精品解析：福建省莆田市城厢区砺成中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024年10月份八年级月考数学 一．单选题（每题4分，共40分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据下列条件能唯一画出△ABC的是（ ） A. AB＝3，BC＝4，AC＝8 B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C. AB＝5，AC＝6，∠A＝45° D. ∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° 3. 已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（ ） A. 50° B. 60° C. 30° D. 40° 4. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 5. 如图，已知与相交于点，，要添加一个条件使得，其中添加条件不正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图所示的图形中，，，那么（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 平分 D. 8. 把一张正方形纸片按如图方式对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题4分） 11. 平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是__________． 12. 已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是_______． 13. 如图，镜子中号码的实际号码是____________． 14. 等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15和18两部分，则它的腰长为______． 15. 如图，已知△ABC的面积为10，AD平分∠BAC且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为________ ． 16. 如图，在Rt中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是______． 三．解答题：（共86分） 17. 放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，，，他发现不仅平分，且平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 18. 如图，在中，，点在上，，．求证：为等边三角形． 19. 如图，在和中，，若，连接、交于点； （1）求证：； （2）求的度数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为． （1）请在平面直角坐标系内，画出关于轴对称的图形，其中，点的对应点分别为； （2）请写出的坐标分别是（______________），（______________）；（______________）； （3）请写出点关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的点的坐标． 21. 如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC． （1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC． 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．若，，求的长． 23. 将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”． （1）如图1，AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，求∠BAD的度数； （2）如图2．在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，且AB=AD，若∠B=2∠DAC，判断直线AD是否是△ABC的对垂线，并说明理由． 24. 如图，中，，E点为射线CB上一动点，连接AE，作且． （1）①如图1，过F点作交AC于D点，求证：； ②如图2，在①的条件下，连接BF交AC于G点，若E点为BC中点，求证：； （2）当直线BF与直线AC交于G点，若，请求出的值． 25. 如图，在中，，，以为边作等腰，其中，连接． （1）求证：； （2）作的垂直平分线分别交，于点，． ①如图1，，求证：； ②如图2，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年10月份八年级月考数学 一．单选题（每题4分，共40分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”逐一判断解题． 【详解】解：A.是轴对称图形，符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 根据下列条件能唯一画出△ABC的是（ ） A. AB＝3，BC＝4，AC＝8 B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C. AB＝5，AC＝6，∠A＝45° D. ∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可判断A项，根据全等三角形的判定可判断B、C、D三项，进而可得答案． 【详解】解：A、由于AB与BC两边之和小于AC，不能作出三角形，故本选项不符合题意； B、∠A并不是AB，BC的夹角，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、两角夹一边，形状固定，可作唯一三角形，故本选项符合题意； D、三个角确定，但边不确定，可画出多个三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的判定，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 3. 已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（ ） A. 50° B. 60° C. 30° D. 40° 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和是180°和等腰三角形两底角相等，可以求得其顶角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为70°， ∴顶角为180°-70°×2=40°． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理的运用，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题关键． 4. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 5. 如图，已知与相交于点，，要添加一个条件使得，其中添加条件不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：，， A．当时，满足，可得，故A不符合题意； B．∵， ∴， 根据，可得，故B不符合题意； C．，只满足，不能证明，故C符合题意； D．，满足，可得，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 6. 如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再利用△BDC的周长为18即可求解． 【详解】解：∵MN垂直平分AB， ∴， ∴△BDC的周长， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 7. 如图所示的图形中，，，那么（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上即可判断． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分，选项B正确， 不能判断选项A、C、D是否正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，掌握“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”是解题的关键． 8. 把一张正方形纸片按如图方式对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形，在靠近直角三角形直角顶点位置剪去一个圆，则直角顶点处完好，展开后四个圆关于对角线对称，且都靠近正方形的中心，据此即可得到答案． 【详解】解：由折叠方法可知展开后四个圆关于对角线对称，且都靠近正方形的中心， ∴只有C选项符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了图形的折叠和动手操作能力，对此类问题，在不容易想象的情况下，动手操作不失为一种解决问题的有效方法． 9. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 10. 如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后证明可得，根再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ∴， ， ∴， 将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合， ， ， 在中，， 故选：C． 二．填空题（每题4分） 11. 平面直角坐标系中，点关于轴的对称点是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的坐标特征，即可完成解答. 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是（3,2）. 【点睛】本题考查了根据平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征，即关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称的点的坐标纵坐标不变，横 坐标变为相反数； 12. 已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 能构成三角形， 周长为， 故答案为． 13. 如图，镜子中号码的实际号码是____________． 【答案】3265. 【解析】 【详解】试题解析：根据镜面对称的性质，在镜子中的真实数字应该是3265, 故答案为3265. 14. 等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15和18两部分，则它的腰长为______． 【答案】12或10##10或12 【解析】 【分析】如图，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，BD是腰AC上的中线，分AB+AD=18和AB+AD=15两种情况列方程求解即可． 【详解】解：如图，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，BD是腰AC上的中线， ∴AD=CD=x， ①若AB十AD=18，则2x十x=18，解得：x=6， 则x+y=15，即6十y=15，解得y=9， 满足12+9＞12，∴腰长为12， ②若AB+AD=15，则2x+x=15，解得：x=5， 则x+y=18，即5+y=18，解得：y=13， 满足10+10＞13，∴腰长为10， 综上，该等腰三角形的腰长为12或10， 故答案为：12或10． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解一元一次方程，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 15. 如图，已知△ABC的面积为10，AD平分∠BAC且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为________ ． 【答案】5##5平方厘米 【解析】 【分析】延长BD交AC于E，由“ASA”可证△ABD≌△AED，可得BD=DE，由面积关系可求解． 【详解】解：延长BD交AC于E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠EAD， 在△ABD和△AED中，， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴BD=DE， ∴，， ∴△ADC的面积=×10=5（）， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16. 如图，在Rt中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是______． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】根据角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形全等等知识，解答即可． 【详解】解：∵的角平分线相交于点P， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴； 故②正确； ∵， ∴，无法得到， 故③错误； 过点D作于点M， 根据，， 得， ∴， 故④正确； ∵， ∴，，， ∵ ∴ ∴； ∴， 故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形全等等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三．解答题：（共86分） 17. 放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，，，他发现不仅平分，且平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 【答案】 解：他的发现正确，理由如下： 在与中， ， ∴， ∴，， ∴不仅平分，且平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据全等三角形的判定和性质直接证明即可． 【详解】略 18. 如图，在中，，点在上，，．求证：为等边三角形． 【答案】 证明：，， ， ，， ， ，， ， 为等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，以及等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，即可解答． 【详解】略 19. 如图，在和中，，若，连接、交于点； （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：， ∴， ， 又，， ∴， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形， ， ， ， ； 20. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为． （1）请在平面直角坐标系内，画出关于轴对称的图形，其中，点的对应点分别为； （2）请写出的坐标分别是（______________），（______________）；（______________）； （3）请写出点关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2），4；，1；2，2 （3） 【解析】 【分析】（1）作出点关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）结合（1）所画的图形，即可得到答案； （3）利用轴对称得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的坐标分别是，，． 故答案为：，4；，1；2，2． 【小问3详解】 解：设点， ∵直线，且平行于y轴，， ∴，， ∴， ∴点关于直线对称的点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了轴对称变换，解题的关键是数形结合，作出对应点的位置． 21. 如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC． （1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC． 【答案】（1） 如图： （2）∵DE平分∠ADB， ∴∠ ADE=∠BDE． ∵∠ ADB=∠C+∠DAC，而∠C=∠DAC， ∴ 2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C， ∴ DE∥AC． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作∠ADB的平分线DE； （2）利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE，再根据三角形外角性质得∠ADB=∠C+∠DAC，加上∠C=∠DAC，从而得到∠BDE=∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的判定． 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，连接，角平分线的性质，得到，证明，得到，证明，得到，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 23. 将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”． （1）如图1，AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，求∠BAD的度数； （2）如图2．在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，且AB=AD，若∠B=2∠DAC，判断直线AD是否是△ABC的对垂线，并说明理由． 【答案】（1）15°； （2）直线AD是△ABC的对垂线．理由如下： ∵AB=AD， ∴∠B=∠BDA． ∵∠B=2∠DAC，∠BDA=∠DAC+∠C， ∴∠DAC=∠C∠B． ∵△ABC中，∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠B∠B=90°， ∴∠B=60°=∠BDA，∠DAC=∠C=30°． 把△ADC沿直线AD折叠，设点C落在C'处，直线AC'交BC于点F，则△ACD≌△AC'D， ∴∠DAC'=∠DAC=30°， ∴△AFD中，∠AFD=180°﹣30°﹣60°=90°， 即AC'⊥BC， ∴AD是△ABC的对垂线． 【解析】 【分析】（1）由“对垂线”的定义可得AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，则可得出∠BAD=∠B'AD，由等边三角形的性质得出∠BAB'∠BAC=30°，则由折叠的性质可得出答案； （2）由等腰三角形的性质得出∠B=∠BDA，可得出∠DAC=∠C∠B，求出∠B=60°，证得∠AFD=90°，则可得出答案． 【详解】解：（1）∵AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处， ∴AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D， ∴∠BAD=∠B'AD． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°． 又∵AB'⊥BC， ∴∠BAB'∠BAC=30°， ∴∠BAD∠BAB'°=15°； （2）略 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形“对垂线”的概念，折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 24. 如图，中，，E点为射线CB上一动点，连接AE，作且． （1）①如图1，过F点作交AC于D点，求证：； ②如图2，在①的条件下，连接BF交AC于G点，若E点为BC中点，求证：； （2）当直线BF与直线AC交于G点，若，请求出的值． 【答案】（1） （1）①证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ②证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）或 【解析】 【分析】（1）①通过“”证明即可； ②过F点作交于D点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，即可解题； （3）分两种情况：过F作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：过F作的延长线交于点D，如图3，\ ∵，，， ∴， 由（1）（2）知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理，当点E在线段BC上时， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证、是解题的关键． 25. 如图，在中，，，以为边作等腰，其中，连接． （1）求证：； （2）作的垂直平分线分别交，于点，． ①如图1，，求证：； ②如图2，，，求的值． 【答案】（1）证明：如解图1，作的延长线交于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）①证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 如解图2，延长到点，使， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）由，即可证明，，由三角形外角的性质可知，由此即可得出结论； （2）①先证明，再延长到点，使，得是等边三角形，再证明，得即可解题； ②在上取一点，使，得到，由此可得，再由，从而可证明是等腰直角三角形，由此求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如解图3，在上取一点，使， ∵，，， ∴， ∴，， 由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形、等边三角形的性质和判定，解题关键是利用手拉手模型或对称模型构造全等三角形转化线段关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $