云南省保山市智源初级中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

第 3 页（共 4页） 第 4页（共 4 页） 保山市智源中学 2024—2025 学年上学期九年级 第一次单元检测 数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：100 分） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚. 2.选择题必须使用 2B铅笔填涂在答题卡对应题目；非选择题必须用黑色字迹的签字笔填写在答题卡，字体工整.在 试卷上作答无效. 一、选择题（共 15 题，每题只有一个正确选项，每题 2分，共 30 分） 1.下列方程中，是关于�的一元二次方程的是（ ） A． 1 �2 − � − 1 = 0 B．��2 + �� + � = 0（�、�、�为常数） C． � + 1 � − 2 = �2 D．3�2 + 1 = 0 2.下列各式中，y是 x的二次函数的是（ ） A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c 3.关于二次函数 22 1y x   的图象，下列说法中，正确的是（ ） A．对称轴为直线 x=1 B．顶点坐标为(-2,1) C．可以由二次函数 22y x  的图象向左平移 1个单位得到 D．在 y轴的左侧，图象上升，在 y轴的右侧，图象下降 4.设�1，�2是方程�2 − 5� + � = 0的两个根，且�1 + �2 − �1�2=2，则�的值是（ ） A．-3 B．3 C．-7 D．7 5.若关于 x的一元二次方程 ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是 x＝1，则 2 019－a－b的值是（ ） A．2023 B．2012 C．2019 D．2024 6.如果将抛物线向右平移 2个单位后得到 2y x= ，那么原抛物线的表达式是（ ） A． 2 2y x  B． 2 2y x  C． 2( 2)y x  D． 2( 2)y x  7.将一元二次方程 x2-6x-5=0化成(x+h)2=k的形式，则 k等于（ ） A．-4 B．4 C．-14 D．14 8.一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x个人， 依题意可列方程为（ ） A．�+� �+1 =121 B．1+�+� �+1 =121 C．�+�2=121 D．1+�+�2=121 9.若抛物线� = (� − 1)�2 − � +1 与�轴有交点，则�的取值范围是（ ） A.� ≤ 5 4 且� ≠ 1 B.� ≤ 5 4 C.� < 5 4 且� ≠ 1 D.� < 5 4 10.某校九年（一）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班 共送了 2070张相片．如果全班有�名学生，根据题意，列出的方程为（ ） A．� � + 1 = 2070 B．� � − 1 = 2070 C．2� � − 1 = 2070 D．� �−1 2 = 2070 11.2023年某电影上映的第一天票房为 2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为 6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为 x，则根据 题意，下列方程正确的是（ ） A．  2 1 6.62x  B．  22 1 6.22x  C．   22 1 2(1 ) 6.62x x    D．   22 2 1 2(1 ) 6.62x x     12.如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地 上种植草坪，使草坪的面积为 570m2．若设道路的宽为 xm，则下面所列方程正确的是（ ） A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570 C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570 13.已知抛物线� = �(� − 2)2 + �（� > 0，�，�为常数），A（−3，�1），B（3，�2），C（4，�3）是该 抛物线上三点，则�1，�2，�3由小到大排列为（ ） A．�1 < �2 < �3 B．�2 < �1 < �3 C．�2 < �3 < �1 D．�3 < �2 < �1 14.在同一平面直角坐标系中，函数 2y ax k  与 ( )0y kx a a   的图象可能是（ ） A． B． C． D． 15.二次函数� = ��2 + �� + �（� ≠ 0）的图象如图所示，有下列结论： ①��� > 0，②4� − 2� + � < 0，③� − � ≥ � �� + � ，④3� + � < 0.正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第 12 题图 第 15 题图 第 19 题图 二、填空题（共 4题，每题 2分,共 8分）. 16.若函数   2 73 3my m x x    是关于 x的二次函数，则 m= ． 17.与抛物线 y＝2�2的形状相同，开口方向不同，且顶点坐标为(1，3)的抛物线解析式是 ． 18.若关于 x的一元二次方程  2 21 2 0 2 x m x m    ，其根的判别式的值为 8，则m的值是 ． 19.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为 8米，拱高 6米，跨度 20米．相邻两支柱间的 距离均为 5米，则支柱 MN的高度为 米． 第 3 页（共 4页） 第 4页（共 4 页） 三、解答题（共 8题，共 62 分）. 20．(6 分) 解下列方程： （1）(� − 2)2 = 6 − � (2) − �2 + 4� =− 7（用公式法解） 21．(6 分)如图，二次函数的图象经过点  0, 1 ，顶点坐标为  2,3 ． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当0 3x  时，y的取值范围为 ． 22．(7 分)抛物线 2y ax 与直线 2 3y x  交于点  1 b， ． (1)求 a和 b的值； (2)当 x取何值时，二次函数的 y值随 x的增大而增大． 23．(7 分)已知：关于 x的方程  2 2 2 0x k x k    ； (1)求证：无论 k取任何实数，方程总有实数根； (2)已知 21 xx， 是方程的两个根，且 3 22 21  xx ，则 k的值为多少． 24．(8 分) 某超市于今年年初以每件 25 元的进价购进一批商品．当商品售价为 40 元时，一月份销售 256 件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到 400 件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价 1 元，销售量 增加 5件，当商品降价多少元时，商场获利 4250 元？ 25．(8 分)已知二次函数 2 2 1 1 2 y x mx m    （m为常数， 0m  ）的图象经过点 (2,3)A ． (1)求 m的值； (2)判断二次函数 2 2 1 1 2 y x mx m    的图象与直线 5y   有几个交点并说明理由． 26．(8 分)已知：如图，在矩形 ABCD中， 6cmAB  ， 2cmAD  ，动点 P，Q分别从A，C处同时出发，点 P以 2cm / s 的速度向点 B移动，一直到 B为止，点Q以1cm / s的速度向D移动．当点 P停止运动时点Q也停止运动，设运动的时 间为 t． (1)点 P和点Q两点从出发开始到几秒，四边形 PBCQ的面积是 24cm ； (2)点 P和点Q两点从出发开始到几秒，点 P和点Q之间的距离是 4cm； 27．(12 分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 l： 2y x  与 x轴，y轴分别交于点 A，B，抛物线 2y x bx c   经过点 B，且与直线 l的另一个交点为  8,C n ． (1)求 n的值和抛物线的解析式． (2)已知 P是抛物线上位于直线 BC下方的一动点（不与点 B，C重合），过 P点作 PF垂直于 x轴交直线 BC于点 F， 设点 P的横坐标为 a．当 a为何值时，线段 PF有最大值，求出其最大值及此时点 P的坐标． (3)在抛物线上是否存在点 M，使 BMC△ 是以 BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点 M的坐标；若不存 在，请说明理由． 保山市智源初级中学 2024—2025 学年上学期九年级 第一次单元检测 数学答案 1．D 2．C 3．D 4．B 5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B 11．D 12．A 13.C 14.D 15.C 16．-3 17．y=-2(x-1)2+3 18．-2 19．3.5 20．（1）x1= ，x2= （2）x1= ，x2= 21．（1）解：二次函数的图像经过点  0, 1 ，顶点坐标为  2,3 ， 设这个二次函数的表达式为：    22 3 0y a x a    ， 把  0, 1 代入得：  21 0 2 3a    ，， 解得： 1a   ， 这个二次函数的表达式为：  22 3   y x ； （2）解： 1 0a    ，二次函数的表达式为  22 3   y x ， 二次函数  22 3   y x 的图象有最高点  2,3 ，对称轴是直线 2x  ， 当 0x  时，  20 2 3 1y       ， 当 3x  时，  23 2 3 2y      ， y 的取值范围为： 1 3y   ， 故答案为： 1 3y   ； 22.(1)（1）∵函数  2 0y ax a  的图象与直线 2 3y x  交于点  1,b ， ∴ 2 3 b  ， ∴ 1b   ， ∴交点坐标为  1, 1 ， ∴把  1, 1 代入 2y ax 得 1a   (2) 当 0x  时，二次函数的 y值随 x的增大而增大. 23.（1） 2 28( 2) ( 2) 0kk k    = ， 对于任意实数 k，原方程一定有实数根. （2）k=1. 24.（1）解：设二、三这两个月销售量的月平均增长率为 x， 由题意得，  2256 1 400x  ， 解得 1 0.25 25%x   ， 2 2.25x   （不合题意，舍去）， 答：二、三这两个月销售量的月平均增长率为 25%； （2）解：设商品降价 a元时，商场获利4250元， 由题意得，   40 25 400 5 4250a a    ， 解得 1 5a  ， 2 70a   （不合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，商场获利 4250元． 25.（1）解：将 (2,3)A 代入 2 2 1 1 2 y x mx m    可得： 2 2 13 2 2 1 2 m m     ，解得 1 20 2m m ， ， 又∵ 0m  ， ∴ 2m  ． （2）解：1 个交点，理由如下： ∵ 2m  ， ∴ 21 2 3 2 y x x   ， ∴二次函数 2 21 1 2 y x mx m    的图像与直线 5y   可得： 2 15 2 3 2 x x    ，即 21 2 2 0 2 x x   ∵ 2 2 14 2 2 04 2 b ac      ， ∴二次函数图像与 x轴有 2 个交点， ∴二次函数 2 21 1 2 y x mx m    的图像与直线 5y   只有 1 个交点 26.（1）解： 2 6 2 2AP t CQ t PB t BC    ， ， ， ， ( 6 2 ) 2 4 2PBCQ t tS      四边形 ， 2t  ； （2）解：作QM AB 于M ，则 6 3 2 4PM t MQ PQ   ， ， ， 由勾股定理得 24 (6 3 ) 16t   ， 解得： 1 2 6 2 3 6 2 3, 3 3 t t   (舍)． 27.（1）解：对于 2y x  ， 令 0x  ，则 2y   ， 令 2 0y x   ，解得 2x  ， 当 8x  时， 8 2 6y n    ， 故点A、 B、C的坐标分别为 (2,0)、 (0, 2) ， (8,6)； 将点 B、C的坐标代入抛物线的表达式得 2 64 8 2 6 c b       ， 解得 7 2 b c      ， 抛物线的表达式为 2 7 2y x x   ； （2）解：如图，过点 P作 y轴的平行线交 AB于点 H ，连接 BP，CP， 设点 P的坐标为  2, 7 2a a a  ，则点  , 2F a a  ，    22 22 7 2 8 4 16PF a a a a a a            ， ∵ 4 0  ， ∴当 4a  时， PF有最大值，最大值为 16； 当 4a  时， 14y   ． ∴  4, 14P  ； （3）解：存在，理由如下： ①当点 B为直角顶点时，如图，过点 B作 BM BC 交抛物线于点M ，分别过点M 和点C作 y轴的垂线，垂足分别为 N，D， (0, 2)B  ， (8,6)C ， 8BD  ， 8CD  ， 45CBD  ， 90CBM   ， 45MBN  ， BN MN  ， 设MN t ，则BN t ， ( , 2)M t t   ， 点M 在抛物线上， 2 7 2 2t t t      ，解得 0t  （舍）或 6t  ， 6MN BN   ， 8ON  ， (6, 8)M  ． ②当点C为直角顶点时，如图，过点C作CM BC  交抛物线于点M ，过点M 作 y轴的 垂线ME ，过点C作 x轴的垂线CE， 由①知 45BCD  ， 45MCD  ， 45MCE  ， M E CE  ， 设点M 的横坐标为m，则 8ME CE m     ， 28 6 7 2m m m      ，解得 2m   或 8m  （舍 )， ( 2,16)M   ． 综上可知，存在点M ，使 BMC△ 是以 BC为直角边的直角三角形，此时 (6, 8)M  或 ( 2,16) ． 保山市智源初级中学2024—2025学年上学期九年级第一次单元测试 数学 答题卡 填 涂 范 例 正确填涂 错误填涂 1. 答题前 ，考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真 核准条形码上的考号、姓名，在规定的位置贴好条形码。 2. 选择题答题区域使用 2B铅笔填涂 ，填空题、解答题答 题区域用黑色碳素笔书写 ，字体工整、笔迹清楚 ，按照题 号顺序在各题目的答题区域内作答 ，超出答题区域书写的 答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 3. 保持卡面清洁 ，不要折叠、不要弄破，选择题答题区域 修改时 ，用橡皮擦擦干净 ，填空题、解答题答题区域修改 禁用涂改胶条。 缺考标记 （填涂说明：缺考考生由监考员贴条形 码 ，并用 2B铅笔填涂左边缺考标记） 准 考 证 号 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线框外） 一、选择题(每小题2分，共30分） 1 ［A］ ［B］［C］［D］ 6 ［A］ ［B］［C］［D］ 11 ［A］ ［B］［C］［D］ 2 ［A］［B］［C］［D］ 7 ［A］［B］［C］［D］ 12 ［A］［B］［C］［D］ 3 ［A］［B］［C］［D］ 8 ［A］［B］［C］［D］ 13 ［A］［B］［C］［D］ 4 ［A］ ［B］［C］［D］ 9 ［A］［B］［C］［D］ 14 ［A］［B］［C］［D］ 5 ［A］ ［B］［C］［D］ 10［A］ ［B］［C］［D］ 15 ［A］ ［B］［C］［D］ 二、填空题(每小题2分，共8分) 16. . 17. . 18. . 19. . 三、解答题（共8题，共62分） 20.（6分） 解下列方程. (1) (� − 2)2 = 6 − � (2) − �2 + 4� =− 7（用公式法解） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21.（6分） 22.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23.（7分） 24.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 注 意 事 项 姓 名 班 级 考场号 座位号 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27.（12分） 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25.（8分） 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26.（8分） 请在各题目的答题区域内作答 ，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 装 订 线