2.8 平面图形的旋转（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（冀教版2024）

冀教版（2024）七年级数学上册 第二章 几何图形的初步认识 2.8 平面图形的旋转 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1．认识旋转，经历观察旋转的过程，能掌握旋转的基本特征． 2．经历探索和操作，发现并理解图形旋转基本性质． 3．通过运用旋转的性质，能用运动的观点分析问题并解决简单的旋转问题． 情景导入 观察下面的图片，这些都有什么现象？又有哪些共同特点？ 【认识旋转】 射线绕其端点旋转，可以形成角.那么一个图形绕某个点旋转，会有怎样的性质呢？ 新知探究 如图2.8-1，∠AOB可以看作由射线OA绕端点O按逆时针方向转到OB位置所形成的. 如图2.8-2，线段CD可以看作由线段AB绕点O按顺时针方向转动得到的. 新知探究 像这样，在平面内，一个图形绕一个定点沿顺时针(或逆时针)方向转过一个角度，这样的图形运动叫作旋转，这个定点叫作旋转中心，转过的这个角叫作旋转角. 在图2.8-1中，旋转中心是点O，旋转角是∠AOB.在图2.8-2中，旋转中心是点O，旋转角是∠AOC(或∠BOD)；点A 与点C是对应点，点B与点D也是对应点；线段AB与CD是对应线段. 旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小. 一起探究 1.如图，已知A，B是射线OM上的两点，且OA=1cm，OB=2.5cm. (1)当OM旋转到ON位置时，点A，B分别旋转到点 A′，B′，的位置，请画出点 A′，B′. A′ B′ (2) OA和OA′ ，OB和OB′ 分别有怎样的数量关系？ OA=OA′ ，OB=OB′ 2.如图，三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转后得到三角形COD，E是线段BA上一点． (1)对应线段OB与OD，OA与OC，AB与CD都相等吗？ 相等 (2)∠BOD与∠AOC相等吗？ 相等 (3)画出点E的对应点F. 方法一：用圆规以C点为圆心，以线段AE长 为半径画弧，与CD交于点F. 方法二：用圆规以D为圆心，以线段BE长为 半径画弧，与CD交于点F. 方法三：根据旋转角，通过射线旋转作出点F. 旋转的性质 在平面内，旋转前后的两个图形有如下的性质： 对应点到旋转中心的距离相等； 两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等，它们都等于旋转角. 概念归纳 在平面内，一个图形绕一个定点沿顺时针(或逆时针)方向转过一个角度，这样的图形运动叫作旋转，这个定点叫作旋转中心，转过的这个角叫作旋转角. 课本例题 例 如图，三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转后，顶点A的对应点为点P.试确定顶点B的对应点的位置，并画出旋转后的三角形. (1)如图,连接CP; (2)以BC为一边作∠BCN,使∠BCN=∠ACP; (3)在射线CN上截取CM=CB; (4)连接PM. 三角形PMC就是三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到的图形. 课堂练习 1. 请指出时钟的分针由8时10分的位置转到8时40分的位置所旋转的角度，并指出旋转中心. 解：180°，旋转中心为时钟的中心. 2. 请根据要求画图： 画出(1)中的图形绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形. 画出(2)中的图形绕点B按顺时针方向旋转60°后的图形. 解：如图所示. 分层练习-基础 知识点1 旋转及相关概念 1. [情境题·生活应用]有下列现象：①钟表上时针的转动；② 电风扇风叶的转动；③擦黑板；④升降电梯的运动.其 中，属于旋转的是(　A　) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ A 2. 如图，在三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝100°， D 是边 BC 上一点，连接 AD ，三角形 ABD 经过旋转后到 达三角形 ACE 的位置，则旋转中心是点 ，∠ BAD 的对应角是 ，线段 AD 的对应线段 是 ，∠ DAE ＝ ⁠°. A 　 ∠ CAE 　 AE 　 100　 3. [母题·2023·宁波节选·教材P93习题B组T4]在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上).图中的格点三角形 ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的三角形 A ' B ' C . 【解】如图，三角形A'B'C即为所求. 知识点2 旋转的性质 4. 在平面内，一个图形旋转后得到的图形与原来的图形之间 有如下性质：对应点到旋转中心的距离 ；每对对 应点与旋转中心连线所成的角相等，它们都等于 ⁠ ⁠. 相等　 旋转角 5. [2023·南充]如图，将直角三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转到三角形AB'C'，点B'恰好落在 CA 的延长线上，∠ B ＝30°，∠ C ＝90°，则∠BAC'为(　B　) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° (第5题) 【点拨】 因为∠ B ＝30°，∠ C ＝90°，所以∠ CAB ＝180° －∠ B －∠ C ＝60°.因为将直角三角板 ABC 绕顶点 A 顺 时针旋转到三角形AB'C'，所以∠C'AB'＝∠ CAB ＝60°. 因为点B'恰好落在 CA 的延长线上，所以∠BAC'＝180° －∠ CAB －∠C'AB'＝60°. B 【答案】 6. 如图，将三角形 OAB 绕点 O 逆时针旋转得到三角形OA'B'，点 B 恰好在边A'B'上.若 AB ＝4 cm，BB'＝1 cm，则A'B的长是(　C　) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm (第6题) 将三角形 OAB 绕点 O 逆时针旋转得到三角形OA'B'，所以三角形 OAB 与三角形OA'B'的形状和大小完全一样，所以 AB ＝A'B'＝4 cm，所以A'B＝A'B'－BB'＝4－1＝3(cm). 【点拨】 C 【答案】 7. [2023·天津]如图，把三角形 ABC 以点 A 为中心逆时针旋转得到三角形 ADE ，点 B ， C 的对应点分别是点 D ， E ，且点 E 在 BC 的延长线上，连接 BD ，则下列结论一定正确的是(　A　) A. ∠ CAE ＝∠ BED B. AB ＝ AE C. ∠ ACE ＝∠ ADE D. CE ＝ BD 【点拨】 设 AD 与 BE 的交点为 O ， 因为把三角形 ABC 以点 A 为中心逆时针旋转得到三 角形 ADE ， 所以∠ ABC ＝∠ ADE ，∠ BAD ＝∠ CAE . 又易得∠ AOB ＝∠ DOE ， 所以∠ BED ＝∠ BAD ＝∠ CAE .故选A. A 【答案】 易错点 分辨不清旋转角导致错误 8. 如图， P 是等边三角形 ABC 内一点，且∠ PBC ＝15°， 若将三角形 PBC 绕点 B 按逆时针方向旋转到三角形P'BA 的位置，则旋转角为(　C　) A. 15° B. 45° C. 60° D. 75° C 分层练习-巩固 利用旋转的定义识别相关概念 9. 如图，把一块砖(四边形 ABCD )直立于地面上，然后将其 轻轻推倒，在这个过程中，点 A 保持不动，四边形 ABCD 旋转到四边形AB'C'D'的位置. 【解】旋转中心是点 A ，旋转方向是顺时针方向，旋转角度是90°. (1)指出在这个过程中的旋转中心、旋转方向和旋转角度； (2)指出图中的对应点和对应线段. 【解】点 A ， B ， C ， D 的对应点分 别是点 A ，B'，C'，D'； AB ， AD ， BC ， CD 的对应线段分别是AB'， AD'，B'C'，C'D'. 利用旋转的性质求线段长 10. [2024·邢台期中]如图，点 C 恰好与边 AD 的中点重合，将三角形 ABC 按逆时针方向旋转一定角度后与三角形 ADE 重合. (1)指出旋转中心； 【解】旋转中心为点 A . (2)若∠ BAE ＝60°，求旋转角的度数； 【解】根据题意可知∠ CAE 和∠ BAD 都为旋转角， 所以∠ CAE ＝∠ BAD . 因为∠ BAE ＝60°， 所以∠ CAE ＝∠ BAD ＝ ×(360°－60°)＝150°， 即旋转角的度数为150°. (3)若 AB ＝4，求 AE 的长. 【解】因为将三角形 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转150°后与三角形 ADE 重合， 所以 AE ＝ AC ， AD ＝ AB ＝4. 因为 C 是边 AD 的中点， 所以 AC ＝2，所以 AE ＝2. 分层练习-拓展 利用旋转探究两个角之间的数量关系 11. (1)如图①，∠ AOB 和∠ COD 都是直角，请你指出∠ AOD 和∠ BOC 之间的数量关系，并说明理由. 【解】∠ AOD ＋∠ BOC ＝180°. 理由：因为∠ AOD ＝∠ AOB ＋∠ BOD ， ∠ BOC ＝∠ COD －∠ BOD ， 所以∠ AOD ＋∠ BOC ＝∠ AOB ＋∠ BOD ＋∠ COD －∠ BOD ＝∠ AOB ＋∠ COD ＝90°＋90°＝180°. (2)当∠ COD 绕点 O 旋转到如图②所示的位置时，上述结论还成立吗？说明理由. 【解】成立. 理由： 因为∠ AOB ＋∠ BOC ＋∠ COD ＋∠ AOD ＝360°， 所以∠ AOD ＋∠ BOC ＝360°－∠ AOB －∠ COD ＝360°－90°－90°＝180°. 课堂小结 平面图形的旋转 旋转的定义 旋转的性质 在平面内，一个图形绕一个定点沿顺时针（或逆时针）方向转过一个角度，这样的图形运动叫作旋转. 这个定点叫作旋转中心，转过的这个角叫作旋转角. 1.旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小. 2.对应点到旋转中心的距离相等 3.两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等，它们都等于旋转角， $$