精品解析：江苏省灌南高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

灌南高级中学2024—2025学年第一学期第一次月考 高一年级数学学科试卷 考试时间长度：120分钟 满分150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集定义可直接得到结果. 【详解】由交集定义得：. 故选：C. 2. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合，再由并集的运算求出结果即可； 【详解】因为集合，集合， 所以集合，所以， 故选：D． 3. 集合，，若，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，讨论或或，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择. 【详解】因为，故． ①当时，，则，与元素的互异性矛盾，故不成立； ②当时，解得，与元素的互异性矛盾，故不成立； ③当时，即，则，，故成立，故. 故选：C． 4. 已知，，，则的最小值为（　　） A. 20 B. 24 C. 25 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】凑配出积为定值后用基本不等式求最小值． 【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 5. 不等式的解集为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分､两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】关于的不等式的解集为. 当时，即当时，则有恒成立，符合题意； ②当时，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 6. 对于任意实数a，b，c，下列命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】采用举反例的方法，可判断A，B，C，利用不等式性质可判断D. 【详解】对于A：如果，当时，则，选项A不正确； 对于B：如果，取，，满足条件，但，选项B不正确； 对于C：如果，取，，满足条件，但，选项C不正确； 对于D：如果，则必有，故，则，选项D正确. 故选：D. 7. 已知a，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：若，因为，所以，即充分性成立； 由推不出，如，，满足， 此时，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件； 故选：A 8. 若正数x，y满足，则使得不等式恒成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用乘“1”法结合基本不等式即可求出，最后解出不等式即可. 【详解】由，且，则 则， 当且仅当时等号成立， 所以，解得， 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系逐项分析判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，集合表示数集，集合表示点集，两者不相等，故B错误； 对于C，因为点与点不一定重合，所以两个集合不一定相等，故C错误； 对于D，空集是任意集合的子集，故D正确． 故选：AD． 10. 命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出命题“任意，”为真命题的充要条件，然后可选出答案. 【详解】由可得， 当时，，所以， 所以命题“任意，”为真命题的充要条件是， 所以命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是ACD， 故选：ACD 11. 已知，.则下列选项一定正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件利用均值不等式、二次函数性质逐项分析即可判断作答. 【详解】因，，则， ，当且仅当，即时取“=”，A正确； 因，，则，当且仅当时取“=”，即的最大值为，B正确； 因，，则，，C不正确； 因，，则， 当且仅当，即时取“=”，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 满足的集合的个数是______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据已知条件，列出满足条件的集合，即可求解. 【详解】由题意可知：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16个集合满足条件. 故答案为：16. 13. 若命题“”是假命题，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由特称命题的否定得到真命题，再求的最小值即可. 【详解】命题“”是假命题等价于命题“”是真命题． 故，从而实数m的取值范围是. 故答案为：. 14. 如图，质量是W的重物挂在杠杆上距支点a处，质量均匀的杆子每单位长度的质量为m，则当杠杆的长为___________时，加在另一端用来平衡重物的力F最小(用W，m，a表示). 【答案】 【解析】 【分析】设杠杆长为米，根据杠杆平衡条件结合基本不等式求解即可. 【详解】设杠杆长为米，在另一端用来平衡重物的力F最小，由杠杆平衡条件可知：，则（当且仅当时，取等号），所以当杠杆的长为时，加在另一端用来平衡重物的力F最小 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用基本不等式求和的最小值. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，集合，求： （1）和； （2）． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由交集和并集的运算可得结果； （2）由补集和并集的运算可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以，. 【小问2详解】 因为，， 所以或，或 于是或． 16. 解关于的不等式. （1）; （2） （3）. 【答案】（1） （2） （3） 当时，解集为或， 当时，解集为或， 当时，解集为. 【解析】 【分析】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 不等式，即，解得， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 不等式， 当时，解集为或， 当时，解集为或， 当时，解集为. 17. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的包含关系列出不等式求解作答. （2）将问题转化为，再分空集和非空集合讨论求解作答. 【小问1详解】 由“”是“”的充分不必要条件，得， 又，， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而， 则，无解， 所以实数的取值范围. 18. 夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． （1）求的最大值; （2）该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 【答案】（1）2450元 （2）元/件 【解析】 【分析】（1）表达出，配方后得到最大值； （2）表达出A与的总利润为，从而得到不等式，求出A售价的最小值. 【小问1详解】 由题意得，每件短袖补衫A的利润为（元）， 所以 ， 当时，取到最大值，最大值为2450元． 【小问2详解】 设A与的总利润为（单位：元）， 则， 得，得． 故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件． 19. 解关于x的不等式： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式解法运算求解； （2）分类讨论和判别式的符号，结合一元二次不等式运算求解. 【小问1详解】 不等式，移项得，通分得， 可转化为且，解得， 故原不等式解集为． 【小问2详解】 当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灌南高级中学2024—2025学年第一学期第一次月考 高一年级数学学科试卷 考试时间长度：120分钟 满分150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 集合，，若，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 1 4. 已知，，，则的最小值为（　　） A. 20 B. 24 C. 25 D. 28 5. 不等式的解集为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 对于任意实数a，b，c，下列命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 7. 已知a，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若正数x，y满足，则使得不等式恒成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，.则下列选项一定正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 满足的集合的个数是______． 13. 若命题“”是假命题，则实数m的取值范围是______． 14. 如图，质量是W的重物挂在杠杆上距支点a处，质量均匀的杆子每单位长度的质量为m，则当杠杆的长为___________时，加在另一端用来平衡重物的力F最小(用W，m，a表示). 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，集合，求： （1）和； （2）． 16. 解关于的不等式. （1）; （2） （3）. 17. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 18. 夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． （1）求的最大值; （2）该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 19. 解关于x的不等式： （1）； （2）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $