第3章 实数（单元测试A卷）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（浙江专用）

第3章 《实数》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）在实数，﹣（﹣3.14），11π，0.010010001…，，（﹣3）2中，无理数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（3分）下列各数中，比﹣小的数是（　　） A．﹣1 B． C． D．0 3．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D．＝0 4．（3分）下列结论中，正确的是（　　） A．的平方根是±3 B． C． D．a2的算术平方根是a 5．（3分）已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）下列说法正确的是（　　） A．﹣81的平方根是﹣9 B．平方根等于它本身的数是1和0 C．的平方根是±9 D．立方根等于它本身的数是±1和0 7．（3分）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．3和 B．﹣3和 C．和3 D．﹣3和 8．（3分）估计5﹣的值在（　　） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 9．（3分）对于实数p，我们规定：用〈p〉表示不小于p的最小整数，例如：．现对72进行如下操作：．即对72只需进行3次操作后变为2．类似的：对121只需进行（　　）次操作后变为2． A．4 B．3 C．2 D．1 10．（3分）对实数m，n定义一种新运算，规定：f（m，n）＝mn+an﹣3（其中a为非零常数）；例如：f（1，2）＝1×2+a×2﹣3；已知f（2，3）＝9，给出下列结论：①a＝2；②若f（1，n）＝0，则n＝1；③若f（m，m）＝2m，则；④f（n，n）﹣2n有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算：＝ 　 　． 12．（3分）的立方根是　 　；的算术平方根是　 　；的绝对值是　 　． 13．（3分）若，，则a＝　 　． 14．（3分）的平方根是 　 　． 15．（3分）若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是 　 　． 16．（3分）已知a，b，n均为正整数．若，，则满足条件的a的个数总比b的个数少 　 　个． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算：． 18．（6分）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab++e2+的值． 19．（8分）一个正数b的两个平方根分别是2a﹣3与5﹣a， （1）求a和b的值． （2）求5a+b﹣3平方根． 20．（8分）如图所示，已知OA＝OB，BC＝2． （1）说出数轴上点A所表示的数为 　 　； （2）比较点A所表示的数与﹣3.5的大小：　 　； （3）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 21．（10分）（1）用“＞”“＜”或“＝”填空： 　 　 　 　 　 　； （2）由上可知： ①＝　 　，②＝　 　，③＝　 　； （3）计算：． 22．（10分）国庆手抄报展览即将开始．为制作出精美的国庆主题展览作品，小华想用一张面积为400cm2的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为300cm2的长方形卡纸，用于制作展览作品的背景． （1）请你帮小华设计一种可行的裁剪方案． （2）若设计长方形卡纸的长宽之比为5：3，小华能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸吗？若能，请你帮助小华设计裁剪方案；若不能，请说明理由． 23．（12分）我们规定用（a，b）表示一个数对，给出如下定义：记：，，将（m，n）和（n，m）称为数对（a，b）的一对“开方对称数对”． 例：数对（8，25）的开方对称数对为（2，﹣5）和（﹣5，2） （1）数对（27，20）的开方对称数对为　 　和　 　； （2）若数对（x，6）的一个开方对称数对是，则x＝　 　； （3）若数对（a，b）的一个开方对称数对是（﹣4，﹣5），求a+b的值． 24．（12分）（1）如图1，分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 　 　cm． （2）如图2，小逸同学打算将一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一块面积为1350cm2的长方形，使该长方形的长和宽之比为3：2，你认为小逸能裁出符合条件的长方形吗？若能，计算出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 《实数》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）在实数，﹣（﹣3.14），11π，0.010010001…，，（﹣3）2中，无理数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据无理数的定义分析已知数据即可判定选择项． 【解答】解：，﹣（﹣3.14），是分数，属于有理数； （﹣3）2＝9，是整数，属于有理数； 无理数有11π、0.010010001…、，共3个， 故选：D． 2．（3分）下列各数中，比﹣小的数是（　　） A．﹣1 B． C． D．0 【分析】根据有理数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可． 【解答】解：﹣1＜﹣＜0＜， 最小的数是﹣1， 故选：A． 3．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D．＝0 【分析】根据实数的运算逐项计算即可得到答案． 【解答】解：A．＝＝3，故A不符合题意； B．×＝＝3，故B不符合题意； C．+＝2，故C不符合题意； D．+＝0，故D符合题意； 故选：D． 4．（3分）下列结论中，正确的是（　　） A．的平方根是±3 B． C． D．a2的算术平方根是a 【分析】根据平方根、算术平方根及立方根逐项计算即可． 【解答】解：，即3的平方根是，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； a2的算术平方根是|a|，而不是a，故D错误． 故选：C． 5．（3分）已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答． 【解答】解：由题意可得： ，|b﹣4|＝0， ∴a＝9，b＝4， ∴， ∴的平方根是． 故选：B． 6．（3分）下列说法正确的是（　　） A．﹣81的平方根是﹣9 B．平方根等于它本身的数是1和0 C．的平方根是±9 D．立方根等于它本身的数是±1和0 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【解答】解：A、﹣81没有平方根，原说法错误，故此选项不符合题意； B、平方根等于它本身的数是0，原说法错误，故此选项不符合题意； C、，9的平方根是±3，即的平方根是±3，原说法错误，故此选项不符合题意； D、立方根等于它本身的数是±1和0，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 7．（3分）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．3和 B．﹣3和 C．和3 D．﹣3和 【分析】本题考查了实数的相反数，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，化简各项数字后再判断求解即可． 【解答】解：A、∵， ∴3和不互为相反数，不符合题意； B、∵， ∴﹣3和不互为相反数，不符合题意； C、∵， ∴和3互为相反数，符合题意； D、∵， ∴﹣3和不互为相反数，不符合题意， 故选：C． 8．（3分）估计5﹣的值在（　　） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【分析】利用夹逼法估算的取值范围，即可得出的取值范围． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（3分）对于实数p，我们规定：用〈p〉表示不小于p的最小整数，例如：．现对72进行如下操作：．即对72只需进行3次操作后变为2．类似的：对121只需进行（　　）次操作后变为2． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据题目中的例子可以解答本题． 【解答】解：， ∴对121只需进行3次操作后变为2， 故选：B． 10．（3分）对实数m，n定义一种新运算，规定：f（m，n）＝mn+an﹣3（其中a为非零常数）；例如：f（1，2）＝1×2+a×2﹣3；已知f（2，3）＝9，给出下列结论：①a＝2；②若f（1，n）＝0，则n＝1；③若f（m，m）＝2m，则；④f（n，n）﹣2n有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据新定义运算法则，一元一次方程的解法，平方根的定义判断即可． 【解答】解：∵f（2，3）＝9， ∴2×3+3a﹣3＝9， 即3a＝6， 解得：a＝2，故①正确； 若f（1，n）＝0，f（1，n）＝1×n+2n﹣3＝0， 即3n＝3， 解得n＝1，故②正确； f（m，m）＝m2+2m﹣3＝2m， 即m2＝3， 解得：，故③错误； f（n，n）﹣2n＝n2+2n﹣3﹣2n＝n2﹣3， 当n＝0时，有最小值﹣3，故④错误． 故选：B． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算：＝ 　﹣1　． 【分析】先计算乘方和算术平方根，再计算加减． 【解答】解： ＝1﹣2 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 12．（3分）的立方根是　﹣　；的算术平方根是　　；的绝对值是　﹣2　． 【分析】直接利用立方根以及算术平方根、绝对值的性质分别分析得出答案． 【解答】解：的立方根是； ∴，2的算术平方根是； ∵， ∴的绝对值是． 故答案为：；2；． 13．（3分）若，，则a＝　3750　． 【分析】根据被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系，进行计算即可． 【解答】解：∵＝0.1554，＝15.54， ∴a＝3750． 故答案为：3750． 14．（3分）的平方根是 　±2　． 【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：由于＝4， 所以的平方根是＝±2， 故答案为：±2． 15．（3分）若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是 　9　． 【分析】根据平方根的性质“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”即可求出答案． 【解答】解：∵2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根， ∴2m﹣5+3m﹣15＝0， 解得：m＝4， ∴2m﹣5＝8﹣5＝3， 则这个数是9； 故答案为：9． 16．（3分）已知a，b，n均为正整数．若，，则满足条件的a的个数总比b的个数少 　2　个． 【分析】根据题意，可得n﹣1，n，n+1是三个连续的自然数，由此可得，根据自然数的乘方运算找出规律即可求解． 【解答】解：∵a，b，n均为正整数，， ∴n＞1，且n﹣1，n，n+1为三个连续的自然数， ∴， ∵02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，⋯⋯， ∴（n﹣1）2与n2之间的整数有（2n﹣2）个，n2与（n+1）2之间的整数有2n个， ∴2n﹣（2n﹣2）＝2， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个， 故答案为：2． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算：． 【分析】先算乘方，绝对值，立方根，算术平方根，再根据实数的混合运算法则即可求解． 【解答】解：原式＝ ＝． 18．（6分）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab++e2+的值． 【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d，ab及e的值，代入计算即可． 【解答】解：由题意可知：ab＝1，c+d＝0，e＝±，f＝64， ∴e2＝（±）2＝2，， ∴ab++e2+＝+0+2+4＝6． 19．（8分）一个正数b的两个平方根分别是2a﹣3与5﹣a， （1）求a和b的值． （2）求5a+b﹣3平方根． 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到2a﹣3+5﹣a＝0据此求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值即可； （2）根据（1）求出5a+b﹣3的值，再根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵一个正数b的两个平方根分别是2a﹣3与5﹣a， ∴2a﹣3+5﹣a＝0， ∴a＝﹣2， ∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7， ∴b＝（5﹣a）2＝72＝49； （2）由（1）得a＝﹣2，b＝49， ∴5a+b﹣3＝5×（﹣2）+49﹣3＝36， ∵36的平方根为±6， ∴5a+b﹣3的平方根为±6． 20．（8分）如图所示，已知OA＝OB，BC＝2． （1）说出数轴上点A所表示的数为 　﹣　； （2）比较点A所表示的数与﹣3.5的大小：　﹣＜﹣3.5　； （3）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【分析】（1）根据勾股定理即可求得OB的长度，从而得出OA的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解； （2）先比较两数的绝对值的平方值大小，然后再比较两数的大小，考虑到绝对值越大的负数，实际值越小，即可得出结果； （3）过表示数3的点D作数轴的垂线DF，取DE＝1，以O为圆心，OE为半径画弧与数轴相交于点，则点G就是表示的点． 【解答】解：（1）在Rt△OBC中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为； （2）∵，（﹣3.5）2＝12.25， 又∵13＞12.25， ∴； （3）如图，点G表示的数为． 21．（10分）（1）用“＞”“＜”或“＝”填空： 　＜　 　＜　 　＜　； （2）由上可知： ①＝　　，②＝　　，③＝　　； （3）计算：． 【分析】（1）根据实数比较大小的方法求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的性质求解即可； （3）根据（2）先去括号，然后根据实数的运算法则求解即可． 【解答】解：（1）∵1＜2＜3＜4， ∴， 故答案为：＜；＜；＜； （2）①；②；③； 故答案为：①；②；③； （3） ＝ ＝ ＝10﹣1 ＝9． 22．（10分）国庆手抄报展览即将开始．为制作出精美的国庆主题展览作品，小华想用一张面积为400cm2的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为300cm2的长方形卡纸，用于制作展览作品的背景． （1）请你帮小华设计一种可行的裁剪方案． （2）若设计长方形卡纸的长宽之比为5：3，小华能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸吗？若能，请你帮助小华设计裁剪方案；若不能，请说明理由． 【分析】（1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，进而得出答案； （2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案． 【解答】解：（1）设面积为400cm2的正方形纸片的边长为a cm， ∴a2＝400， ∴a＝±20， 又∵a＞0， ∴a＝20， 又∵要裁出的长方形面积为300cm2， ∴若以原正方形纸片的边长为长方形的长， 则长方形的宽为：300÷20＝15（cm）， ∴可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形； （2）∵长方形纸片的长宽之比为5：3， ∴设长方形纸片的长为5x cm，则宽为3x cm， ∴5x•3x＝300， ∴15x2＝300， ∴x2＝20， ∴x＝， 又∵x＞0， ∴， ∴长方形纸片的长为， 又∵， 即：， ∴小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 23．（12分）我们规定用（a，b）表示一个数对，给出如下定义：记：，，将（m，n）和（n，m）称为数对（a，b）的一对“开方对称数对”． 例：数对（8，25）的开方对称数对为（2，﹣5）和（﹣5，2） （1）数对（27，20）的开方对称数对为　　和　　； （2）若数对（x，6）的一个开方对称数对是，则x＝　　； （3）若数对（a，b）的一个开方对称数对是（﹣4，﹣5），求a+b的值． 【分析】（1）根据新定义运算解答即可求解； （2）根据新定义即可求解； （3）根据新定义，分两种情况解答即可求解． 【解答】解：（1）由题意得m＝＝3，n＝﹣＝﹣2， ∴数对（27，20）的开方对称数对为（3，﹣2）和（﹣2，3）， 故答案为：（3，﹣2），（﹣2，3）； （2）∵数对（x，6）的一个开方对称数对是， ∴x＝＝， 故答案为：； （3）数对（a，b）的一个开方对称数对是（﹣4，﹣5）， 当＝﹣4，＝﹣5时， 解得a＝﹣64，b＝25， ∴a+b＝﹣64+25＝﹣39； 当＝﹣5，＝﹣4时， 解得a＝﹣125，b＝16， ∴a+b＝﹣125+16＝﹣109； a+b的值为﹣39或﹣109． 24．（12分）（1）如图1，分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 　　cm． （2）如图2，小逸同学打算将一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一块面积为1350cm2的长方形，使该长方形的长和宽之比为3：2，你认为小逸能裁出符合条件的长方形吗？若能，计算出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【分析】（1）利用正方形的面积和算术平方根计算即可； （2）先求得正方形的边长，设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm，列得方程后解得x的值后分别求得长和宽后与正方形的边长比较即可． 【解答】解：（1）由题意得：大正方形的面积＝1+1＝2（cm2）， ∴大正方形的边长为， 故答案为：； （2）小逸不能裁出符合条件的长方形，理由如下： 设长方形的长，宽分别为3x cm，宽为2x cm， 由题意可得：3x•2x＝1350， 解得x＝15（负值舍去）， 所以3x＝3×15＝45， 由正方形木板的面积为1600cm2，得该正方形木板的边长为40cm， 因为45＞40， 所以小逸不能裁出符合条件的长方形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$