第15讲 旋转（2024）（1个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第15讲 旋转（2024）（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 题型强化 题型一．生活中的旋转现象 1．下列运动中不属于旋转的是　　 A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动 C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动 2．（2023秋•浦东新区校级期末）在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失．已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其全部自动消失　　 A．顺时针旋转，向下平移 B．逆时针旋转，向下平移 C．顺时针旋转，向右平移 D．逆时针旋转，向右平移 3．时钟由2时30分到2时55分，时针旋转了 　　，分针旋转了 　　． 题型二、找旋转中心、旋转角、对应点 4．（22-23七年级上·上海青浦·期末）如图，中，，将绕着点顺时针旋转到，且点B、点B、点在同一直线上，则旋转角是 ． 5．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个． 6．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转了多少度； (2)求出的度数和的长． 题型三、根据旋转的性质求解 7．（23-24七年级上·上海金山·期末）如图，将△绕点按顺时针方向旋转后得到△，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 8．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，已知直线和直线相交于点O，且夹角为，现将直线绕点O逆时针方向旋转，那么此时直线和直线的夹角为 度．    9．（23-24七年级上·上海松江·期末）如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 题型四、画旋转图形 10．（22-23七年级上·上海·期末）如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动： ①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格． 其中，能将变换成的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）在方格中画出绕着点C顺时针旋转后的 12．（22-23七年级上·上海静安·期中）如图，正方形中，点是线段延长线一点，联结，，． (1)将线段沿着射线方向运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积为________； (2)将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点上，联结，用代数式表示三角形的面积________； (3)将三角形绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全复合，请在备用图中画出符合条件的4种情况（第（2）小题的情况除外）并写出旋转中心、旋转角． 分层练习 一、单选题 1．如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 3．如图，，，可以看作是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是（    ） A． B． C． D． 4．如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，则旋转角度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，把绕顶点按顺时针方向旋转得到，当，，时，的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，将绕点P顺时针方向旋转，得到，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图所示的图形绕其中心至少旋转 度就可以与原图形完全重合． 8．如图，将绕直角顶点逆时针旋转得到，若，则 ． 9．如图，绕点顺时针旋转后与重合，请写出图中一对相等的角： ．(写一对即可，不再添加任何字母或线条) 10．如图，由个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线和剪开后重组可得到矩形，那么②可看作①通过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 11．将如图所示的图案绕其中心至少旋转 度后能与原图案完全重合． 12．如图，该图形绕着点O旋转能与自身完全重合，则旋转角最小为 °． 13．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小方格都是边长为的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ． 14．如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是 ．    15．如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ． 16．在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． 17．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接．若，则 ． 18．如图，将绕点顺时针旋转得，若，，则旋转角等于 ． 三、解答题 19．如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题； （1）将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后的 （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的 20．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C在方格纸中小正方形的顶点上．    (1)按下列要求画图：将绕点顺时针旋转； (2)计算的面积． 21．如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的顶点都在格点上． (1)画出三角形向右平移5个单位之后的三角形； (2)将三角形绕一点旋转，得到三角形，已知点A与点是对应点（如图所示），请画出三角形． (3)三角形与三角形的位置关系是______对称． 22．如图1，O为线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°． (1)如图1，求∠CON的度数： (2)将图1中的∠MON绕点O沿逆时针方向旋转至图2，使OM在∠BOC的内部且恰好平分∠BOC，请问此时直线ON是否平分∠AOC，请说明理由． (3)将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转﹣周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间． 23．已知，中： (1)如果将绕点顺时针旋转得到，点分别与点对应，请画出图形．（不要求写作图步骤） (2)连接与相交于点．如果，点是线段的中点，且，若，试用含有的代数式来表示的面积． 24．如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一把含角的直角三角尺的直角顶点放在点处，一直角边与直线重合，另一直角边、斜边都在直线的下方． (1)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转，如图所示，此时________； (2)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转一个角度（）， ①当旋转的角度α为何值时，射线所在的直线是的对称轴； ②是否存在相应的旋转角度α使得与互补？若存在，请直接写出α的值：若不存在，请说明理由． 25．如图，在中，，，，为内部的一动点（不在边上），连接，将线段绕点逆时针旋转，使点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，使点到达点的位置，连接、、、、、． (1)求证：； (2)求的最小值； (3)当取得最小值时求证：； (4)如图，，，分别是、、的中点，连接、，在点运动的过程中，请判断的大小是否为定值，若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 26．实践与探究 【问题提出】已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时（如下图中），我们称、、组成的图形为“角分图形”． 【问题探究】在一次数学活动课上，小明和小亮同学用一个含角的直角三角板做分角实验.如图1，在直线上取一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． 小明同学将图1中的三角板绕点逆时针旋转，使一边在的内部，如图2．小明发现此时、、组成的图形为“角分图形”，请说明理由． 【类比探究】 小亮同学将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，发现射线、、恰好构成“角分图形”，请求出的值． 【问题拓展】 小明同学将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，问题：在旋转过程中，与的差是否发生变化?若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 旋转（2024）（1个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 题型强化 题型一．生活中的旋转现象 1．下列运动中不属于旋转的是　　 A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动 C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动 【分析】根据旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合解答即可． 【解答】解：．摩天轮的转动，属于旋转，故不符合题意； ．酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意； ．气球升空的运动，属于平移，故符合题意； ．电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了生活中的旋转现象，掌握旋转的定义是解题的关键． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失．已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其全部自动消失　　 A．顺时针旋转，向下平移 B．逆时针旋转，向下平移 C．顺时针旋转，向右平移 D．逆时针旋转，向右平移 【分析】根据小方格体的两格与三格的不同，结合要填入的空格的形状解答． 【解答】解：观察图形可知，出现的小方格需顺时针旋转，向右平移至边界． 故选：． 【点评】本题考查了生活中的旋转现象，认准小方格的特征与需要填入的空格的形状是解题的关键． 3．时钟由2时30分到2时55分，时针旋转了 　　，分针旋转了 　　． 【分析】先求出2点30分到2点55分的时间，再根据分针每分钟转动6度，时针每分钟转过，列出算式求出时钟的分针转过的角度； 【解答】解：钟表上每相邻两个数字之间的夹角为， 又从2点30分到2点55有25分钟时间， 分针旋转了，时针转过了， 故答案为：，． 【点评】本题考查了钟面角，利用时针旋转的速度乘以时针旋转的时间，分针旋转的速度乘以分针旋转的时间是解题关键． 题型二、找旋转中心、旋转角、对应点 4．（22-23七年级上·上海青浦·期末）如图，中，，将绕着点顺时针旋转到，且点B、点B、点在同一直线上，则旋转角是 ． 【答案】118 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】利用邻补角的定义计算出，然后根据旋转的性质确定旋转角的大小． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转到， ∴∠CAC′等于旋转角， ∵，点B、点B、点在同一直线上， ∴， 即旋转角为． 故答案为：118． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 5．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个． 【答案】3 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】根据三角形旋转后能与等边三角形重合，确定旋转中心，即可得到答案． 【详解】解：以点B为旋转中心，顺时针旋转，能与等边三角形重合； 以C为旋转中心，逆时针旋转，能与等边三角形重合； 以的中点为旋转中心，旋转，能与等边三角形重合； 则图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个． 故答案为：3 【点睛】此题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角是解题的关键． 6．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转了多少度； (2)求出的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角度为 (2)， 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由三角形内角和定理可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 旋转中心为点A，旋转角度为； （2）解：逆时针旋转一定角度后能与重合， ，，， ， 点是的中点， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 题型三、根据旋转的性质求解 7．（23-24七年级上·上海金山·期末）如图，将△绕点按顺时针方向旋转后得到△，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转，角的和差关系，由旋转可得，结合即可求解． 【详解】解：由旋转可得， 又， ， 故选：A． 8．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，已知直线和直线相交于点O，且夹角为，现将直线绕点O逆时针方向旋转，那么此时直线和直线的夹角为 度．    【答案】20 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质， 根据旋转的性质即可求解 【详解】解：依题意可得： 故答案为：20 9．（23-24七年级上·上海松江·期末）如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可求解； （2）由旋转得，，由三角形的面积即可求解； （3）由题得从而可求，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图 为所求三角形； （2）解：由旋转得 ， ， ； （3）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 由图得： ， 整理得： 解得：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，长方形的性质，面积法等，掌握、之间的转换运算利用面积法求线段的长是解题的关键． 题型四、画旋转图形 10．（22-23七年级上·上海·期末）如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动： ①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格． 其中，能将变换成的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】根据图形的平移、旋转的性质，画出图形，即可一一判定． 【详解】解：①先以点A为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下： 再向右平移6格、向下平移3格，即可得到， 故①符合题意； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，得到的图形如下： 再向下平移3个单位，再沿直线n翻折，即可得到， 故②符合题意； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下： 再向下平移4格、向右平移1格，即可得到， 故③不符合题意． 故其中，能将变换成的是①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的变化，熟练掌握平移、旋转变化的性质与运用是解决本题的关键． 11．（24-25七年级上·上海·阶段练习）在方格中画出绕着点C顺时针旋转后的 【答案】见解析 【知识点】画旋转图形 【分析】本题考查了画图形的旋转；分别确定三点旋转后的对应点，再依次连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求： 12．（22-23七年级上·上海静安·期中）如图，正方形中，点是线段延长线一点，联结，，． (1)将线段沿着射线方向运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积为________； (2)将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点上，联结，用代数式表示三角形的面积________； (3)将三角形绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全复合，请在备用图中画出符合条件的4种情况（第（2）小题的情况除外）并写出旋转中心、旋转角． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】利用平移的性质求解、画旋转图形 【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可； （2）根据三角形的面积计算即可； （3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 【详解】（1）解：线段扫过的平面部分的面积为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴的面积， 故答案为：； （3）①如图，旋转中心：边的中点为O，顺时针， ； ②如图，旋转中心：点D；顺时针旋转， ； ③如图，旋转中心：正方形对角线交点G；顺时针旋转， ； ④如图，旋转中心：正方形对角线交点G；顺时针旋转， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答． 分层练习 一、单选题 1．如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】此题考查了旋转，根据图形由一个弯月绕旋转中心旋转6次而生成的即可求出每次旋转的度数． 【详解】解：如图，是由一个弯月绕旋转中心旋转6次而生成的， ∴每次旋转的度数可以为． 故选：B． 2．如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为点P， 旋转中心是点P， 故选：A． 3．如图，，，可以看作是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】首先由∠AOB、∠B的度数可求得∠A＝65°，根据旋转的性质知：OA＝OA′，即△OAA′为等腰三角形，由此可求得∠AOA′的度数． 【详解】在△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝25°，则：∠A＝90°−25°＝65°， 由旋转的性质知：OA＝OA′，则△OAA′是等腰三角形， 所以∠AOA′＝ ， 故旋转角的大小是50°． 故选：A． 【点睛】此题主要考查的是旋转的性质，理解旋转过程中图形变化前后的对应线段相等，是解答此题的关键． 4．如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，则旋转角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转前后对应图形的对应角相等得到，则，据此可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴旋转角度数是， 故选：C． 5．如图，把绕顶点按顺时针方向旋转得到，当，，时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质可知，， ． ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角． 6．如图，在平面直角坐标系中，将绕点P顺时针方向旋转，得到，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为旋转中心点． 【详解】解：连接，，线段，的垂直平分线的交点即为旋转中心点． 由图知，旋转中心的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 二、填空题 7．如图所示的图形绕其中心至少旋转 度就可以与原图形完全重合． 【答案】 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】该图形被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成四部分， ∵ ∴旋转度的整数倍，就可以与自身重合， ∴如图所示的图形绕其中心至少旋转度就可以与原图形完全重合． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．理解和掌握旋转对称图形的旋转角求法是解题的关键． 8．如图，将绕直角顶点逆时针旋转得到，若，则 ． 【答案】/度 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，先根据直角三角形的两个锐角互余可求出，然后再利用旋转的性质可得：，即可解答． 【详解】解：，， ， 由旋转得：， 故答案为：． 9．如图，绕点顺时针旋转后与重合，请写出图中一对相等的角： ．(写一对即可，不再添加任何字母或线条) 【答案】（答案不唯一） 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题考查的是旋转的性质，直接利用旋转前后的对应角相等即可得到答案； 【详解】解：∵绕点顺时针旋转后与重合， ∴，， 故答案为： 10．如图，由个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线和剪开后重组可得到矩形，那么②可看作①通过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 【答案】旋转 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题考查几何变换类型，解题的关键是利用旋转变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图形可知，②可看作①绕着点顺时针旋转得到， 故答案为：旋转． 11．将如图所示的图案绕其中心至少旋转 度后能与原图案完全重合． 【答案】90 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转4次所组成， 故最小旋转角为． 故答案为：90． 12．如图，该图形绕着点O旋转能与自身完全重合，则旋转角最小为 °． 【答案】60 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】根据旋转图形的性质判断即可． 【详解】解：由题意，， ∴该图形围绕点旋转能与自身重合，则旋转角最小为， 故答案为：60． 【点睛】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，求出旋转角是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上，每个小方格都是边长为的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】（3，2） 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】设旋转中心为M点．根据旋转中心必然在一组对应点的中垂线上，可得M在线段AD的中垂线上，所以点M的纵坐标为2．设M（x，2），又M在线段BE的中垂线上，所以ME=MB，依此列出方程，求解即可． 【详解】解：设旋转中心为M点． ∵△DEF是由△ABC旋转得到的， ∴M在线段AD的中垂线上， ∵A（1，0），D（1，4）， ∴点M在直线y=2上，即点M的纵坐标为2． 设M（x，2）， ∵M在线段BE的中垂线上， ∴ME=MB， ∵E（1，3），B（2，0）， ∴（x-1）2+（2-3）2=（x-2）2+（2-0）2， 解得x=3． ∴旋转中心M的坐标为（3，2）． 故答案为（3，2）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，掌握旋转的性质：旋转中心在一组对应点的中垂线上是解题的关键．也考查了两点间的距离公式． 14．如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是 ．    【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据旋转的性质求解 【分析】根据角平分线的性质可得，根据旋转的性质可得，，求得，即可求得旋转的角度． 【详解】∵为的平分线，， ∴， ∵将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 15．如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ． 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查旋转的定义和旋转，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键．根据“对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心”即可找到答案． 【详解】解：如图，连接，，作线段，的垂直平分线，交点就是旋转中心． 故答案为：． 16．在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． 【答案】 ○ △ 【知识点】生活中的平移现象、判断生活中的旋转现象 【分析】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答． 【详解】解：方向盘是旋转，故后面画“○”； 开此窗户是平移，故后面画“△”， 故答案为：○，△． 【点睛】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键． 17．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接．若，则 ． 【答案】50 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°． 【详解】解：绕点逆时针旋转到△的位置， ，， ， //， ， ， ， ， 故答案为50． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质． 18．如图，将绕点顺时针旋转得，若，，则旋转角等于 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的外角的性质等知识点，掌握旋转的性质以及三角形外角的性质成为解题的关键． 由旋转的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，然后求解即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转某个角度得到， ∴， 又∵， ． 故答案为． 三、解答题 19．如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题； （1）将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后的 （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】平移(作图)、画旋转图形 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可； （2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△DE1F1即可． 【详解】如图所示：即为所求； 如图所示：即为所求； 【点睛】本题考查的是作图−旋转变换和作图-平移变换，熟知图形平移旋转不变性的性质是解答此题的关键． 20．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C在方格纸中小正方形的顶点上．    (1)按下列要求画图：将绕点顺时针旋转； (2)计算的面积． 【答案】(1)图见详解 (2)1 【知识点】画旋转图形 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出、旋转后的对应点、，从而得到； （2）利用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：所作图形如下所示：    （2）解：由图可知：的面积． 【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 21．如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的顶点都在格点上． (1)画出三角形向右平移5个单位之后的三角形； (2)将三角形绕一点旋转，得到三角形，已知点A与点是对应点（如图所示），请画出三角形． (3)三角形与三角形的位置关系是______对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)中心 【知识点】平移(作图)、画旋转图形 【分析】本题考查了平移、旋转作图，熟练掌握各作图方法是解题关键． （1）先根据平移的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先根据旋转的性质画出点，再顺次连接点即可得； （3）根据三角形的位置确定位置关系是中心对称． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，即为所作； （3）由和的位置可得，位置关系是中心对称． 故答案为：中心． 22．如图1，O为线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°． (1)如图1，求∠CON的度数： (2)将图1中的∠MON绕点O沿逆时针方向旋转至图2，使OM在∠BOC的内部且恰好平分∠BOC，请问此时直线ON是否平分∠AOC，请说明理由． (3)将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转﹣周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间． 【答案】(1)150° (2)ON平分∠AOC，见解析 (3)10s或40s 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由角的比值，求∠AOC的度数，再加∠MON＝90°这个条件，最后求∠CON的度数； （2）求出∠BOC＝120°，根据角平分线定义请求出∠COM＝∠BOM＝60°，代入∠CON＝∠MON+∠COM，再求出∠CO即可证明； （3）若直线ON恰好平分锐角∠AOC，分两种情况：①ON沿逆时针旋转的度数为60°，②ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°，最后求出时间； 【详解】（1）解：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°， ∴∠AOC＝， ∵∠MON＝90°， ∴∠AON＝90°， ∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150 （2）ON平分∠AOC， 证明：如图4，反向延长射线ON，得到直线N，即直线ON， ∵∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°， ∵OM平分∠BOC， ∴∠COM＝∠BOM＝60°， ∵∠MON＝90°， ∴∠CON＝∠MON+∠COM＝90°+60°＝150°； ∴ ∠CO＝180°－∠CON＝30° ∴∠AO＝∠AOC－∠CO＝30° ∴∠CO＝∠AO ∴直线ON平分∠AOC， （3）解：由题意可知，若直线ON恰好平分锐角∠AOC， ①如图2所示：ON沿逆时针旋转的度数为60°， ∴∠MON所运动的时间t＝＝10（s）． ②如图4所示：∵直线ON恰好平分锐角∠AOC， ∴ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°， ∴∠MON所运动的时间t＝＝40（s）； 综上所述：∠MON所运动的时间t＝40（s）或10（s）． 【点睛】本题考查旋转的问题，掌握逆时针旋转后的角度，直线ON恰好平分锐角∠AOC注意分两种情况是解题关键． 23．已知，中： (1)如果将绕点顺时针旋转得到，点分别与点对应，请画出图形．（不要求写作图步骤） (2)连接与相交于点．如果，点是线段的中点，且，若，试用含有的代数式来表示的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据题意求得，，根据，点是线段的中点，得到，，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴， ∵，点是线段的中点， ∴，， ∵是旋转得到的， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的面积公式，掌握旋转的性质是解题的关键． 24．如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一把含角的直角三角尺的直角顶点放在点处，一直角边与直线重合，另一直角边、斜边都在直线的下方． (1)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转，如图所示，此时________； (2)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转一个角度（）， ①当旋转的角度α为何值时，射线所在的直线是的对称轴； ②是否存在相应的旋转角度α使得与互补？若存在，请直接写出α的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①为或；②为或． 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了图形的旋转、平角、角的和差倍分，轴对称的性质，熟练掌握角的运算是解题关键． （1）根据旋转的性质即可得； （2）①根据角的和差及轴对称的性质分三角尺在的上方和三角尺在的下方两种情况求解即可；②分在内和在外两种情况讨论求解即可． ． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）解∶①如图，当三角尺在的上方时， ∵射线所在的直线是的对称轴， ∴， ∴； 如图，当三角尺在的下方时， ∵， ∴， ∵射线所在的直线是的对称轴， ∴， ∴， ∴； 综上，为或． ②如图，当在内时， ∵，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴即， 解得， 如图，当在外时， ∵，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴即， 解得； 综上，为或时，与互补． 25．如图，在中，，，，为内部的一动点（不在边上），连接，将线段绕点逆时针旋转，使点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，使点到达点的位置，连接、、、、、． (1)求证：； (2)求的最小值； (3)当取得最小值时求证：； (4)如图，，，分别是、、的中点，连接、，在点运动的过程中，请判断的大小是否为定值，若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)最小值为 (3)详见解析 (4)的大小是为定值， 【知识点】等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由旋转知，、、，故由证出全等即可； （2）由两点之间，线段最短知、、、共线时最小，且最小值为，再由，，求出和，再由旋转知，，最后根据勾股定理求出即可； （3）先由为等边三角形得，再由、、、共线时最小，，最后，即证； （4）由中位线定理知道，，，，由≌得，即，再设，，则，，得，得． 【详解】（1）证明：由旋转可知：，，， 则、为等边三角形， ∴，，， ， ， 在与中， ， ； （2）解：两点之间，线段最短， 即、、、共线时最小， 最小值为， ，，， ， ， ， ， ． 的最小值为； （3）证明：，， 为等边三角形， 即， 、、、共线时最小， ， ， ， ， ， ； （4）解：结论：的大小是为定值， 理由：如图，连接， ，，分别是，，的中点， ，， ，， ， ， ， 且， 为等边三角形， 设，， 则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形旋转变换综合题，考查了全等的判定与性质，两点之间，线段最短，勾股定理，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，中位线定理，两点之间，线段最短求线段和最小值、用好全等三角形性质导角是证明平行及角度不变的关键 26．实践与探究 【问题提出】已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时（如下图中），我们称、、组成的图形为“角分图形”． 【问题探究】在一次数学活动课上，小明和小亮同学用一个含角的直角三角板做分角实验.如图1，在直线上取一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． 小明同学将图1中的三角板绕点逆时针旋转，使一边在的内部，如图2．小明发现此时、、组成的图形为“角分图形”，请说明理由． 【类比探究】 小亮同学将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，发现射线、、恰好构成“角分图形”，请求出的值． 【问题拓展】 小明同学将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，问题：在旋转过程中，与的差是否发生变化?若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围． 【答案】问题探究：见详解 类比探究：秒或秒或秒 问题拓展：不变， 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了角分线的定义、旋转的性质、角度的加减等知识，由图和正确分类讨论是解题的关键． 问题探究：利用已知条件，旋转的性质和角平分线定义即可得出答案； 类比探究：由分类讨论和旋转的性质，结合题意即可得出答案； 问题拓展：通过设未知数，并根据角的和与差的运算消去未知数即可得出答案． 【详解】解： 问题探究：由题意可知， 、、组成的图形为“角分图形”； 类比探究： 当射线在中间时 此时位于上方，且 此时转过的角度为 （秒） 当射线在中间时 此时转过的角度为 （秒） 当射线在中间时 此时转过的角度为 （秒） 综上所述，秒或秒或秒； 问题拓展： 不变，差值为 设， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$