第一章 直角三角形的边角关系（单元重点综合测试卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（山东专用）

九年级第一章《直角三角形的边角关系》单元检测 （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（　　） A．15° B．45° C．30° D．60° 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝1，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 4．观测员从海面上的一艘小船上（小船和观测员高度忽略不计）观察前方高出海平面150米的一座山崖顶端，测得仰角为60°，则小船和山崖之间的水平距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．300米 5．在锐角△ABC中，，则∠A＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 6．8．如图，某汽车车门的底边长为0.95m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是（　　）m． A．0.95 B．0.95sin72° C．0.95cos72° D．0.95tan72° 7．如图，河堤的横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝6m，则坡面AB的长度是（　　） A．10m B． C． D． 8．如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC等于（　　） A． B． C． D． 9．如图：∠C＝90°，∠DBC＝30°，AB＝BD，利用此图可求得tan75°的值是（　　） A．2﹣ B．2+ C．﹣2 D．+1 10．位于深圳市罗湖区的梧桐山公园自西南向东北渐次崛起，分布着小梧桐、豆腐头、大梧桐三大主峰．从远处观看，山中最为瞩目的当属小梧桐电视塔．登临小梧桐山顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰深圳关内外壮丽美景．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知电视塔AB位于坡度i＝：1的斜坡BC上，测量员从斜坡底端C处往前沿水平方向走了120m达到地面D处，此时测得电视塔AB顶端A的仰角为37°，电视塔底端B的仰角为30°，已知A、B、C、D在同一平面内，则该塔AB的高度为（　　）m．（结果保留整数，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73） A．24 B．31 C．60 D．136 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝13，BC＝5，则sinA＝　 　． 12．已知α为锐角，且，则α等于　 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B坐标为（4，3），则tan∠AOB的值为　 　． 14．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则tan∠BAD的值为 　 　． 15．如图，是一座建筑物的截面图，高BC＝8m，坡面AB的坡度为，则斜坡AB的长度为 　 　． 16．如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行 　 　海里就开始有触礁的危险． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算：sin230°﹣2cos30°•tan60°•sin245°． 18．计算：． 19．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°且AB＝20cm，求边AC的长度． 20．若（tanA﹣）2+（tanB﹣）2＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，试确定三角形的形状． 21．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，1.732） 22．宝轮寺塔，为供奉舍利由尼姑道秀主持建筑，始建于隋文帝仁寿元 年（601年），故又称仁寿建塔，位于河南省三门峡市陕州风景区．数学活动小组欲测量宝轮寺塔DE的高度，如图，在A处测得宝轮寺塔塔基C的仰角为15°，沿水平地面前进23米到达B处，测得宝轮寺塔塔顶E的仰角∠EBD为53°，测得塔基C的仰角∠CBD为30°（图中各点均在同一平面内）． （1）求宝轮寺塔DE的高度； （2）实际测量时会存在误差，请提出一条减小误差的合理化建议． （结果精确到0.1米，参考数据： 23．小山顶建造的风力发电机的主塔AB的高为120米，在山脚C测得塔顶A的仰角∠ACD＝53°，山坡BC的坡比为1：3，求小山的高度．（精确到1米，参考数据：，， 24．如图，四边形ABCD是一个环湖公园的步行道，AB＝AD＝4km，B在A正东方；C在D正东方，D在A的东北方，C在B北偏东60°方向． （1）求BC的长度（结果保留根号）； （2）小王和小张同时从A出发，小王沿A→D→C方向跑，小张沿A→B→C方向跑，若两人速度相同，问谁先到达终点C？（参考数据：，） 25．如图，某兴趣小组测量一棵树AB的高度，在这棵树的两侧有同样规格的测角仪CD和EF，从C处测得树顶端A的仰角为48°，从E处测得树顶端A的仰角为59°，测得DF＝24米，已知CD，AB，EF在同一平面且同时垂直于水平地面DF，测角仪高度为1.5米，求树AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 26．观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题 在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即，同理有：， 所以． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素． 根据上述材料，完成下列各题． （1）如图（2），△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝　 　；AC＝　 　； （2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，） ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级第一章《直角三角形的边角关系》单元检测 （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴tanA＝＝， 故选：C． 【点评】本题考查正切的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（　　） A．15° B．45° C．30° D．60° 【分析】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵tanB＝＝＝， ∴∠B＝60°， 故选：D． 【点评】考查直角三角形的边角关系，特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝1，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴． 故选：A． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，关键是掌握正弦定义． 4．观测员从海面上的一艘小船上（小船和观测员高度忽略不计）观察前方高出海平面150米的一座山崖顶端，测得仰角为60°，则小船和山崖之间的水平距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．300米 【分析】由已知条件即可得出∠B＝60°，AC＝150米，则，代入计算即可． 【解答】解：根据题意如图： 则∠B＝60°，AC＝150米， ∴（米）， ∴小船和山崖之间的水平距离为米， 故选：C． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是构造直角三角形解决问题． 5．在锐角△ABC中，，则∠A＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质结合特殊角的三角函数值得出∠C＝60°，∠B＝45°，进而得出答案． 【解答】解：∵， ∴tanC＝，sinB＝， ∴∠C＝60°，∠B＝45°， ∴∠A＝75°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 6．如图，某汽车车门的底边长为0.95m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是（　　）m． A．0.95 B．0.95sin72° C．0.95cos72° D．0.95tan72° 【分析】过点N作NH⊥OM于点H，则NH为最大距离，根据三角函数作答即可． 【解答】解：过点N作NH⊥OM于点H，则NH为最大距离， 在Rt△OMN中， ON＝0.95m，∠NOH＝72°， ∴NH＝ON•sin∠NOH＝0.95sin72°， 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 7．如图，河堤的横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝6m，则坡面AB的长度是（　　） A．10m B． C． D． 【分析】根据坡度的定义求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可． 【解答】解：∵迎水坡AB的坡度， ∴， ∴（米）， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，（米）， 故选：C． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键． 8．如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC等于（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理求出三角形三边长，再利用勾股定理逆定理判定三角形ABC是直角三角形，最后根据三角函数定义即可求解． 【解答】解：∵小正方形的边长均为1， ∴AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴sin∠ABC＝＝． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握两个定理． 9．如图：∠C＝90°，∠DBC＝30°，AB＝BD，利用此图可求得tan75°的值是（　　） A．2﹣ B．2+ C．﹣2 D．+1 【分析】根据等腰三角形的性质得∠A＝∠ADB，再利用三角形外角性质可计算出∠A＝15°，则∠ADC＝75°，设CD＝a，在Rt△BCD中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BD＝2a，BC＝a，则AC＝（2+）a，然后在Rt△ACD中利用正切的定义求解． 【解答】解：∵AB＝BD， ∴∠A＝∠ADB， ∵∠DBC＝∠A+∠ADB＝30°， ∴∠A＝15°， ∴∠ADC＝75°， 设CD＝a， 在Rt△BCD中， ∵∠DBC＝30°， ∴BD＝2a，BC＝a， ∴AC＝AB+BC＝BD+BC＝2a+a＝（2+）a， 在Rt△ACD中，tan∠ADC＝tan75°＝＝＝2+． 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 10．位于深圳市罗湖区的梧桐山公园自西南向东北渐次崛起，分布着小梧桐、豆腐头、大梧桐三大主峰．从远处观看，山中最为瞩目的当属小梧桐电视塔．登临小梧桐山顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰深圳关内外壮丽美景．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知电视塔AB位于坡度i＝：1的斜坡BC上，测量员从斜坡底端C处往前沿水平方向走了120m达到地面D处，此时测得电视塔AB顶端A的仰角为37°，电视塔底端B的仰角为30°，已知A、B、C、D在同一平面内，则该塔AB的高度为（　　）m．（结果保留整数，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73） A．24 B．31 C．60 D．136 【分析】设AB⊥DC于E，设CE＝x m，则BE＝x m，根据DC＝120m可先列出方程求出x的值，从而得出BE，DE的长，在Rt△ADE中可求出AE的长，从而由AB＝AE﹣BE可得到结论． 【解答】解：如图，设AB⊥DC于E， 设CE＝x m，则BE＝x m， 在Rt△BDE中，∠BDE＝30°， ∴ m， ∴DC＝DE﹣CE＝3x﹣x＝120， ∴x＝60， ∴m，DE＝180m， 在Rt△ADE中，AE＝DE•tan37°≈180×0.75＝135（m）， ∴（m）， 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题等知识，关键是根据已知条件在合适的直角三角形中通过解直角三角形求解． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝13，BC＝5，则sinA＝　　． 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝13，BC＝5， ∴sinA＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 12．已知α为锐角，且，则α等于　55°　． 【分析】根据求解即可． 【解答】解：∵，， ∴α﹣10°＝45°， 解得α＝55°， 故答案为：55°． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，关键是熟记特特殊角的三角函数值． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B坐标为（4，3），则tan∠AOB的值为　　． 【分析】过B作x轴的垂线，交x轴于C，在Rt△BOC中求值即可． 【解答】解：过B作x轴的垂线，交x轴于C， ∵点B坐标为（4，3）， ∴tan∠AOB＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，关键是作出直角三角形． 14．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则tan∠BAD的值为 　　． 【分析】先利用等面积法求出AD，在△ABD中，再利用勾股定理求出BD，利用正切的定义求出tan∠BAD即可． 【解答】解：如图，连接AC， 在Rt△BEC中，BC＝＝5， ∵AD⊥BC， ∴BC×AD＝4×4﹣×4×3﹣×4×1， 即×5×AD＝8， 解得AD＝， 在Rt△ADB中，BD＝＝， ∴tan∠BAD＝＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用． 15．如图，是一座建筑物的截面图，高BC＝8m，坡面AB的坡度为，则斜坡AB的长度为 　16m　． 【分析】根据坡度求得∠A＝30°，解Rt△ABC，即可求解． 【解答】解：依题意，， ∴∠A＝30°． 在Rt△ABC中，BC＝8m， ∴． 故答案为：16m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，求得是∠A＝30°解题的关键． 16．如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行 　4.5　海里就开始有触礁的危险． 【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可． 【解答】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可， 如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离， ∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°， ∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠BAD， ∴BD＝AD＝12海里， ∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°， ∴CD＝AD＝6海里， 由勾股定理得：AC＝＝6（海里）， 如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险， 在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52． 解得x＝4.5． 渔船还需航行4.5海里就开始有触礁的危险． 故答案为：4.5． 【点评】考查了勾股定理的应用和解直角三角形，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 三、解答题（本大题共10小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算：sin230°﹣2cos30°•tan60°•sin245°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算得到答案． 【解答】解：sin230°﹣2cos30°•tan60°•sin245° ＝（）2﹣2×××（）2 ＝﹣ ＝﹣． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 18．计算：． 【分析】首先根据绝对值的性质、负整数指数幂运算法则、零指数幂运算法则、特殊角的三角形函数值进行运算，然后相加减即可． 【解答】解：|2﹣|+2﹣2﹣（）0+tan60° ＝ ＝． 【点评】本题主要考查了绝对值、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角形函数值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 19．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°且AB＝20cm，求边AC的长度． 【分析】先根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半求出BC的长，再根据勾股定理求出AC的长即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝20（cm）， ∴BC＝AB＝10（cm）， 由勾股定理得AC＝＝＝10（cm）． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知：直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20．若（tanA﹣）2+（tanB﹣）2＝0，∠A，∠B为△ABC的内角，试确定三角形的形状． 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：由，得，则， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90度． ∴△ABC为直角三角形． 【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 【相关链接】非负数的性质（之一）：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1+a2+…+an＝0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0． 21．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，1.732） 【分析】延长AD交EF于点G，设EG＝x，证明四边形ABFG是矩形，∠AGE＝90°，得到∠AEG＝∠EAG＝45°，得到AG＝EG＝x，得到DG＝x﹣7，根据∠EDG＝60°，得到，求得，根据GF＝1.68，即得故旗杆EF的高度约18.2m． 【解答】解：延长AD交EF于点G，设EG＝x， 由题意可知：AG⊥EF， ∴∠B＝∠F＝∠AGF＝90°， ∴四边形ABFG是矩形， ∵∠EAG＝45°， ∴∠AEG＝90°﹣∠EAG＝45°， ∴AG＝EG＝x， ∵AD＝7， ∴DG＝x﹣7， ∵∠EDG＝60°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵GF＝AB＝1.68， ∴EF＝EG+GF ＝ ＝16.562+1.68 ＝18.242 ≈18.2． 故旗杆高度约18.2m． 【点评】本题主要考查了解直角三角形应用——仰角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形是解决问题的关键． 22．宝轮寺塔，为供奉舍利由尼姑道秀主持建筑，始建于隋文帝仁寿元 年（601年），故又称仁寿建塔，位于河南省三门峡市陕州风景区．数学活动小组欲测量宝轮寺塔DE的高度，如图，在A处测得宝轮寺塔塔基C的仰角为15°，沿水平地面前进23米到达B处，测得宝轮寺塔塔顶E的仰角∠EBD为53°，测得塔基C的仰角∠CBD为30°（图中各点均在同一平面内）． （1）求宝轮寺塔DE的高度； （2）实际测量时会存在误差，请提出一条减小误差的合理化建议． （结果精确到0.1米，参考数据： 【分析】（1）由∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，可知BC＝BC，可求出BD的长度，然后利用锐角三角函数的定义可求出DE的长度． （2）在测量数据时，通过多次测量取其平均值即可． 【解答】解：∵∠CAD＝15°，∠CBD＝30°， ∴∠BCA＝15°， ∴BC＝BA＝23（米）， 在Rt△CBD中， ∴CD＝BC， ∴BC＝（米）， 由勾股定理可知：BD＝（米）， 在Rt△BDE中，tan∠DBE＝， ∴ED＝BD•tan53°≈×≈26.5（米）， 答：宝轮寺塔DE的高度26.5米． （2）通过多次测量取其平均值，即可减少误差． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 23．小山顶建造的风力发电机的主塔AB的高为120米，在山脚C测得塔顶A的仰角∠ACD＝53°，山坡BC的坡比为1：3，求小山的高度．（精确到1米，参考数据：，， 【分析】延长AB与CD相交于点E，根据题意可得：AE⊥CE，然后根据已知可设BE＝x米，则CE＝3x米，则AE＝（120+x）米，然后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：延长AB与CD相交于点E， 由题意得：AE⊥CE， ∵山坡BC的坡比为1：3， ∴＝， ∴设BE＝x米，则CE＝3x米， ∵AB＝120米， ∴AE＝AB+BE＝（120+x）米， 在Rt△ACE中，∠ACE＝53°， ∴tan53°＝＝≈， 解得：x＝40， ∴BE＝40米， ∴小山的高度约为40米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24．如图，四边形ABCD是一个环湖公园的步行道，AB＝AD＝4km，B在A正东方；C在D正东方，D在A的东北方，C在B北偏东60°方向． （1）求BC的长度（结果保留根号）； （2）小王和小张同时从A出发，小王沿A→D→C方向跑，小张沿A→B→C方向跑，若两人速度相同，问谁先到达终点C？（参考数据：，） 【分析】（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，根据题意可得：DC∥AB，从而可得DE＝CF，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出CF的长，再在Rt△BCF中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出BC的长，即可解答； （2）根据题意可得：DC＝EF，在Rt△BCF中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出BF的长，再在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F， 由题意得：DC∥AB， ∴DE＝CF， 在Rt△AED中，AD＝4km，∠DAE＝90°﹣45°＝45°， ∴km， ∴km， 在Rt△BCF中，∠CBF＝90°﹣60°＝30°， ∴km， ∴BC的长度为km； （2）小张先到达终点C， 理由：由题意得：DC＝EF， 在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，km， ∴ km， 在Rt△AED中，AD＝4km，∠DAE＝45°， ∴ km， ∴ km， ∴小王跑的路程＝km， 小张跑的路程＝km， ∵两人速度相同， ∴小张先到达终点C． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线间的距离，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25．如图，某兴趣小组测量一棵树AB的高度，在这棵树的两侧有同样规格的测角仪CD和EF，从C处测得树顶端A的仰角为48°，从E处测得树顶端A的仰角为59°，测得DF＝24米，已知CD，AB，EF在同一平面且同时垂直于水平地面DF，测角仪高度为1.5米，求树AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60） 【分析】连接CE交AB于点G，由题意可知CE⊥AB，CE＝DF，BG＝CD，设AG＝x米，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出CG，在Rt△AEG中，利用锐角三角函数定义求出EG，然后列出关于x的方程，进而可得出答案． 【解答】解：如图，连接CE交AB于点G， 由题意可知CE⊥AB，CE＝DF，BG＝CD， 设AG＝x米， 在Rt△ACG中，∠CAG＝90°﹣∠ACG＝42°， ∴CG＝tan∠CAG•AG＝tan42°x≈0.90x（米）， 在Rt△AEG中，∠EAG＝90°﹣∠AEG＝31°， ∴EG＝tan∠EAG•AG＝tan31°x≈0.60x（米）， ∴DF＝CE＝CG+EG＝0.90x+0.60x＝24， 解得x＝16，即AG＝16米， ∴AB＝AG+BG＝16+1.5＝17.5（米）． 答：树AB的高度为17.5米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 26．观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题 在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即，同理有：， 所以． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素． 根据上述材料，完成下列各题． （1）如图（2），△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝　60°　；AC＝　20　； （2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，） 【分析】（1）利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可； （2）在△ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理求AC的长即可． 【解答】解：（1）由正弦定理得：∠A＝60°，AC＝20； 故答案为：60°，20； （2）如图，依题意：BC＝40×0.5＝20（海里） ∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE＝180°． ∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°． ∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°． ∴∠A＝45°． 在△ABC中，， 即， 解之得：AB＝10≈24.49海里． 所以渔政204船距钓鱼岛A的距离约为24.49海里． 【点评】本题考查了方向角的知识，更重要的是考查了同学们的阅读理解能力，通过材料总结出学生们没有接触的知识，并根据此知识点解决相关的问题，是近几年中考的高频考点． ( 19 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$