贵州省部分学校2024-2025学年高三上学期联考模拟数学试题（适合新高考2卷使用）

2024-2025学年贵州省部分学校高三（上）联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知线段是圆的一条长为的弦，则(    ) A. B. C. D. 2.已知双曲线的焦距为，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为(    ) A. B. C. D. 3.贵州省的安顺黄果树瀑布、荔波小七孔、西江千户苗寨、赤水丹霞、兴义万峰林、铜仁梵净山组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”，也是水乡风貌最具代表的城镇，它们也拥有着历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名在外这六大景区中，其中在贵阳市周围有处小吴和家人计划今年暑假从这个景点中挑选个去旅游，则只选一个贵阳市周围的概率为(    ) A. B. C. D. 4.形如我们称为“二阶行列式”，规定运算，若在复平面上的一个点对应复数为，其中复数满足，则点在复平面内对应坐标为(    ) A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，命题：“，”，命题：“”，则命题是命题的(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6.函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑中，平面，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为(    ) A. B. C. D. 8.已知函数，若在区间内恰好有个零点，则的取值可以为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数，，则(    ) A. B. C. 在上单调递减 D. 的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 10.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是(    ) A. B. 为奇函数 C. 是周期函数 D. 11.空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表： 指数值 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某市月日日指数变化趋势：下列叙述正确的是(    ) A. 这天中指数值的中位数略高于 B. 这天中的中度污染及以上的天数占 C. 该市月的前半个月的空气质量越来越好 D. 总体来说，该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.集合，，子集的个数是______． 13.已知展开式的二项式系数之和为，则其展开式中的系数为______用数字作答 14.若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，，． 证明：； 记边和上的高分别为和，若，判断的形状． 16.本小题分 黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一它与函数为常数密切相关，请解决下列问题： 当时，求在点处的切线方程； 当时，证明有唯一极值点． 17.本小题分 如图，三棱锥的平面展开图中，，，，，为的中点． 在三棱锥中，证明：； 求二面角的余弦值． 18.本小题分 为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取人做问卷调查已知某单位有名员工，其中是男性，是女性． 当时，求出人中男性员工人数的分布列和数学期望； 我们知道，当总量足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布现在全市范围内考虑从名员工男女比例不变中随机抽取人，在超几何分布中男性员工恰有人的概率记作；有二项分布中即男性员工的人数男性员工恰有人的概率记作那么当至少为多少时，我们可以在误差不超过即的前提下认为超几何分布近似为二项分布参考数据： 19.本小题分 如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，． 若，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率； 若是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值； 若是边长为的正方形，边，与轴的交点为，，设是正方形内部的个点，记，其中，，，证明：，，，中至少有两个小于． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年贵州省部分学校高三（上）联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知线段是圆的一条长为的弦，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：已知线段是圆的一条长为的弦， 所以． 故选：． 直接利用向量的数量积运算求出结果． 本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 2.已知双曲线的焦距为，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为双曲线的焦距为， 所以， 解得， 可得双曲线的方程为， 所以该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为． 故选：． 由双曲线的焦距可得，求得双曲线的方程和所求渐近线的斜率． 本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 3.贵州省的安顺黄果树瀑布、荔波小七孔、西江千户苗寨、赤水丹霞、兴义万峰林、铜仁梵净山组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”，也是水乡风貌最具代表的城镇，它们也拥有着历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名在外这六大景区中，其中在贵阳市周围有处小吴和家人计划今年暑假从这个景点中挑选个去旅游，则只选一个贵阳市周围的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：小吴和家人从这个景点中挑选个去旅游，共有种选法， 而只选一个贵阳市周围有种选法， 则只选一个贵阳市周围的概率为． 故选：． 根据古典概型相关知识可解． 本题考查古典概型相关知识，属于基础题． 4.形如我们称为“二阶行列式”，规定运算，若在复平面上的一个点对应复数为，其中复数满足，则点在复平面内对应坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意可得：， 则， 所以点在复平面内对应坐标为． 故选：． 根据题意结合复数的运算可得，结合复数的几何意义分析求解． 本题考查复数的运算，属于基础题． 5.已知等差数列的前项和为，命题：“，”，命题：“”，则命题是命题的(    ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D  【解析】解：由，，不能推出， 例如，则，，， 所以， 故命题是命题的不充分条件； 由，不能推出，， 例如，则，，， 所以，，， 故命题是命题的不必要条件； 综上所述：命题是命题的既不充分也不必要条件． 故选：． 根据等差数列的性质结合充分、必要条件分析判断． 本题考查充分条件，必要条件等相关知识，属于基础题． 6.函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为函数是定义在上的奇函数，所以是定义域上的偶函数， 又因为在区间上单调递增，且， 所以，即， 解得或， 所以或， 所以的取值范围是． 故选：． 根据函数是定义在上的奇函数得出是偶函数，把不等式化为，即，求解不等式即可． 本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 7.九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑中，平面，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为平面，、平面， 所以，， 因为，，、平面， 所以平面， 如图所示，设为球与平面的交线， 则，， 所以， 所以所在的圆是以为圆心，为半径的圆， 因为且， 所以，所以弧的长为． 故选：． 由题意可得平面，找出交线，计算弧长即可得． 本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了球的结构特征，属于中档题． 8.已知函数，若在区间内恰好有个零点，则的取值可以为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为函数， 所以， 令，则， 由，得，即， 显然，即方程， 有两个不等的实数根，， 当时，则方程为， 解得，，此时在上有，，，即有个实根， 而，因此，则； 当时，，，则，， 此时在上恰有个实根， 而，于是或， 因此或． 所以的取值可以为或或． 故选：． 令，按，分类探讨一元二次方程根的情况，再结合正弦函数的性质，求解即得． 本题考查换元法的应用及三角函数的性质的应用，属于中档题题． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数，，则(    ) A. B. C. 在上单调递减 D. 的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 【答案】BCD  【解析】解：因为函数的图象的一条对称轴方程为， 所以，， 因为，所以，即， 对于，，A错误； 对于，因为图象的一个对称中心为，所以B正确： 对于，当时，， 所以在上单调递减，C正确； 对于，的图象向左平移个单位长度后， 所得图象对应的函数解析式为， 显然是偶函数，其图像关于轴对称，D正确． 故选：． 根据正弦函数的性质逐项判断即可． 本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．． 10.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是(    ) A. B. 为奇函数 C. 是周期函数 D. 【答案】ACD  【解析】解：对于，由对于任意，都满足， 令，则，所以A正确； 对于，令，可得，即， 所以函数关于点对称，所以B错误； 对于，由为偶函数，知关于直线对称，即， 可得， 则，所以， 所以函数的周期为，故C正确； 对于，令，则， 可得， 所以，所以D正确． 故选：． 令，可判断； 令，得到，可判断； 根据题意，推得，得到的周期为，可判断； 令，求得，结合函数的周期性，求得，可判断． 本题考查了利用赋值法求抽象函数的值，考查了抽象函数的对称性及周期性，属于中档题． 11.空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表： 指数值 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某市月日日指数变化趋势：下列叙述正确的是(    ) A. 这天中指数值的中位数略高于 B. 这天中的中度污染及以上的天数占 C. 该市月的前半个月的空气质量越来越好 D. 总体来说，该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】ABD  【解析】解：空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好， 由某市月日日指数变化趋势图，知： 在中，将这天的数据从小到大排序后，第个数据和第个数据均大于， 因为中位数是这两个数据的平均数，故这天中指数值的中位数略高于，故A正确； 在中，这天中的指数值超过的天数有天， 这天中的中度污染及以上的天数为占，故B正确； 在中，该市月的前半个月的空气质量先越来越好，后越来越坏，故C错误； 在中，该市月上旬的数据大部分在以内，污染较轻， 总体来说，该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故D正确． 故选：． 空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，利用某市月日日指数变化趋势图直接求解． 本题考查命题真假的判断，考查指数变化趋势图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.集合，，子集的个数是______． 【答案】  【解析】解：由题可知，，，，，，，，，有个元素， 所以该集合的子集有个． 故答案为：． 用列举法表示出集合，再根据集合子集个数的计算公式求解即可． 本题主要考查子集个数的求解，属于基础题． 13.已知展开式的二项式系数之和为，则其展开式中的系数为______用数字作答 【答案】  【解析】解：由题意二项式系数之和为，则， 所以二项式的展开式的通项公式为，，，，， 令，解得，所以的系数为． 故答案为：． 利用二项式系数和求出的值，然后求出二项式展开式的通项公式，令的指数为，由此即可求解． 本题考查了二项式定理的应用，属于基础题． 14.若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______． 【答案】  【解析】解：设，则， 设切点为，则， 则切线方程为，整理可得， 所以，解得， 所以，所以， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为． 设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出，的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可． 本题主要考查用导函数解决曲线上的切线问题，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，角，，所对的边分别为，，，． 证明：； 记边和上的高分别为和，若，判断的形状． 【答案】证明：在中，角，，所对的边分别为，，， 因为， 由正弦定理得，， 整理可得，， 又， 于是，即， 因为，，所以， 所以或舍去， 所以； 解：记边和上的高分别为和， 根据等面积法可知，即， 由，可得， 又由及正弦定理可得，， 解得， 由于，所以，， 所以，所以是直角三角形．  【解析】利用正弦定理和两角和的正弦公式即可得证； 利用等面积法和正弦定理及的结论即可求解． 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式，属于中档题． 16.本小题分 黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一它与函数为常数密切相关，请解决下列问题： 当时，求在点处的切线方程； 当时，证明有唯一极值点． 【答案】解：当时，， 此时，又， 所以在点处的切线方程为， 即． 由题意得， 令，， ，令，可得，依题意得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，所以，又因为， 所以，存在唯一，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以存在唯一极大值点，且．  【解析】求导可得，进而求得，可求切线方程； 易知当时，由，可知存在唯一变号零点，即可知有唯一极大值点． 本题考查导数的几何意义与应用，属于中档题． 17.本小题分 如图，三棱锥的平面展开图中，，，，，为的中点． 在三棱锥中，证明：； 求二面角的余弦值． 【答案】解：证明：由，得，且为的中点，所以， 取中点为，连接，，可得， 在中，， 在中，， 所以，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以； 如图，过点作，交于点， 以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系． 则，，，， 在中，可得点到距离为， 故可得，，， 设平面一个法向量为， 由，取，所以， 设平面的一个法向量为， 由，取，所以， 设二面角平面角为，且由图知，， 所以， 所以二面角的余弦值为．  【解析】作辅助线，由线面垂直的判定定理即可证明； 建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量的夹角公式即可求得． 本题考查线面垂直的证明和二面角的求法，属于中档题． 18.本小题分 为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取人做问卷调查已知某单位有名员工，其中是男性，是女性． 当时，求出人中男性员工人数的分布列和数学期望； 我们知道，当总量足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布现在全市范围内考虑从名员工男女比例不变中随机抽取人，在超几何分布中男性员工恰有人的概率记作；有二项分布中即男性员工的人数男性员工恰有人的概率记作那么当至少为多少时，我们可以在误差不超过即的前提下认为超几何分布近似为二项分布参考数据： 【答案】解：当时，男性员工有人，女性员工有人． 服从超几何分布，，，，， ，， ，， 的分布列为： 数学期望为． ， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是． 由于函数在处有极小值， 从而当时单调递增， 又，， 因此当时，符合题意，而又考虑到和都是整数，则一定是的整数倍， 于是即至少为，我们可以在误差不超过即的前提下认为超几何分布近似为二项分布．  【解析】利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； 利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解． 本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于中档题． 19.本小题分 如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，． 若，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率； 若是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值； 若是边长为的正方形，边，与轴的交点为，，设是正方形内部的个点，记，其中，，，证明：，，，中至少有两个小于． 【答案】解：易知，， 椭圆的离心率； 证明：不妨设，， 易知矩形和矩形的面积相等， ，即， ，， 则，， 可得， 整理得， 同理可得， 则， 故为定值，定值为； 证明：不妨以，的中点为焦点构造经过，，，的椭圆， 连接并延长，直线与椭圆交于点，连接， 此时， ， 因而，中至少有一个小于， 同理，中至少有一个小于， 故，，，中至少有两个小于．  【解析】由椭圆的定义求解即可． 设，，由题意可得，再由，，在椭圆上化简可得，，则，即可证明； 以，的中点为焦点构造经过，，，的椭圆，对于点，连接并延长，与该椭圆交于点，连接，先证明，则，则中至少有一个小于，即可得证． 本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$