培优(4)第十四章 整式的乘法与因式分解(课件PPT)-【宝典训练】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂(人教版)

培优(4)——第十四章　 整式的乘法与因式分解 一、幂的运算及应用 1．若am＝3，an＝4，则am＋n＝(　　) A．7 B．12 C．43 D．34 B 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 2．已知x＋y－3＝0，则2y·2x的值是___． 3．已知3m＝a，3n＝b，则32m＋3n值(用a，b表示)为______ 8 a2b3 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 4．已知a＝813，b＝275，c＝97，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．a<b<c D．b>c>a 5．比较a＝255，b＝344，c＝433的大小，正确的是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．c<a<b D B 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 6．已知a＝240，b＝332，c＝424，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 7．计算(－0．25)2 022×42 021的结果是(　　) A．－1 B．1 C．0．25 D．44 020 B C 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 －4 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 9．若a＋b＋c＝3，求22a－1·23b＋2·2a＋3c的值． 解：22a－1·23b＋2·2a＋3c＝22a－1＋3b＋2＋a＋3c＝23(a＋b＋c)＋1， ∵a＋b＋c＝3， ∴原式＝23×3＋1＝210＝1 024． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 10．在幂的运算中规定：若ax＝ay(a>0且a≠1，x，y是正整数)，则x＝y．利用上面结论解答下列问题： (1)若9x＝36，求x的值； 解： 9x＝36， ∴32x＝36， ∴2x＝6， 解得x＝3； 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (2)若3x＋2－3x＋1＝18，求x的值； 解：∵3x＋2－3x＋1＝18， ∴3x＋1×3－3x＋1＝18， 2×3x＋1＝2×32， ∴x＋1＝2， 解得x＝1； 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (3)若m＝2x＋1，n＝4x＋2x，用含m的代数式表示n． 解：∵m＝2x＋1，n＝4x＋2x， ∴n＝(2x)2＋2x＝2x(2x＋1)＝m2x＝m(m－1)＝m2－m． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 11．(1)已知9n＋1－32n＝72，求n的值． 解：∵9n＋1－32n＝72， ∴9×9n－(32)n＝72， ∴9×9n－9n＝72， ∴8×9n＝72， ∴9n＝9，∴n＝1； 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (2)已知2a×3b×37c＝3 996，其中a，b，c为正整数，求(a－b－c)10的值． 解：∵2a×3b×37c＝3 996，3 996＝22×33×37， ∴a＝2，b＝3，c＝1， ∴(a－b－c)10＝(2－3－1)10＝(－2)10＝1 024． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 12．阅读理解：我们知道，一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子23＝8可以变形为log28＝3，log525＝2也可以变形为52＝25．在式子23＝8中，3叫做以2为底8的对数，记为log28．一般地，若an＝b(a>0且a≠1，b>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为logab，即logab＝n． 根据上面的规定，请解决下列问题： (1)计算：log232＝___，log216＋log24＝___； 5 6 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (2)小明在计算log1025＋log104的时候，采用了以下方法： 设log1025＝x，log104＝y， ∴10x＝2 510y＝4， ∴10x＋y＝10x×10y＝25×4＝100＝102， ∴x＋y＝2， ∴log1025＋log104＝2． 通过以上计算，我们猜想logaM＋logaN＝______________． loga(M×N) 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 二、整式乘法及乘法公式 13．已知关于x的四次三项式ax4－(a－12)x3－(b＋3)x2－bx＋11中不含x3及x2项，则这个多项式为______________ 14．已知(x2＋ax)与(x2－3x＋b)所得乘积的结果中不含x2和x3的项，则a＋b＝____． 15．已知a2＋b2＝5，ab＝2，则(a＋b)2的值为___． 16．若a－b＝10，ab＝5，则a2＋b2的值为_____． 17．已知(x－1)2＝2，则代数式2x2－4x＋5＝___． 12x4＋3x＋11 12 9 110 7 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 18．已知m－n＝3，则m2－n2－6n的值___． 19．把式子(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)化简的结果为_________． 9 2512－1 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 20．已知x2＋2mx＋16是完全平方式，则m的值为(　　) A．±4 B．4 C．±8 D．8 A 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 21．如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛，用含a，b的整式表示花坛的面积．(单位：米) 解：(a＋a＋3b)(2a＋b)－3b·2a ＝(2a＋3b)(2a＋b)－6ab ＝4a2＋2ab＋6ab＋3b2－6ab ＝(4a2＋2ab＋3b2)平方米， ∴用含a，b的整式表示花坛的面积为(4a2＋2ab＋3b2)平方米． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 22．如图，学校有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，学校计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．当a＝3米，b＝2米时，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元？ 解：阴影的面积S＝(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)(a＋b) ＝6a2＋3ab＋2ab＋b2－(a2＋2ab＋b2) ＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2 ＝(5a2＋3ab)平方米， 当a＝3，b＝2时，50(5a2＋3ab)＝50(5×9＋3×2×3)＝3 150(元)； 答：完成绿化共需要3 150元． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 23．如图是某学校大门口指示牌．已知该指示牌长为(m＋2n)cm，宽为(m＋n)cm．根据图中所标数据，求空白部分的面积和箭头的面积． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 24．张老师用4张长为a、宽为b的小长方形(如图1)拼成了一个边长为a＋b的正方形(如图2)观察图形，回答下列问题： 图1　　　　　图2 (1)图2中，阴影部分的面积是______________； (2)观察图1、图2，请你写出代数式(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的关系：_______________________． (a＋b)2－4ab (a＋b)2＝(a－b)2＋4ab 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (3)应用：已知x＋y＝8，xy＝12，求值：①(x－y)2；②x－y． 解：因为x＋y＝8，xy＝12， ①(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝82－48＝16； ②∵(x－y)2＝16， ∴x－y＝±4． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 25．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，当然，没有敏锐的观察力是做不到的，数学家们往往是这样来研究问题的：特值探究—猜想归纳—逻辑证明—总结应用，下面我们也来像数学家们那样分四步找出这两个代数式的关系：对于代数式(a＋b)(a－b)与a2－b2． (1)特值探究：当a＝－5，b＝3时，(a＋b)(a－b)＝____；a2－b2＝____； (2)猜想归纳：观察(1)的结果，写出(a＋b)(a－b)与a2－b2的关系：______________________． 16 16 a2－b2＝(a＋b)(a－b) 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (3)逻辑证明：如图，边长为a的正方形纸片剪出一个边长为b的小正方形之后，剩余部分(即阴影部分)又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则图1中阴影面积可表示为________，图2中阴影部分面积可表示为____________，由阴影部分的面积相等得到等式__________________； 　　　　 图1　　　图2 a2－b2 (a＋b)(a－b) a2－b2＝(a＋b)(a－b) 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (4)总结应用：利用你发现的关系，求： ①若a2－b2＝6，且a＋b＝2，则a－b＝___； ②计算：1022－982． 解：1022－982＝(102＋98)(102－98)＝200×4＝800． 3 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 26．图1是一个长为2b，宽为2a的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形．解答下列问题． (1)图2中阴影部分的面积可表示为_________；对于(b－a)2，(b＋a)2，ab，这三者间的等量关系为_______________________； (2)利用(1)中所得到的结论计算：若x＋y＝－3，xy＝－ ，则x－y＝_____； (b－a)2 (b－a)2＝(b＋a)2－4ab ±4 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 解：∵整个长方形是长为a＋3b，宽为a＋b， ∴面积为(a＋3b)(a＋b)， ∵长方形面积是由8个部分组成，a2＋4ab＋3b2， ∴(a＋3b)(a＋b)＝a2＋4ab＋3b2； 由答图看出m2＋4mn＋3n2＝(m＋n)(m＋3n)， ∵m2＋4mn＋3n2＝0，∴(m＋n)(m＋3n)＝0， (3)观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若m2＋4mn＋3n2＝0(n≠0)，试求 的值． 答图 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 27．填空： (a－b)(a＋b)＝a2－b2； (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3； (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4； … (1)(a－b)(a2 022＋a2 021b＋…＋ab2 021＋b2 022)＝________________； (2)猜想： (a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝________；(其中n为正整数，且n≥2) a2 023－b2 023 an－bn 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (3)利用(2)中猜想的结论计算： ①1＋2＋22＋…＋22 021＋22 022＋22 023； 解：原式＝22 023＋22 022×1＋22 021×12＋…＋22×12 021＋2×12 022＋12 023， ∴a＝2，b＝1， ∴原式＝22 024－1； 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 ②310－39＋38－37＋…＋34－33＋32－3． 解：由题意可得：a＝3，b＝－1， ∴原式＝[3－(－1)]×[310＋39×(－1)1＋38×(－1)2＋…＋33×(－1)7＋32×(－1)8－31×(－1)9＋(－1)10] ＝311－(－1)11 ＝177 148， 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 28．如图，甲长方形的长为m＋7，宽为m＋1，面积为S1；乙长方形的长为m＋4，宽为m＋2，面积为S2．(m为正整数) (1)试比较S1，S2的大小； 解：S1＝(m＋1)(m＋7)＝m2＋8m＋7， S2＝(m＋2)(m＋4)＝m2＋6m＋8， ∴S1－S2＝(m2＋8m＋7)－(m2＋6m＋8)＝2m－1， ∵m为正整数， ∴2m－1>0， ∴S1>S2； 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (2)现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差(即S－S1)是一个常数，求出这个常数． 解：∵甲的周长为2(m＋7＋m＋1)＝4m＋16， ∴正方形的边长为(4m＋16)÷4＝m＋4， ∴正方形的面积S＝(m＋4)2＝m2＋8m＋16， ∴S－S1＝m2＋8m＋16－(m2＋8m＋7)＝9， ∴这个常数是9． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 29．两个边长分别为a和b的正方形如图放置(图1)，其未叠合部分(阴影)面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图2)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2． (1)用含a，b的代数式分别表示S1，S2； 解：由图可得，S1＝a2－b2，S2＝2b2－ab， 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (2)若a＋b＝8，ab＝15，求S1＋S2的值； 解：∵a＋b＝8，ab＝15， ∴S1＋S2＝a2－b2＋2b2－ab＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝82－3×15＝19； 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (3)当S1＋S2＝37时，求出图3中阴影部分的面积S3． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 三、因式分解 30．把下列各式分解因式： (1)4a2＋25b2＋20ab； (2)1－2xy＋x2y2； 解：原式＝4a2＋20ab＋25b2＝(2a＋5b)2； 解：原式＝(1－xy)2； 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (4)(a＋b)2－4(a＋b－1)； (5)4－12(y－x)＋9(x－y)2． 解：原式＝(a＋b)2－4(a＋b)＋4＝(a＋b－2)2； 解：原式＝4＋12(x－y)＋9(x－y)2＝[2＋3(x－y)]2＝(2＋3x－3y)2． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 31．因式分解： (1)a2(x－y)＋16(y－x)； (2)x2(x－4)＋10x(x－4)＋25(x－4)． 解：原式＝a2(x－y)－16(x－y)＝(x－y)(a2－16)＝(x－y)(a＋4)(a－4)； 解：原式＝(x－4)(x2＋10x＋25)＝(x－4)(x＋5)2． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 32．阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解． 例如：将式子x2＋3x＋2因式分解． 分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2． 解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)x2＋7x－18＝______________； (2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是__________； (x－2)(x＋9) ±2，±7 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0． 解：x2－6x＋8＝0，(x－2)(x－4)＝0， (x－2)＝0或(x－4)＝0，∴x1＝2，x2＝4． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 33．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1． 解：将“x＋y”看成整体，设x＋y＝m，则原式＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2． 再将x＋y＝m代入，得原式＝(x＋y＋1)2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题： 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (1)因式分解：1－2(x－y)＋(x－y)2； (2)因式分解：25(a＋2)2－10(a＋2)＋1； 解：设x－y＝m， 原式＝1－2m＋m2＝(1－m)2＝[1－(x－y)]2＝(1－x＋y)2； 解：设a＋2＝m， 原式＝25m2－10m＋1＝(5m－1)2＝[5(a＋2)－1]2＝(5a＋9)2； 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (3)因式分解：(y2－6y)(y2－6y＋18)＋81． 解：设y2－6y＝m， 原式＝m(m＋18)＋81＝m2＋18m＋81＝(m＋9)2＝(y2－6y＋9)2＝(y－3)4． 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 34．(1)已知：a2－b2＝(a－b)(a＋b)； a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)； a4－b4＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)； 按此规律，则： ①a5－b5＝________________________________________； a5－b5＝(a－b)(a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4) 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 (2)观察下列各式： (x2－1)÷(x－1)＝x＋1 (x3－1)÷(x－1)＝x2＋x＋1 (x4－1)÷(x－1)＝x3＋x2＋x＋1 (x5－1)÷(x－1)＝x4＋x3＋x2＋x＋1 … ③能得到一般情况下(xn－1)÷(x－1)＝________________________； ④根据公式计算：1＋2＋22＋23＋…＋262＋263＝__________________ ______________________________________________． xn－1＋xn－2＋…＋x＋1 1＋2＋22＋23＋24＋… ＋262＋263＝(264－1)÷(2－1)＝264－1 第 ‹#› 页 培优(4)——第十四章　整式的乘法与因式分解 返回首页 本节内容到此结束！ logo $$