精品解析：山西省太原市晋源区两校2024-2025学年上学期期中测试九年级数学试卷

九年级数学上学期阶段综合测试 （满分120分，建议用时100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，依据定义即可判断求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、当时，方程为，是关于的一元一次方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理得，，没有未知数，不是关于的一元二次方程，不符合题意； 、方程是关于的一元一次方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理得，，是关于的一元二次方程，符合题意； 故选：． 2. 五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看第一层有两个小正方形，第二层右边有一个小正方形， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 3. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，解比例方程可求出EC，最后即可求出AC． 【详解】∵DE∥BC， ∴，即， 解得：EC＝2， ∴AC＝AE+EC＝4+2＝6； 故选C． 【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理及推论和比例的基本性质是解决此题的关键． 5. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 所以共4种情况：其中满足题意的有两种， 所以两次记录的数字之和为3的概率是 故选C． 【点睛】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键． 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. 36 B. 9 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，建立方程，再解方程即可． 【详解】解： 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得： 故选B 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系，解题的关键是掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7. 如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ） A. 位似中心是点 B. 位似中心是点 C. 位似比为 D. 位似比为 【答案】C 【解析】 【分析】由位似图形的定义“如果两个相似图形的每组对应顶点所在的直线都交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．两个位似图形中每组对应顶点所在的直线都交于一点，这个交点叫做位似中心．”可知位似中心在点，之间，根据两个三角形网格数可知相似比，即可得出结论 【详解】解：如图，连接、、， ∵在正方形网格中，与位似，点是的中点， ∴位似中心在点，之间，， ∴相似比为， ∴位似比为， A．位似中心是点，故此选项不符合题意； B．位似中心是点，故此选项不符合题意； C．位似比为，故此选项符合题意； D．位似比为，故此选项不符合题意． 故答案为：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．掌握位似图形的意义与位似比求法是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点、，轴于点C，轴于点D，交于点E．若，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据A、B两点的坐标求出，由得到，再由反比例函数的性质得到，由此求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵，，轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵反比例函数的图象经过点、， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正确推出是解题的关键． 9. 如图，在中，，且分别是上的高，分别是的中点，若，则的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，，然后利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图：连接， 是的中点，， ， 是的中点， ，， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及勾股定理，作辅助线利用性质是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，根据矩形的性质求出，利用相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律即可求解，根据相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， 矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加：或或或， 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD， 故答案为AC⊥BD（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 12. 点在反比例函数图象上，则_______（填“＜”或“＞”号）． 【答案】> 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的大小进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴反比例函数的图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小． ∵5>3>0， ∴在第一象限， ∴． 故答案为：>． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 13. 关于x的方程的常数项是0，则m的值为___________． 【答案】3或5 【解析】 【分析】本题考查了方程的定义，解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 根据方程常数项为0的条件，列出关于m的方程，再解方程即可． 【详解】解：方程的常数项是， ，即， 解得或． 当时，原方程为符合题意， 当时，原方程为符合题意， 故答案为：3或． 14. 如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为 __． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由菱形的性质得，，，则是等边三角形，过C作于点G，过P作于点H，则，得，再由勾股定理得，然后证四边形是平行四边形，，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、， 四边形是菱形，， ，，， 是等边三角形， 过作于点，过作于点， 则， ，， ， ， ， ， 且， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形面积公式等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 15. 已知在中，，点D是边上的一个动点，且，连接，作关于所在直线的对称图形，得到，且交边于点E．若为直角三角形，则________． 【答案】2或 【解析】 【分析】由勾股定理求出 再证明，然后分和两种情况，结合相似三角形的判定与性质可求出结论． 【详解】解：在中，∵， ∴， ∵与关于对称，与关于对称， ∴∠， ∵∠ ∴∠， ∴∠ ∴△是直角三角形， 在和中， ， ∴ ∴ ∵△是直角三角形， 故有两种情形： ①当时，即∠如图1， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵∠ ∴∠ ∵∠ ∴∠ 又∠ ∴△ ∴ ∴ ∴ ②当时，∠如图2， ∵∠ ∴∠ 又∠ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴， ∴ ∵∠ ∴△ ∴ ∴， ∴ 综上，的值为2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确进行分类讨论是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ． 问题： （1）上述解答过程中，从第_____步开始出现了错误，发生错误的原因是_______________； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）二，等号右边没有加 （2） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即或 ∴，． 【解析】 【分析】（）观察解答过程可得答案； （）用配方法解方程即可； 本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：从第二步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加， 故答案为：二，等号右边没有加； 【小问2详解】 略 17. 《笠翁对韵》是明末清初著名戏曲家李渔的作品，是学习写作近体诗、词，用来熟悉对仗、用韵、组织词语的启蒙读物，“天对地，雨对风．大陆对长空．山花对海树，赤日对苍穹……”就是其中的句子．现将“A．天”，“B．地”，“C．雨”，“D．风”，“E．大陆”，“F长空”分别书写在材质、大小完全相同的6张卡片上，洗匀后背面朝上． （1）第一次抽取时先抽取了一张，翻开后是“A．天”，那么在剩下的五张卡片中恰好抽取得到卡片“B．地”，使得对仗工整的概率是______； （2）若第一次已经把“A．天”、“B．地”两张卡片抽走，第二次在剩下的四张卡片中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求出能够对仗工整的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：（1）在剩下的五张卡片中恰好抽中的概率均相等，则恰好得到卡片“B．地”的概率为， 故答案为：； （2）依题意可列表为 C D E F C DC EC FC D CD ED FD E CE DE FE F CF DF EF 共有12种等可能发生的结果，其中对仗工整的有CD 、DC 、EF 、FE 共4种，所以概率为． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 矩形的顶点E，G分别在菱形的边、上，顶点F，H在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若E为中点，，求菱形的周长． 【答案】（1） 证明：在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， 在菱形中，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）16 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是利用AAS证明． （1）根据矩形的性质得出，，进而利用AAS证明，利用全等三角形的性质解答即可； （2）连接，根据菱形的性质解答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图，连接， 在菱形中，，， 为的中点， ， 由（1）知，， ∴， 又， 四边形是平行四边形， ， 在矩形中，， ，即菱形的边长为4． ∴菱形的周长为． 19. 某绘画艺人第一天的收入为875元，第三天的收入为1260元（每天收入的增长率相同）． （1）求绘画艺人每天平均收入的增长率是多少？ （2）绘画艺人想制作一幅长30分米，宽20分米的一幅画，其中有一横一竖宽度相同的彩条（阴影部分为彩条无费用），其余空白处进行作画，如图所示，作画区域的费用为每平方分米3元，经预算作画区域的总费用恰好是第四天的收入，求彩条的宽度是多少分米． 【答案】（1）绘画艺人每天平均收入的增长率是20% （2）彩条的宽度是2分米 【解析】 【分析】（1）设绘画艺人每天平均收入的增长率是x，，则第三天每天平均收入为，根据他第三天的收入为1260元，列方程为，求解即可． （2）设彩条的宽度是y分米，根据作画区域的总费用恰好是第四天的收入，列方程为，求解即可． 【小问1详解】 解：设绘画艺人每天平均收入的增长率是x，根据题意，得 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， 答绘画艺人每天平均收入的增长率是20%． 【小问2详解】 解：设彩条的宽度是y分米，根据题意，得 ， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， 答：彩条的宽度是2分米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 20. 为了开展趣味学习活动，张教师带领学生们在操场上利用所学的知识测量一棵树的高度．如图，某一时刻树在太阳光照下，一部分影子落在了墙上，另一部分树影落在了地面上，张老师在树另一侧的地面C点放置一平面镜，在平面镜左侧点S处竖直放置了一根木杆，秦飞同学在平面镜右侧的点T处刚好可从平面镜中观察到木杆的顶端．与此同时，秦飞发现木杆影子的顶端恰好落在平面镜C点处．现测得木杆高2米，秦飞的眼睛距地面为1米，长为9米，树影为5米，为21米，求树的高．（平面镜大小忽略不计） 【答案】12米 【解析】 【分析】先利用相似求出小三角形的边长,再利用相似求出大三角形的边长,最后求和即可 【详解】解：如图所示，过点P做，再令木杆顶点为点E，秦飞的眼睛为点F， 由平面镜反射定律可知． ∴， ∴． 设，则，． 解得． 又由太阳光线同时刻平行得 ∴，即， ∴， ∵， ∴米， 答：树的高为12米． 【点睛】本题考查了相似的判定与性质,找到相似三角形,并证明它们相似,以及利用相似正确运算是关键 21. 如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点满足，求a的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，得，由轴可得，进一步求出点，将A，C点坐标代入一次函数解析式，用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）由勾股定理求出AC的长，再根据且E在x轴上，分类讨论得a的值． 【小问1详解】 解：（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点在一次函数的图象上 ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 在中，由勾股定理得， ∴ 当点E在点C的左侧时， 当点E在点C的右侧时， ∴a的值为或． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理，熟练掌握反比例函数与一次函数的关系是解答本题的关键． 22. 如图，在中，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒． （1）为何值时，； （2）是否存在某一时刻，使，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时， （2）存在， 【解析】 【分析】（）由题可得，，，，若，则有，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （）由得，要使，只需，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵，， ∴，， 若，则有， ∴， 即， 解得， ∴当时，； 【小问2详解】 解：存在． ∵， ∴， 要使，只需， 即， 解得， ∴． 23. 综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）操作判断 已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断： ①线段与线段的数量关系是________； ②直线与直线相交所夹锐角的度数是________； （2）迁移探究 如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； （3）拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；② （2）①不成立，理由如下：如图2， 延长交的延长线于点． ，， ，． ， ， ； ②成立，理由如下： ， ， ． ； （3）或 【解析】 【分析】（1）设直线交直线于点．由等边三角形的性质可得出，，． 进而可求出，即可证，从而得出结论．再根据，即得出答案； （2）由题意得出，，进而可证，得出．由（1）同理可证； （3）分类讨论：当点D落在线段上时和当点E落在线段上时，分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：①如图1，设直线交直线于点． 和都是等边三角形， ，，． ． 在△BCD 和△ACE 中， , ． ； ②， ， ， ； 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①如图3，当点落在线段上时． ，，， ∴，． ∴，． ∴．， ∴； ②如图4，当点落在线段上时， 同理可得，． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线构造全等或相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期阶段综合测试 （满分120分，建议用时100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. 36 B. 9 C. 6 D. 7. 如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ） A. 位似中心是点 B. 位似中心是点 C. 位似比为 D. 位似比为 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点、，轴于点C，轴于点D，交于点E．若，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，在中，，且分别是上的高，分别是的中点，若，则的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 10. 如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形是正方形． 12. 点在反比例函数图象上，则_______（填“＜”或“＞”号）． 13. 关于x的方程的常数项是0，则m的值为___________． 14. 如图，在菱形中，，．点为边上一点，且不与点，重合，连接，过点作，且，连接，，则四边形的面积为 __． 15. 已知在中，，点D是边上的一个动点，且，连接，作关于所在直线的对称图形，得到，且交边于点E．若为直角三角形，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ． 问题： （1）上述解答过程中，从第_____步开始出现了错误，发生错误的原因是_______________； （2）请写出正确的解答过程． 17. 《笠翁对韵》是明末清初著名戏曲家李渔的作品，是学习写作近体诗、词，用来熟悉对仗、用韵、组织词语的启蒙读物，“天对地，雨对风．大陆对长空．山花对海树，赤日对苍穹……”就是其中的句子．现将“A．天”，“B．地”，“C．雨”，“D．风”，“E．大陆”，“F长空”分别书写在材质、大小完全相同的6张卡片上，洗匀后背面朝上． （1）第一次抽取时先抽取了一张，翻开后是“A．天”，那么在剩下的五张卡片中恰好抽取得到卡片“B．地”，使得对仗工整的概率是______； （2）若第一次已经把“A．天”、“B．地”两张卡片抽走，第二次在剩下的四张卡片中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求出能够对仗工整的概率． 18. 矩形的顶点E，G分别在菱形的边、上，顶点F，H在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若E为中点，，求菱形的周长． 19. 某绘画艺人第一天的收入为875元，第三天的收入为1260元（每天收入的增长率相同）． （1）求绘画艺人每天平均收入的增长率是多少？ （2）绘画艺人想制作一幅长30分米，宽20分米的一幅画，其中有一横一竖宽度相同的彩条（阴影部分为彩条无费用），其余空白处进行作画，如图所示，作画区域的费用为每平方分米3元，经预算作画区域的总费用恰好是第四天的收入，求彩条的宽度是多少分米． 20. 为了开展趣味学习活动，张教师带领学生们在操场上利用所学的知识测量一棵树的高度．如图，某一时刻树在太阳光照下，一部分影子落在了墙上，另一部分树影落在了地面上，张老师在树另一侧的地面C点放置一平面镜，在平面镜左侧点S处竖直放置了一根木杆，秦飞同学在平面镜右侧的点T处刚好可从平面镜中观察到木杆的顶端．与此同时，秦飞发现木杆影子的顶端恰好落在平面镜C点处．现测得木杆高2米，秦飞的眼睛距地面为1米，长为9米，树影为5米，为21米，求树的高．（平面镜大小忽略不计） 21. 如图，一次函数的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点A作轴，垂足为D，． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点满足，求a的值． 22. 如图，在中，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒． （1）为何值时，； （2）是否存在某一时刻，使，若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）操作判断 已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断： ①线段与线段的数量关系是________； ②直线与直线相交所夹锐角的度数是________； （2）迁移探究 如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； （3）拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $