精品解析：安徽省六安市叶集皖西当代中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

绝密★启用前 叶集皖西当代中学高三年级10月月考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则满足集合的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 已知函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知的内角的对边分别是，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C D. 7. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 85 D. 120 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 成等差数列，且公差为 10. 已知函数，曲线关于点中心对称，则（ ） A. 将该函数向左平移个单位得到一个奇函数 B. 在上单调递增 C. 在上只有一个极值点 D. 曲线关于直线对称 11. 已知函数和图象与直线交点的横坐标分别为，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过原点作曲线的切线，则切线的方程为___________. 13. 已知是第二象限角，，则__________. 14. 已知函数，数列是公差为2的等差数列，若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知公比小于1的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数（且）是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）若，求的取值范围. 17. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． 问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，___，求A和B． 注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分． 18. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，，求的最小值. 19. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围； （3）证明：对任意正整数，不等式都成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 叶集皖西当代中学高三年级10月月考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则满足的集合的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，结合可得，进而结合子集的定义求解即可. 【详解】因为， 若，则， 所以满足的集合的个数为. 故选：B. 2. 已知函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助导数公式计算即可得. 【详解】，则，解得. 故选：D. 3. 已知的内角的对边分别是，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由结合余弦定理求出，求出​为钝角，充分性得证，再举出反例推出必要性不成立. 【详解】​，由余弦定理得：， 即​为钝角，故充分性成立， 若钝角三角形中​为钝角，则​为锐角， ​，即有​，故必要性不成立. 故选：A. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数在时单调性以及最值情况，结合函数奇偶性，即可额判断出答案. 【详解】当时，，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 故当时，函数取得极大值也是最大值； 又定义域为，满足， 故函数为偶函数， 结合选项可知，只有A中图象符合题意， 故选：A 5. 如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，，是等边三角形，， 在中，，由余弦定理， ， 所以． 故选：C. 6. 设，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，，利用导数证明，可得，再根据三角函数定义可得，得解. 【详解】，， 令，，则， 所以函数在上单调递减， ，即，则， ，， 又，，即， . 故选：C. 7. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将函数的零点个数转化为方程和根的个数，然后再转化为函数与，图象交点个数，最后结合图象判断即可. 【详解】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 8. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 85 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列的公比为，分2种情况讨论、，结合等比数列前 项和公式分析可得，，计算即可得答案. 【详解】根据题意，设等比数列的公比为， 若，则， 则有 ，变形可得，则， 又由，则有， 所以. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列前项和为，则（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列中最小项为 D. 成等差数列，且公差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可求得，可判断A正确，再由可知B正确，利用前项和的表达式以及二次函数性质可得C错误，再由前项和性质可得D正确. 【详解】设等差数列的首项为，公差为； 由可得，解得， 由等差数列性质可得当时，数列是递增数列，即A正确； 依题意可得， 所以，因此可得，即B正确； 由，由二次函数性质以及可得， 当时，，所以C错误； 易知，则， 因此， 即可得，也即， 同理可得， 即， 因此成等差数列，且公差为，即D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，曲线关于点中心对称，则（ ） A. 将该函数向左平移个单位得到一个奇函数 B. 在上单调递增 C. 在上只有一个极值点 D. 曲线关于直线对称 【答案】BC 【解析】 【分析】因为函数关于点中心对称可得，从而得到， 根据三角函数的图象平移规律可判断A；根据的范围得到，再由正弦函数的单调性可判断B；求出的单调区间可判断C，求出代入可判断D. 【详解】因为函数关于点中心对称， 所以，， 所以，而，所以， ， 对于A，将该函数向左平移个单位得到，因为，，所以为偶函数，故A错误； 对于B， 因为，所以， 因为在在上单调递增，所以在上单调递增， 故B正确； 对于C， 由得的单调递增区间为， 由得的单调递减区间为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处有一个极值点，故C正确； 对于D， 曲线， 时，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数和互为反函数，确定关系，可判断AB，结合二次函数性质判断CD． 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，， 因此，所以有： ， ， 正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过原点作曲线的切线，则切线的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 求导得到设切点为，根据切线过原点，由求解. 【详解】因为 所以 设切点为， 因为切线过原点， 所以， 解得， 所以， 所以切线方程是， 故答案为： 【点睛】本题在考查导数的几何意义，属于基础题. 13. 已知是第二象限角，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知条件求出，再利用结合诱导公式和倍角公式即可求解. 【详解】由是第二象限角，，则也在第二象限， 因此可得， 又， 则. 故答案为：. 14. 已知函数，数列是公差为2的等差数列，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则有，由的奇偶性和单调性分析可得的奇偶性和单调性，结合是公差为2的等差数列，可求出，进而可求. 【详解】由，知为偶函数， 当时，知在单调递增且， 设，则为奇函数且在单调递增，结合奇函数的对称性可得在单调递增， 由题得，又是等差数列，可得， 当时，，，， 同理，即，不合题意， 当时，同理可得，也不合题意， 所以，又公差为2，可得，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 掌握有公共定义域的奇偶函数通过简单的加减乘除以后形成新函数的奇偶性；掌握有公共定义域的单调函数通过简单的加减乘除以后形成新函数的单调性；掌握奇函数单调性比较大小的特点，若奇函数是增函数，则有. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知公比小于1的等比数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式基本量运算求解； （2）求出通项，利用裂项相消法求和得解. 【小问1详解】 设数列的公比为q，则由已知得， 解得或，又，， 【小问2详解】 ，， ， . 16. 已知函数（且）是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）3；；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先根据函数是奇函数建立方程，解得，再逐步判断求函数的值域； （2）先根据函数是奇函数，得到，再根据函数是增函数，得到，最后结合且求实数的取值范围. 【详解】解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 所以函数的解析式：，（）， 则， 故函数的值域是. （2）因为函数的解析式，（），所以 所以函数是定义在上的增函数. 因为，所以， 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 因为函数是定义在上的增函数，所以， 解得或，又因为且 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查根据函数是奇函数求参数的值、求函数的值域、根据函数的单调性与奇偶性求参数的取值范围，是中档题. 17. ①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． 问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，___，求A和B． 注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分． 【答案】选择见解析；，或 【解析】 【分析】若选择条件①，先由正弦定理和余弦定理求出角A； 若选择条件②，利用正弦定理和二倍角公式解出的值，进而得出角A； 若选择条件③，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式可求出，进而得出角A． 再利用正弦定理化简，把代入，化简求值即可； 【详解】解析：选择条件①，由及正值定理知， 整理得，由余弦定理可得， ∵，∴； 由得， 即，整理得， ∵，∴，∴或，解得或. 选择条件②，因为，所以； 由得， 由正弦定理知，； 又，，可得； 又因为，所以，，故； 由得， 即，整理得， ∵，∴，∴或，解得或. 选择条件③，由及正弦定理得 ∵，∴，解得， ∵，∴； 由得， 即，整理得， ∵，∴，∴或，解得或. 18. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，，求最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，可得，两式相减求得，得到数列为等比数列，进而求得数列的通项公式； （2）由，得到，结合乘公比错位相减法，即可得数列的前n项和. （3）由，得到，令，结合的单调性，求得的最大值，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，数列的前n项和为，且 当时，可得， 两式相减得，即，所以， 令，可得，解得， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由，可得， 则， 可得， 两式相减得， 所以. 即数列的前n项和. 【小问3详解】 解：由，即， 令，则， 当时，， 当时，，即，即有， 所以当时，取得最大值，最大值为，所以， 故的最小值为. 19. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，不等式都成立. 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）函数，对其进行求导，在处取得极值，可得，求得值； （2）关于的方程在区间，上恰有两个不同的实数根，将问题转化为，在区间，上恰有两个不同的实数根，对对进行求导，从而求出的范围； （3）的定义域为，利用导数研究其单调性，可以推出，令，可以得到 利用此不等式进行放缩证明； 【详解】解：（1）函数 当时，取得极值， 故解得，经检验符合题意． （2）由知 由，得 令， 则在区间，上恰有两个不同的实数根等价于 在区间，上恰有两个不同的实数根． ， 当，时，，于是在，上单调递增； 当，时，，于是在，上单调递减， 依题意有， ， 解得，； （3） 的定义域为，由（1）知 ， 令得，或（舍去）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 为在上的最大值． ，故（当且仅当时，等号成立） 对任意正整数，取得， 故． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，第三问难度比较大，利用了前两问的结论进行证明，此题是一道中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$