P从D点出发，沿“”移动，若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间t秒，当P运动到什么位置时，直线将四边形面积分为两部分？求出的坐标？ 9．如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 10．如图，在直角坐标平面内，已知，，，线段经过原点O． (1)求的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由． 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】 11．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 12．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，按这样的运动规律，第23次运动后，动点的纵坐标是（　　）    A． B．0 C．1 D．2 13．在一单位为1的方格纸上，有一列点（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，…，根据这个规律，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 15．如图，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 16．如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．如图，在一个单位为的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为 ． 18．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至…依照此规律跳动下去，点A第2021次跳动至的坐标（    ） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，一点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 22.按照如图所示的方式排列，其坐标依次为，，，，，…按此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 23．将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则252表示的有序数对是（    ） A． B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点B，分裂为两个点，分别向左、右运动到点C，D，此时称动点A完成第一次跳跃；再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点G，H，I，此时称动点A完成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】 25．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点位于第二象限，点位于第三象限，且a为整数． （1）求点A和点B的坐标． （2）若点为x轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求m的值． 26．如图1，在平面直角坐标系中，，在轴上，在轴上，. （1）求证：； （2）如图2，若点，，现有一个动点从点出发，沿着轴正方向运动，连结，当为等腰三角形时，求点的坐标； （3）如图3，若，点，过作交于，求的长. 27．长方形在平面直角坐标系的位置如左图所示，、两点分别在、轴上，且点的坐标为，为射线上的一动点，点关系直线的对称点为. （1）当的面积为时，则点坐标为_______________. （2）当为等腰三角形时，求点坐标. （3）如图所示，若点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，请直接写出点坐标. 28．如图，在平面直角坐标系中，为y轴正方向上一点，为x轴正方向上一点，且满足． (1)求线段AB的长； (2)点C是线段AC上一点，如果BC平分，求点C的坐标； (3)点P是x轴上一动点，且为等腰三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 平面直角坐标系重难点题型（四大题型） 【题型1 两点间距离】 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】 【题型1 两点间距离】 1．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，则A，B两点间的距离为 . 【答案】3 【分析】本题考查求平面直角坐标系内两点间距离，利用数形结合的思想是解题的关键．根据A，B两点的坐标可推出轴，即得出． 【详解】解：∵A，B两点的坐标分别为，， ∴轴， ∴． 故答案为：3． 2．已知平面直角坐标系中有一点． (1)存在点，当平行于轴时，求点的坐标： (2)当点在轴上方，且到轴的距离是到轴距离的两倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系；掌握点在坐标系中的特点是关键． （1）根据平行于y轴的直线上的点的特征：横坐标相同可求得m的值，从而求解； （2）根据点M在x轴上方，则纵坐标为正数，得m的取值范围，再由距离关系列方程即可求得m的值，从而求解． 【详解】（1）解：∵平行于轴， ∴， 解得：， 则， ∴； （2）解：∵点在轴上方， ∴； 即； ∴点M到轴的距离是，点M到轴距离是； ∵点M到轴的距离是到轴距离的两倍， ∴， 解得：或， ∴或 3．已知点． (1)若点P在y轴上，求m的值； (2)若点P在第一象限，且点P到x轴的距离是到y轴的距离的4倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握平面内点的坐标特点是解题关键． （1）直接利用轴上点的坐标特点（横坐标为得出的值； （2）直接利用点位置结合其到，轴距离得出点的坐标． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得； （2）解：∵点P在第一象限，且点P到x轴的距离是到y轴的距离的4倍， 由题意可得：， 解得， 则，， 故． 4．阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？ 如图，在坐标系中，，构造，则，， ∴ 若，，则 ∴ 这就是两点间的距离公式，例如， ∴ (1)根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值． 小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 请完成如下填空： 作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________， ∴的最小值是_____________． (2)借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式： ①最小值． ②的最大值． 【答案】(1)0，；13；13 (2)①10；② 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． （1）根据题目提供的思路解答即可； （2）①按照（1）的思路解答即可； ②若不在同一条直线上可构成一个三角形，则有，当在同一条直线上则有故可得结论 【详解】（1）解：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得， ∴的最小值是13． 故答案为：0，；13；13； （2）解：①如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于， 由两点间的距离公式得， ∴的最小值是10． ②表示, 若点不在直线上，则在中，有， 若点在直线上时，有， 故原代数式的最大值即为线段的长度，当且仅当点在直线上， 此时，, 即的最大值为 5．阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，那么两点的距离，则． 例如： 若点，则， 若点，且，则． 根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的的值． 根据上面材料完成下列各题： (1)若点 若，则两点间的距离是______． 若轴，则两点间得距离是______． (2)若点，点B在轴上，且两点间的距离是5，求B点坐标． 【答案】(1)①；②1 (2)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，利用平方根解方程，实数的混合运算，正确理解题意是解题关键． （1）①根据题目所给两点间的距离公式求解即可． 根据轴，得出，即可求解； （2）设，根据点B的位置和题目所给点的两点间距离公式列出方程，再根据开方运算求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， 故答案为：； ②∵平行y轴， ∴， 则； （2）解：设， 点在轴上， ， ， ，且、两点间的距离是5， ， 整理得， ， 或， 或， 或． 【题型2 求平面直角坐标系中动点问题的面积】 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积是的面积的2倍，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质、坐标与图形性质、一元一次方程的应用； （1）根据非负数的性质求解即可； （2）首先求出，然后利用三角形的面积公式列式即可； （3）设点，则，然后根据的面积是的面积的2倍，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：由（1）知，， ， 又点在第三象限， ∴， ∴； （3）解：设点，则， 当时，， 由题意得：， 解得：， ∴点P的坐标为或． 7．已知在平面直角坐标系中有点，，，． (1)在坐标系内描出的位置； (2)求出的面积； (3)在y轴上是否存在一点P使得以三点为顶点的三角形面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)7 (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系点坐标画图，求网格中三角形面积，利用面积求点坐标等． （1）根据题意在平面直角坐标系中描出三个点，，，继而得到答案； （2）先在平面直角坐标系中找出点并顺次连接得到，根据补全法求三角形面积公式即可； （3）设点P的坐标为，继而利用面积公式列式继而求出点P的坐标． 【详解】（1）解：根据题意在平面直角坐标系中描出三个点，，，并顺次连接如下图所示： （2）解：∵，，， ∴在平面直角坐标系中顺次连接得到， ∴； （3）解：∵以三点为顶点的三角形面积为10， ∴点P的坐标为，在平面直角坐标系顺次连接， 设三点围成的三角形高为， ∴， ∵， ∴， ∴点到直线距离为， 当点在轴正半轴上时，，即， 当点在轴负半轴上时，，即， ∴点P的坐标为或． 8．在平面直角坐标系中，，，满足，过点C作轴于点B． (1)如图1，连接，求三角形的面积． (2)如图2，连接，若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，求？ (3)如图3，过C作垂直于点D，连接，点P从D点出发，沿“”移动，若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间t秒，当P运动到什么位置时，直线将四边形面积分为两部分？求出的坐标？ 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，非负数的性质，坐标与图形面积，清晰的分类讨论是解本题的关键. （1）由非负数的性质先求解的值，可得的坐标，进一步可得三角形的面积； （2）过E作，如图2，证明，可得，，证明，从而可得结论； （3）当P在时，如图①，则，由题意得，当P在上时，，如图②，，再解方程可得答案； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴三角形的面积； （2）解：过E作，如图2， ∵， ∴， 如图所示， ∵，分别平分，， ∴，， ∵轴， ∴， ∵轴，， ∴，， 即， ∴． （3）解：当P在时，如图①，则， 由题意得 ， 解得， 即． 当P在上时，，如图②， 由题意得 ， 解得， ∴， 即， 综上，或． 9．如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 【答案】(1)20 (2)P点的坐标或． 【分析】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式． （1）观察图形，用分割法求解，分别过、两点作轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可； （2）点的纵坐标到原点的距离就是的边上的高，根据（1）点到原点的距离，再根据点分别在轴正负半轴，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，如下图： ∵，，，， ∴，，，，， 则 ； （2）解：设的边上的高为，由， 得：， 解得， 又∵点在轴上， ∴P点的坐标或． 10．如图，在直角坐标平面内，已知，，，线段经过原点O． (1)求的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中三角形的面积； （1）由，即可求解； （2）设，由三角形面积得，即可求解； 能根据点的坐标表示出三角形面积是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：设， ， 解得：或， 的坐标为或． 【题型3 平面直角坐标系中规律题探究】 11．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，根据前几个点的坐标，总结出规律是解题的关键． 根据各个点的位置关系，可得出从开始，下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，所以点的在第四象限的角平分线上，然后根据规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴从开始，在第四象限的角平分线上，在第三象限的角平分线上，在第二象限的角平分线上，在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点的在第一象限的角平分线上，， ∴点坐标为 故选D． 12．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，按这样的运动规律，第23次运动后，动点的纵坐标是（　　）    A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每6次运动组成一个循环是解题的关键． 由图得点的纵坐标变化每6次一循环，，点的纵坐标为符合第5个点的纵坐标为1． 【详解】解：由图得，点每运动一次横坐标就增加1， ∴的横坐标为23， 点的纵坐标变化每6次一循环， ， ∴点的纵坐标为1． 故选：C． 13．在一单位为1的方格纸上，有一列点（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标的规律探索，根据直角坐标系得出坐标的规律是解题关键．观察坐标系发现，即可得到的坐标． 【详解】解：由直角坐标系可知，，，，…， 以此类推可知， ， 的坐标为，即． 故选：B． 14．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，…，根据这个规律，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索， 根据题意可得规律每四次移到为一个循环，横坐标为1，1，0，0依次出现，纵坐标每2次移到增加1，据此规律求解即可． 【详解】解：，，，，，……， 以此类推可知，每四次移到为一个循环，横坐标为1，1，0，0依次出现，纵坐标每2次移到增加1， ∵， ∴点的横坐标为0，纵坐标为14， ∴点的坐标为， 故选：A． 15．如图，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点坐标规律的应用，熟练掌握类比法及点坐标的基础知识，是解题关键． 分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即得． 【详解】，， ， ， ，， ，， ，， …， 观察发现， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴点的坐标是． 故选：B． 16．如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键． 根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，，故点是第506组的第4个点，则在y轴上，其非零坐标即横坐标为． 【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组， 第1组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，，； 第2组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，，； …… 以此类推，，则点是第506组的第4个点，则在轴上，其非零坐标即横坐标为1012， 故点的坐标是， 故选：C． 17．如图，在一个单位为的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，由图可得，当为的倍数时，点在第一象限，且横坐标为，据此即可求解，根据图形找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图形可知，当为的倍数时，点在第一象限，且横坐标为， ∵， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 18．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按…的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是坐标规律的探究，先求解四边形的周长为．结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴四边形的周长为． ∵， ∴细线另一端所在位置的点的坐标为． 故选A． 19．如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至…依照此规律跳动下去，点A第2021次跳动至的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据即，即， 即，即…依照此规律跳动下去，当n为奇数时，当n为偶数时，解答即可． 本题考查了坐标的规律问题，正确发现坐标与序号的规律是解题的关键． 【详解】解：根据即，即， 即，即… 依照此规律跳动下去，当n为奇数时，当n为偶数时， 2021是奇数， 故点A第2021次跳动至的坐标为即． 故选A． 20．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标． 【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向； ，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向， 最左边的点坐标为，即第2025个点的坐标， 第2024个点的坐标为． 故选：C． 21．如图，在平面直角坐标系中，一点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系下点的规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律． 先确定点在第三象限，根据第三象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可． 【详解】解： ∵，则在第四象限， 由题意，第四象限的点为，，， ∴． 故选：B． 22．平面直角坐标系中有若干点，按照如图所示的方式排列，其坐标依次为，，，，，…按此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标正方形为单位格点变化规律，反应出点的坐标变化从特殊到一般再到特殊规律计算方法，同时也体现出第三象限点的横纵坐标数字隐含规律：点的坐标（n为角标）求解． 根据每四个象限循环一周找到角标与坐标之间变化规律即可解题． 【详解】解：由题可知第一象限的点：，……角标除以4余数为2； 第二象限的点：…… 角标除以4余数为3； 第三象限的点：……角标除以4余数为0； 第四象限的点：……角标除以4余数为1； 由上规律可知：， ∴点在第三象限． 观察图形，得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，……， ∴第三象限点的横纵坐标数字规律：点的横纵坐标（n为角标） ∴点的坐标为． 故选：C． 23．将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则252表示的有序数对是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案． 【详解】第1行的第一个数字： 第2行的第一个数字： 第3行的第一个数字： 第4行的第一个数字： 第5行的第一个数字： …..， 设第行的第一个数字为，得 设第行的第一个数字为，得 设第n行，从左到右第m个数为 当时 ∴ ∵为整数 ∴ ∴ ∴， 252表示的有序数对是 故选：C． 24．如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点B，分裂为两个点，分别向左、右运动到点C，D，此时称动点A完成第一次跳跃；再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点G，H，I，此时称动点A完成第二次跳跃；依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意找到点坐标变化的规律即可． 【详解】 解：由题意可得：A、D、I．．． 每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1， 则动点A完成第2023次跳跃时，最右边一个点纵坐标为，横坐标为： 故选：C． 【点睛】 本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键． 【题型4 等腰三角形个数讨论问题】 25．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点位于第二象限，点位于第三象限，且a为整数． （1）求点A和点B的坐标． （2）若点为x轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求m的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据点A位于第二象限，点B位于第三象限， 可得到，再根据a为整数，求解即可； （2）根据题干可知，设垂足为D，利用勾股定理可求得CD，进而可求出m的值． 【详解】解：（1）由题意得， 解得， ∵为整数， ∴， ∴； （2）由题意知，轴，假设点C(m，0)位置如图，交x轴于点D， ∴D(-4，0)， ∵△ABC是以BC为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质及绝对值的性质，解题的关键是综合运用相关知识解题． 26．如图1，在平面直角坐标系中，，在轴上，在轴上，. （1）求证：； （2）如图2，若点，，现有一个动点从点出发，沿着轴正方向运动，连结，当为等腰三角形时，求点的坐标； （3）如图3，若，点，过作交于，求的长. 【答案】（1）详见解析；（2）满足条件的点有四个，分别为：，，，；（3）. 【分析】(1)利用勾股定理即可证明. (2)先由勾股定理算出B的坐标,再分类讨论等腰三角形可能的情况. (3)取OE中点F,连接AF,证明,即可利用条件算出OE. 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ （2）∵， ∴， ∴ 即 为等腰三角形时，可分为以下三种情况讨论： 若时，即点距离点有5个单位 ∴或者 若时，则点为点关于轴的对称点 ∴ 若时，可设，则 由可解得 ∴ 综上所述，满足条件的点有四个，分别为：，，，. （3）∵ ∴ ∵ ∴ ∴为以为底的等腰三角形 取的中点，连结 则，即 在与中 ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查坐标系与三角形的结合,关键在于熟悉基础知识点. 27．长方形在平面直角坐标系的位置如左图所示，、两点分别在、轴上，且点的坐标为，为射线上的一动点，点关系直线的对称点为. （1）当的面积为时，则点坐标为_______________. （2）当为等腰三角形时，求点坐标. （3）如图所示，若点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，请直接写出点坐标. 【答案】（1）或；（2）或或；（3）或或或 【详解】试题分析：（1）连接，根据的坐标可知长，故求的坐标可放在直角三角形中通过面积求得，注意到在射线上，根据对称性则有两种情况；（2）有三种情况，，或，或，分别结合图形求解即可；（3）因为在射线上，故可分成正半轴和负半轴讨论.而直角顶点可能为也有可能为或，故又需分类讨论，可结合图像观察计算. 试题解析：（1）连接，则为直角三角形 设 或 坐标为或 （2）①若， ②若，则和关于轴对称 ③若，则一定在线段上 设 在中， 综上，点坐标为或或. （3）或或或，如图，理由如下： ①：在位置，，，设，则，， ②：在位置， ③：在位置， ④：在位置，，，设，则， 考点：1.勾股定理；2.分类讨论思想；3.数形结合思想. 28．如图，在平面直角坐标系中，为y轴正方向上一点，为x轴正方向上一点，且满足． (1)求线段AB的长； (2)点C是线段AC上一点，如果BC平分，求点C的坐标； (3)点P是x轴上一动点，且为等腰三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)C点坐标为 (3)、、、 【分析】 （1）由算术平方根及平方的非负性质即可求得a与b的值，再由勾股定理即可求解； （2）过点C作C于D，证明，则，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （3）分三种情况：；，由等腰三角形的性质两腰相等即可求解． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， 即， ∴， 即， 由勾股定理得：； （2）解：如图，过点C作C于D， 则， ∵BC平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； （3）解：当时，如图； ∵， ∴， ∴； 当时，如图； 则满足条件的点P有两个， 或， ∴或； 当时，设， ∵， ∴， 解得：， 即； 综上，满足条件的点P坐标、、、． 【点睛】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些知识是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$