6.2.4向量的数量积（1）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积（1） 教材定位 1.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》主题三“几何与代数”——平面向量及其应用、复数、立体几何初步； 2.人教A版必修第二册第六章“平面向量及其应用”第2节“平面向量的运算”第4讲“向量的数量积”。 目 录 Contents 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 01 02 03 04 教学思路 教学过程 05 06 01 02 03 平面向量的数量积是向量加法、减法和数乘向量运算的延续；数量积是一种新的向量运算，其运算结果是数量。 从几何和代数视角出发，深度挖掘向量数量积的几何意义、运算性质、投影向量；构建联系紧密、系统的平面向量数量积的知识结构。 平面向量数量积联系物理中力做功；借助功是一个标量，它用力和位移两个矢量来定义，自然过渡到数学上就是向量的数量积。 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 认知基础 平面向量的线性运算 数学思想和方法 学习经验 认知障碍 数量积运算不封闭 数量积运算性质丰富 学习经历 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 1 2 3 通过借助向量加法等学习经验，以物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的含义、物理意义和几何意义；培养学生归纳概括、类比迁移的能力，提升数学抽象、数学运算的核心素养； 经历投影及投影向量的学习，体会数形结合、分类讨论的数学思想方法，提升直观想象的数学素养; 通过开放性问题，总结向量数量积的性质，体会特殊到一般和分类讨论的数学思想方法，培养学生抽象概括、逻辑推理的数学素养。 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 平面向量数量积的概念 重点一 平面向量数量积的性质 重点二 平面向量数量积概念的抽象概括 难点一 难点二 投影向量的理解及应用 探究活动1 探究活动3 探究活动1 探究活动2 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 本节内容尝试基于CTI模式开展教学探索。 CTI由construct(建构)、Transfer(迁移)、Innovate(创新)的首字母组成，CTI模式是喻平教授提出的发展学生数学核心素养的一种教学模式。 建构路径 建构（环节1~3） 迁移（环节4） 创新（环节5） 背景 定义 理解 应用 问题1:前面我们已经学习了向量的加、减、数乘三种运算，类比数的运算，向量之间还可以建立哪些运算? 问题2:类比研究向量加法运算的基本路径，怎样研究向量的乘法? 力 力的合成 向量 向量的加法 背景 定义 设计意图：向量的数量积运算和向量的加、减、数乘线性运算一样，也有其数学背景和物理背景。奥苏贝尔认为：理解的本质是在新旧知识之间建立联系．所以，问题1、2的目的是唤醒学生对已有数学背景的回忆和重温研究向量运算的逻辑顺序，培养学生的类比思想，此外能体现了单元教学内容的整体性、方法的一致性。 环节一：复习引入，温故知新 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 问题3:露营车在力F的作用下产生位移s，且力F的方向与物体运动的方向成θ角，请同学们思考：力F做的功W如何表示？功W，力F和位移s各是什么量？ W=|F||s|cosθ 其中|F|表示力F的大小，|s|表示位移s的大小，θ是F与s的夹角（0≤θ≤π） 设计意图：为向量的数量积和投影向量的学习做铺垫；提升数学抽象的核心素养。 环节二：借助物理，情景引入 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 向量的夹角： 已知两个非零向量，， 如图，是平面上的任意一点，作， ,则叫做向量与的夹角. 注：1.向量的夹角可表示为<>； 2.向量夹角范围是. θ 环节三：抽象概括，形成概念 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 θ θ （1）当θ=0，a与b同向 （2）当θ为锐角 （2）当θ=，a与b垂直，记作a⊥b （4）当θ为钝角 （5）当θ=π，a与b反向 两向量夹角，共起点 设计意图：研究向量夹角时要注意向量的方向，并且要根据夹角的不同类型进行分类讨论，培养学生分类讨论和数形结合的思想。 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 W=|F||s|cosθ a.b=|a||b|cosθ 问题4：如果我们将公式中的矢量力与位移类比推广为一般向量，你会概括出什么结论？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 两个向量的乘积等于向量的大小及其夹角余弦的乘积 类 比 探究活动1 数量积的概念 定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 设计意图：立足向量的物理情境，类比学生的已有经验，抽象、概括和表达平面向量数量积的概念。 环节三：抽象概括，形成概念 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 问题5：特别的，若与共线，=？；若呢？ (1) (2)当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或. 思考1：对比向量的线性运算，数量积的运算结果有什么不同？ 设计意图：思考1是为了引导学生将向量数量积与向量线性运算相区别；问题5是为了分析两向量特殊位置时数量积的情况，为后续得出向量数量积性质奠定基础。 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 注意： “·”不能省略，也不能写成“×” 环节三：抽象概括，形成概念 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 环节三：抽象概括，形成概念 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 典例1已知 变式1 设计意图：帮助学生巩固向量数量积运算的定义，理解其中的算理，引导学生总结出数量积、模长、夹角的关系： “知三求一”，发展学生的数学运算素养。 思考2：，其中，你会联想到什么？ O θ M1 O θ M1 投影 环节四：几何角度，深化认知 探究活动2 投影与投影向量 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 环节四：几何角度，深化认知 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 设计意图：区别投影和投影向量，投影是一种变换，投影向量是一个向量。 思考3：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？ 与共线，于是. ①当为锐角时， 与方向相同， ， 所以 O θ M1 O θ M1 ②当为钝角时， 与方向相反， ， 即 环节四：几何角度，深化认知 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 ③当时， 所以 ④当时， 所以 O M1 O θ ⑤当为直角时，， 所以 O θ 对于任意的， 都有 设计意图：通过对θ分类讨论，归纳获取投影向量的一般表达式，不惜在此探究过程上做足功夫，意在让学生从整体感知分类与归纳的数学思想与方法，逐步渗透并发展学生的数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。 环节四：几何角度，深化认知 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 O θ M1 a.b=.b a.b=|a|cosθe.b 降维思想 问题6：a与b的数量积转化为向量a在向量b上的投影向量与b的数量积有什么好处？ 设计意图：投影是构建高维空间与低维空间之间联系的桥梁，引入投影向量将不共线的向量的数量积转化为共线向量的数量积，体会一般和特殊的转化。 环节四：几何角度，深化认知 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 向量数量积的几何意义：向量a在向量b方向上的投影向量与向量b的数量积。 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 典例2：如图1，正方形ABCD，边长为2，点E是边CB上的一个动点。记=a,=b，求a.b 环节四：几何角度，深化认知 变式2：如图2，在⊙C中，是不是只需要知道⊙C的半径或者弦长AB的长度，就可以算出 A B D C E a b A B . C 图1 图2 设计意图：巩固向量数量积的定义和投影向量。 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角。 环节五：开放问题，探究性质 问题7：正六边形ABCDEF的边长为1，在边上取点，形成向量a,b，求出你所选取的向量a,b的数量积。并在此过程中，探究数量积的几何性质。 设计意图：学生先独立思考，再小组合作，在问题解决中探究性质，提升逻辑推理的核心素养。 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 （4）a·b≤|a|·|b|. （1）e·a a·e =|a|cos = （2）a⊥b a·b=0 a·b=|a||b|， （3）当a与b同向时， 当a与b反向时， a·b=－|a||b|， 特别地 探究活动3 数量积的运算性质 环节六：课堂练习,巩固提升 设计意图：练习1考查学生对向量夹角概念和数量积定义的掌握；练习2考查学生对投影向量概念的理解以及数学运算能力的掌握 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 练习1.在等腰中，AB=BC=4，=__________， 则=__________，=__________， 练习2.在Rt中，AC=2，求的值______. 练习3.(原创题)年轻一代消费者对“走出去”的渴望日益增长，露营项目逐渐成为当代年轻人的热门娱乐方式之一。上周末，官老师外出露营，以与水平方向夹角为α=37°的斜向上的拉力F，沿水平方向移动了|s|=100m的距离，推车内物品质量m=20kg。已知F=200N，物体受到的摩擦力是它与水平面间压力的0.2倍，求力F对物体做的功。(取g=10m/s²，sin37°≈0.6,cos37°≈0.8） 环节六：课堂练习,巩固提升 设计意图：体现向量的数量积在实际生活中的应用，实现了数学与物理学科之间的跨学科学习，同时又与问题3相呼应。 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 1.回顾构建向量数量积定义的路径。 2.阐述一下你对向量数量积定义的理解。 3.用到了哪些数学思想？ 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 环节七：总结归纳 1.向量的夹角 2.数量积的定义 3.投影向量 4.数量积的性质 6.2.4 向量的数量积（1） 例1. 例2. 环节八：板书设计 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 设计意图：依据教学的直观性原则和启发性原则，结合学生的学习策略的特点。 1.基础题（必做） 教材P20练习1.2.3 2.巩固题（必做） 3.提升题（选做） ①P54的第2题 ②思考：我们已经学了向量的加法、减法、数量积，请同学们思考向量是否存在除法？ 环节九：课后作业，分层设计 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 教材P24的21题 设计意图：作业分层设计，分层布置，符合“双减”背景下的教学要求，让每个孩子在有效的时间收获更多的知识。通过布置教材作业，给学生一个信号：重视教材，符合新课改背景下强调“回归教材”的重要性要求。 数学学习不是刷题学习，要重视知识的本质； 数学概念不是枯燥的，它与我们的生活息息相关。 理解数学 学生对于概念课，容易注意力不集中，需要从学生熟悉的知识和情景入手，如向量加法、露营车装载物品做功等； 只在投影向量和数量积性质上安排了小组合作，可在数量积结果是数量再设置一个小组合作，以此提高学生学习兴趣和参与度。 理解学生 学生理解概念较难，且容易混淆，所以课堂中要重视概念的本质； 问题链的设置形式比较单一，需要继续改进。 理解教学 环节十：教学反思 内容分析 内容分析 认知水平 目标分析 重点难点 教学思路 教学过程 $$