2024年陕西省普通高中学业水平合格性考试·数学-【学考一本通】2025年陕西省普通高中学业水平测试数学

2024年陕西省普通高中学业水平合格性考试·数学 (满分:100分) 第一部分(选择题 共48分) 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.若全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,5},B={2,3,4},则(CUA)∩B= ( ) A.{3} B.{2,4} C.{2,3,4} D.⌀ 2.已知i为虚数单位;则复数1-i1+i= ( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 3.命题“∀x∈Q,x∈R”的否定是 ( ) A.∃x∉Q,x∉R B.∃x∈Q,x∉R C.∀x∈Q,x∉R D.∀x∉Q,x∈R 4.立德中学为了解各年级学生课外阅读情况,用分层抽样的方法从全校2500名学生中抽取100 名学生进行问卷调查.已知高二年级共有800名学生,则该年级应抽取的学生人数是 ( ) A.25 B.30 C.32 D.33 5.若角α的终边与单位圆相交于点P 1 2 ,3 2 ,则sin π2-α 的值是 ( ) A.12 B.- 1 2 C.32 D.- 3 2 6.下列命题为真命题的是 ( ) A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a<b<0,则1a> 1 b D. 若a<b<0,则a2<ab 7.函数f(x)=lnx-2x 的零点所在区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 8.已知方程|lgx|=m(m>0)有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2),则下列选项正确的是 ( ) A.x1=10m B.x2<3m C.x1x2<1 D.x1+x2>2 —94— 二、选择题(本题共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得4分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.关于平面向量,下列选项正确的是 ( ) A.若a=b,b=c,则a=c B.a·a=|a|2 C.在△ABC中,有AB→+BC→+CA→=0 D.若AB→ 与CD→ 共线,则A,B,C,D 四点共线 10.已知函数f(x)=3sinx-π3 ,则下列选项正确的是 ( ) A.函数f(x)的值域为[-3,3] B.函数f(x)的最小正周期为2π C.函数f(x)在区间 -π6 ,5π 12 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上单调递减 D.函数f(x)的图象关于点 π3 ,0 对称 11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1,则下列选项正确的是 ( ) A.BD1⊥AC B.BC1 与CD1 所成角的大小为 π 6 C.该正方体的外接球表面积为2π D.三棱锥A-B1CD1 的体积为 1 3 12.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<2},则下列选项正确的是 ( ) A.a<0 B.a+b+c>0 C.关于x的不等式bx+c>0的解集为{x|x<6} D.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为 x|x<-13 或x>12 第二部分(非选择题 共52分) 三、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分) 13.求值:8 1 3+lg2+lg5= . 14.函数y=x+4x (x>0)的最小值是 . 15.若e1,e2 是两个不共线的单位向量,则向量e1+e2 与e1-e2 的夹角是 . 16.为测量河对岸的塔高,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=45°, ∠BDC=30°,CD=30m,在基点D处测得塔顶A的仰角为30°,则塔高AB= m. —05— 四、解答题(本题共3小题,每小题12分,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.2024年4月26日,神舟十八号乘组的3名宇航员顺利进驻天宫,与神舟十七号乘组的3名宇 航员成功会师.在这激动人心的时刻,某学校组织学生开展航天知识竞答活动,随机抽取100 名同学的成绩进行统计分析,绘制了频率分布直方图. (Ⅰ)根据频率分布直方图估计该次知识竞答成绩的众数及平均数; (Ⅱ)若从这6名宇航员中随机选取2名宇航员共同完成一项任务,求选取的2名宇航员都来 自神舟十八号乘组的概率. —15— 18.如图,四棱锥P-ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E 为PD 的中点. (Ⅰ)求证:PB∥平面EAC; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角P-AC-E 的余弦值. 19.已知函数f(x)=1-a ·2x 1+2x (a∈R)是定义在R上的奇函数. (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)判断函数f(x)的单调性(无需证明); (Ⅲ)若不等式f(sinxcosx)+f(m+sinx+cosx)>0对于x∈R恒成立,求实数m 的取值 范围. —25— kπ(k∈Z), 又θ∈(0,π),故k=0,即θ=π6 或θ=π2 ; (3)当 x∈ 0,π2 时,2x - π6 ∈ -π6,5π6 ,则 sin2x-π6 ∈ -12,1 , 故f(x)∈(0,3],即f(x)在 0,π2 上的值域为(0,3]. 2024年陕西省普通高中学业水平合格性 考试·数学 1~4 BDBC 5~8 ABCD 9.ABC 10.ABD 11.AD 12.ABD 13.3 14.4 15.90° 16.10(3- 3) 17.解:(Ⅰ)众数85,平均数为55×0.1+65×0.15+75× 0.25+85×0.3+95×0.2=78.5 (Ⅱ)记神舟十七号3名宇航员为a1,a2,a3; 记神舟十八号3名宇航员为b1,b2,b3, 从这6名宇航员中随机取2名宇航员有以下可能: a1a2,a1a3,a1b1,a1b2,a1b3,a2a3,a2b1,a2b2,a2b3,a3b1, a3b2,a3b3,b1b2,b1b3,b2b3,共15种. 而2名宇航员都来自神舟十八号乘组有以下可能: b1b2,b1b3,b2b3,共3种. 所以概率为P=315= 1 5. 18.解:(Ⅰ)连接BD 交AC 于F,连接EF, ∵ABCD 是正方形, ∴F 是BD 的中点, ∵E 是PD 的中点, ∴EF∥PB 又EF⊂平面EAC,PB⊄平面EAC, ∴PB∥平面EAC. (Ⅱ)以DA,DC,DP 所在的直线为x 轴,y轴,z轴建立 坐标系,不妨设DA=2, 则A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,0,1),P(0,0,2). ∴AC→=(-2,2,0),AE→=(-2,0,1),AP→=(-2,0,2). 设平面EAC的法向量m=(a,b,c), 则 m·AC→=0 m·AE→=0 ,∴ -2a+2b=0-2a+c=0 ,即 b=ac=2a , ∴m=(1,1,2); 设平面PAC的法向量n=(x,y,z) 则 n·AC→=0 n·AP→=0 , ∴ -2x+2y=0 -2x+2z=0 ,即 y=xz=x ∴n=(1,1,1) 设平面EAC与平面PAC 所成的角为θ. 则cosθ=|cos<m,n>|=|m ·n| m·n = 1+1+2 6· 3 =2 23 . ∴二面角P-AC-E 的余弦值为2 23 . 19.解:(Ⅰ)∵f(x)是R上的奇函数, ∴f(0)=0,即1-a ·2° 1+2° =0 ,∴a=1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=1-2 x 1+2x = - (1+2x)+2 1+2x = -1 + 2 1+2x . 经判断知f(x)在R上单调递减. (Ⅲ)∵f(x)是R上的奇函数且在R上单调递减, f(sinxcosx)+f(m+sinx+cosx)>0对于x∈R恒 成立. ∴f(m+sinx+cosx)>-f(sinxcosx) ∴f(m+sinx+cosx)>f(-sinxcosx), ∴m+sinx+cosx<-sinxcosx, 即-m>sinx+cosx+sinxcosx在R上恒成立, 令g(x)=sinx+cosx+sinxcosx, ∴只需-m>g(x)max(x∈R). 则g(x)=sinx+cosx+ (sinx+cosx)2-1 2 =12 (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)-12. 令sinx+cosx=t,则t= 2sin x+π4 ∈ - 2,2 , ∴y=12t 2+t-12= 1 2 (t+1)2-1 t∈[- 2,2] 由二次函数知识知,当t= 2时,ymax= 1 2× (2)2+ 2 -12= 1 2+ 2 ,即g(x)max= 1 2+ 2. 从 而-m>12 + 2, ∴m<-12- 2. 故m 的取值范围为 -∞,-12- 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —67—