精品解析：2024-2025学年 苏科版九年级上册月考数学试卷 （10月份）

2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（　　） A. B. C D. 3. 在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中值（　　） A. 21 B. 12 C. 5 D. 4. 已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ） A. 或1 B. C. 1 D. 5 8. 定义符号含义为：当时；当时．如：，．则的最大值是（　　） A. B. C. 1 D. 0 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 10. 如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为________． 11. 二次函数，当时，的范围是___． 12. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，则经过________s后，飞机停止滑行． 13. 已知二次函数的图象经过点和，若，则的取值范围是__________. 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是________． 15. 当时，函数(a为常数，且a小于0)的图象在轴上方，则的取值范围为___________． 16. 已知二次函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线无公共点，则的取值范围是________． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知是关于的二次函数，求的值． 18. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 6 8 6 0 … （1）求二次函数的解析式； （2）求该函数图象与x轴的交点坐标． 19. 已知抛物线． （1）求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为，求值． 20. 抛物线经过，，三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 21. 已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）若将此抛物线绕其顶点旋转，直接写出旋转后抛物线的表达式为　　　． 22. 掷实心球是宝鸡市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x函数表达式； （2）根据宝鸡市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点水平距离大于等于时，得分为满分10分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分． 23. 近年来，成都体育事业得到了迅速发展，已有更多的市民参与到体育锻炼中来．某体育用品商店准备销售一种篮球，这种篮球的进价为元个，若以元售出（规定每个篮球的售价不低于进价），每月能售出个．经调查发现，这种篮球的售价每上涨元，其月销售量就将减少个．设每个篮球的售价为元，每月的销售量为个． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设销售这种篮球每月的总利润为（元），如果该商店这种篮球每月的销量不低于个，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（乙），动点P运动到什么位置时，P到距离的最大，求出此时P到距离的最大值及此时点P的坐标． 25. 已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）． （1）求抛物线的对称轴及点的坐标； （2）当时，有最大值为14，求抛物线的解析式； （3）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． （1）求k的值及抛物线的解析式． （2）如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； （3）如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 27. 图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． （1）______，______，补全函数图象； （2）求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； （3）连接，交于点，求平分时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，一般地，形如的函数（是常数，），叫做二次函数． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，故本选项不符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线形状、开口方向，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据抛物线形状、开口方向得到，根据顶点为即可得出解析式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∵抛物线顶点为， ∴抛物线解析式为，． 故选：B． 3. 在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A. 21 B. 12 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题关键．由表格可知，二次函数对称轴为直线，进而得到与的值相同，即可求出的值． 【详解】解：由表格可知，二次函数对称轴为直线， 与是关于对称轴的对称点，值相同， ， 故选：C． 4. 已知是二次函数图像上的三个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴； 故选：D． 5. 已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点的纵坐标求出m的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线的最低点的纵坐标为， ∴， 即 ∴， 当m=1时，抛物线为． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握抛物线的顶点坐标为． 6. 在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致，还要判断两个函数与x轴是否有公共点． 【详解】解：A、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，，得，由直线可知，，但一次函数的图象与x轴的交点为，二次函数的图象与x轴的交点为原点和点，两个图象交x轴同一点，C不可能，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，且一次函数的图象与x轴的交点为，二次函数的图象与x轴的交点为原点和点，两个图象交x轴同一点，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来判定这种数形结合题是一种很好的方法，解题的关键是一定要看这两个图像是否有交点． 7. 已知抛物线的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ） A. 或1 B. C. 1 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】，由对称轴在y轴左侧可得，即，由题意知，平移后的抛物线解析式为，将代入得，计算求出满足要求的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 由题意知，平移后的抛物线解析式为， 将代入得，整理得，， 解得或（舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8. 定义符号含义为：当时；当时．如：，．则最大值是（　　） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示，设它们交于点A、B， 令，即，解得：或， ∴A（，），B（，）， 观察图象可知： ①当时，，函数值随x的增大而增大，其最大值为； ②当时，，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于； ③当时，，函数值随x的增大而减小，最大值为． 综上所述，的最大值是． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义和掌握函数的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 10. 如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的对称轴是，设的另一根为x，利用二次函数的对称性即可求出x． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， 设的另一根为x， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 11. 二次函数，当时，的范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数解析式求出对称轴和开口方向，可知抛物线在对称轴处有最小值，再求出端点处的函数值即可得出最后结果． 【详解】解：二次函数的对称轴为，开口方向向上， 当时，函数有最小值， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 12. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，则经过________s后，飞机停止滑行． 【答案】25 【解析】 【分析】要求飞机从滑行到停止的路程，即求出函数取最大值时，t的值即可，因此将函数化为顶点式即可． 【详解】解： 所以当t=25时，该函数有最大值625 即第25秒时，飞机滑行最大距离625m停下来， 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键． 13. 已知二次函数的图象经过点和，若，则的取值范围是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，即可求出的取值范围，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数， 图象的开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 点关于对称轴的对称点为， ， 或， 故答案为：或． 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是________． 【答案】-1＜x＜2 【解析】 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（2，q）两点， 观察函数图象可知：当-1＜x＜2时，抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n的上方， ∴不等式ax2+c＞mx+n的解集为-1＜x＜2， 即不等式ax2-mx+c＞n的解集是-1＜x＜2． 故答案为：-1＜x＜2． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 15. 当时，函数(a为常数，且a小于0)的图象在轴上方，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，解题的关键是能够求出时y的最小值．先求出二次函数图象的对称轴，再先求出y的最小值，令最小值大于0即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为：． ∵， ∴抛物线开口向下， 又，， 时，y取最小值，最小值为：， 图象在轴上方， ， 解得， ； 故答案为：． 16. 已知二次函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线无公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，，可求出它函数图象与轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若新图象与直线无公共点，根据图象可得答案． 【详解】解： ∵函数与轴有两个交点， 解得， 当取最小整数时，， ∴抛物线为， 将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象， 所以新图象的解析式为：． 因为的，所以它的图象从左到右是上升的， 当与相切时， 即， 解得：， 此时，，故不符合题意； 当它过时，把代入， 得， 所以， 当它与新图象无交点时，由图象可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（，，为常数，）的函数叫做二次函数，据此求解即可；根据x的指数，且系数求解即可. 【详解】解：依题意， 解得： 又 ∴ 18. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 6 8 6 0 … （1）求二次函数的解析式； （2）求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及抛物线与轴的交点；求出二次函数的解析式是解决问题的关键． （1）由表格中的数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）求出时的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，当 ∴得． 将点，代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 该函数图象与轴的交点坐标，． 19. 已知抛物线． （1）求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为，求值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明判别式即可判断； （2）把代入即可求得的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； 【小问2详解】 把代入抛物线得：， 解得：． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及抛物线与轴的交点，当时，函数图像与轴有个交点，当时函数图像与轴只有个交点,即顶点在轴上，当时函数图像与轴没有交点． 20. 抛物线经过，，三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 【答案】（1） （2），顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法． （1）把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． （2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可． 【小问1详解】 解：将，，代入抛物线中得： ， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵ ， ∴顶点坐标为． 21. 已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）若将此抛物线绕其顶点旋转，直接写出旋转后抛物线的表达式为　　　． 【答案】（1），顶点坐标 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质， （1）把点代入得到关于的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标； （2）根据顶点旋转可直接得出答案． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线，绕其顶点旋转， 则开口朝下形状不变，顶点为，得出， 故答案为． 22. 掷实心球是宝鸡市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据宝鸡市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分10分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分． 【答案】（1） （2）该男生在此项考试中得满分，计算见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数以及二次函数与轴的交点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （）根据待定系数法求解即可； （）令，即，解得，比较即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点为 设函数表达式为， ∵抛物线过点 ∴， 解得， ∴y关于x的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：令，即 解得，不合题意，舍去， ∵， ∴该男生在此项考试中得满分． 23. 近年来，成都体育事业得到了迅速发展，已有更多的市民参与到体育锻炼中来．某体育用品商店准备销售一种篮球，这种篮球的进价为元个，若以元售出（规定每个篮球的售价不低于进价），每月能售出个．经调查发现，这种篮球的售价每上涨元，其月销售量就将减少个．设每个篮球的售价为元，每月的销售量为个． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设销售这种篮球每月的总利润为（元），如果该商店这种篮球每月的销量不低于个，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价定为元可获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，利润售价进价的运用，二次函数的解析式的性质的运用，二次函数的最值的运用． （1）根据销量与进价的关系就可以求出结论； （2）根据销售问题的数量关系表示出与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质就可以求出结论． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， 当时，随的增大而增大， 这种篮球每月的销量不低于个， ， ， 当时，（元）， 答：销售单价定为元可获得最大利润，最大利润是元． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（乙），动点P运动到什么位置时，P到距离的最大，求出此时P到距离的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）P到的最大距离为， 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由图可知，不可能是直角，分当和是斜边，根据勾股定理列出等式即可求解； （3）由，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于两点， 设抛物线的表达式为：， 又， ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：存在，理由： 由抛物线的表达式可知，点， 设点， 则，， 当是斜边时， 则， 解得：或4， 即点或（舍去）， 当是斜边时， 同理可得：， 解得：， 即点， 综上，点或； 【小问3详解】 解：如图，过点P作轴交于点H 设直线的表达式为：， ，， ，解得： 则直线的表达式为：， ， 故当时，的最大值为8，此时，点，此时P到距离,最大，设P到距离为h， ，， ∴， ∴， ∴，即P到的最大距离为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，求解二次函数解析式，勾股定理，涉及到面积的计算、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键． 25. 已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）． （1）求抛物线的对称轴及点的坐标； （2）当时，有最大值为14，求抛物线的解析式； （3）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）抛物线的解析式为 （3）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）根据求得抛物线的对称轴为，令即可解得的坐标； （2）根据抛物线对称轴为可得当时，随的增大而增大，可得当时，取得最大值14，代入抛物线解析式可得，从而可得； （3）由（1）可知抛物线与轴交于点，可得点在抛物线内侧，根据线段与抛物线只有一个公共交点，可知点在抛物线上或者在抛物线下方，将代入可得，当点的纵坐标小于等于时可满足与抛物线只有一个公共交点，即，解得． 【小问1详解】 解： 对称轴为直线 令 即 ， 【小问2详解】 解：抛物线（）的开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大 当时，取得最大值14 把，代入，得 抛物线的解析式为： 【小问3详解】 解： 由（1）可知抛物线与轴交于点 故点在抛物线内侧 线段与抛物线只有一个交点 点在抛物线上或者在抛物线下方 将代入，得： 当点的纵坐标小于等于时，与抛物线只有一个交点，即 解得： 的取值范围是 【点睛】本题考查求二次函数对称轴，与轴的交点坐标，抛物线上的点的坐标，以及根据图形求所含参数的取值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和数形结合思想的运用． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． （1）求k的值及抛物线的解析式． （2）如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； （3）如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）连接，过点作轴的对称点，角度推导得到，设直线表达式为：，代入得：，解得：，则，设直线表达式为：，求得直线表达式为： ，联立直线表达式和抛物线表达式，得：求解即可； （3）根据题意需要分两种情况，当时，当时，一种是发现，另一种过点作轴于点，得到为等腰直角三角形，则，建立方程，分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将，点的坐标，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：连接，过点作轴的对称点， 对于，当，则， 解得：或， ∴， 则， 由对称得：， 当，， ∴，而由知， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴， 设直线表达式：，代入得：， 解得：， ∴, ∴设直线表达式为：， 代入得：， 解得：， ∴直线表达式为： ， 联立直线表达式和抛物线表达式，得：， 解得：或（舍）， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，过点作轴于点， 由上知， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则, 则，， ∴， 解得：或； 当时，则 令， 解得：或（舍） 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 27. 图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． （1）______，______，补全函数图象； （2）求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； （3）连接，交于点，求平分时的值． 【答案】（1）；；补全函数图象见解析 （2） （3） 平分 时 的值为 【解析】 【分析】（1）根据当时，从点正好运动到点，即可求出运动速度，根据当时，，求出的长，然后用，即可算出的长，根据时，，补全图象即可； （2）分或两种情况下，使的面积为的值不小于的的取值范围，即可求出结果； （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知条件写出、、、的坐标，根据点为的中点，写出点的坐标，求出用表示的的函数关系式，把点的坐标代入，解关于的方程即可得出的值． 【小问1详解】 解：图是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， 点运动的速度， 当时，， 即， ， ， ； 当时，， 当时，从运动到点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：；；补全图象见解析． 【小问2详解】 当时，，， ，即， 整理得， 解得：， ， ； 当时，， ，即， 解得：， ； 综上分析可知，当时，的面积为的值不小于． 【小问3详解】 以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 平分， 点为的中点， 点的坐标为：， 设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，（舍去）， 即平分时的值是． 【点睛】本题主要考查了动点问题，一次函数关系式，二次函数关系式，解不等式，以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，用函数的思想解决问题（3），是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$