陕西省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷(5)-【学考一本通】2025年陕西省普通高中学业水平测试数学

陕西省普通高中学业水平合格性考试 仿真模拟试卷(五) (满分:100分) 第一部分(选择题 共48分) 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.已知函数y=2sin(ωx+φ),该图象上最高点与最低点的最近距离为5,且点(1,0)是函数的一 个对称点,则ω和φ 的值可能是 ( ) A.ω=-π3 ,φ=- π 3 B.ω=- π 3 ,φ= 2π 3 C.ω=π3 ,φ= π 3 D.ω= π 3 ,φ= 2π 3 2.已知f(x)= x2-1的定义域为A,集合B={x∈|R|1<ax<2},若B⊆A,则实数a的取值范 围是 ( ) A.[-2,1] B.[-1,1] C.(-∞,-2]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 3.下列命题中是存在量词命题并且是假命题的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a,b,若a-b≤0,则a≤b D.存在两个全等的三角形的面积不相等 4.在复平面内,复数z1,z2 对应的两个点关于虚轴对称,已知z1=1+i,则z1z2= ( ) A.-2 B.2 C.-2-i D.-2+i 5.已知集合 M={x|y=ln(x-1)},N={x|x≥1},则 ( ) A.M∪N=M B.M∩N=M C.M∩N=⌀ D.M∩N=N 6.已知a=0.40.2,b=20.4,c=log20.4,则 ( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 7.已知实数λ同时满足:(1)AD→=λAB→+(1-λ)AC→,其中D 是△ABC边BC 延长线上一点;(2) 关于x的方程2sin2x-(λ+1)sinx+1=0在[0,2π)上恰有两解,则实数λ的取值范围是 ( ) A.λ<-2 2-1或λ=-2 B.λ<-4 C.λ=-2 D.λ<-4或λ=-2 2-1 8.已知函数f(x)= 2-|x|,(x≤2) x2-6x+8,(x>2) .若f(f(a))≥0,则实数a的取值范围是 ( ) A.[-2,2] B.[-4,3+ 3]∪ 3+ 5,+∞ C.-2,3+ 3 D.[-2,2]∪[4,+∞) —54— 二、选择题(本题共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得4分,部分选对的得2分,有选错的得0分.) 9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是 ( ) A.若sinA>sinB,则A>B B.若△ABC为锐角三角形,则sinA>cosB C.若acosB-bcosA=C,则△ABC一定为直角三角形 D.若tanA+tanB+tanC>0,则△ABC可以是钝角三角形 10.设复数z=12- 3 2i ,则下列说法正确的是 ( ) A.z的虚部是 32i B.z+z=|z| C.复平面内z和z分别对应的两点之间的距离为1 D.z2+z=0 11.函数f(x)=3sin(2x+φ)的部分图象如图所示,则下列选项中正确的有 ( ) A.f(x)的最小正周期为π B.f(2π3 )是f(x)的最小值 C.f(x)在区间 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的值域为 -32 ,3 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 D.把函数y=f(x)的图象上所有点向右平移π12 个单位长度,可得到函数y=3sin2x的图象 12.下列说法中,不正确的有 ( ) A.若对任意x1,x2∈I,当x1<x2 时, f(x1)-f(x2) x1-x2 >0,则y=f(x)在I上是增函数 B.函数y=x2 在R上是增函数 C.函数y=-1x 在定义域上是增函数 D.函数y=1x 的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞) 第二部分(非选择题 共52分) 三、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分.) 13.设α=1000°,若β是与α终边相同的最小正角,则β= . 14.函数f(x)=a2x-1+3(a>0且a≠1)恒过定点 . 15.计算:loga2+loga0.5-log25×log34×log59= . —64— 16.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,∠ACC1=60°,∠BCC1=45°,侧棱CC1 的长 为1,则该三棱柱的高等于 . 四、解答题(本题共3小题,每小题12分,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在第29个“世界读书日”到来之际,树人中学举办了读书知识竞赛,现从参加竞赛的同学中, 选取100名同学并将其成绩(百分制,均为整数)分成六组:第1组[40,50),第2组[50,60), 第3组[60,70),第4组[70,80),第5组[80,90),第6组[90,100],得到如图所示的频率分布 直方图. (1)求a的值,并估计这100名学生成绩的第85百分位数(保留一位小数); (2)若先用分层抽样方法从得分在[40,50)和[50,60)的学生中抽取5人,然后再从抽出的5 人中任意选取2人,调查其读书情况,求此2人得分不在同一组的概率. —74— 18.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,E 为PD 的中点,AD∥BC,∠BAD=90°, PA=AB=BC=1,AD=2. (1)求证:平面PAC⊥平面PDC (2)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 19.已知向量a=(2sinx,cosx),b= cosx-π6 ,3sinx ,函数f(x)=a·b-cos2x+1. (1)求f(x)的解析式; (2)已知f(θ)=2,其中θ∈(0,π),求θ的值; (3)求f(x)在 0,π2 上的值域. —84— 在 Rt△ACF 中,AF =BE = 22-12 = 3,AC = 22+12= 5,∠AFC=π2 , 故cos∠AFC= 3 5 = 155 . 所以直线AC和直线BE 所成角的余弦值为 155 . 19.答案:(1)-cosα (2)2 65 (3)-12 解析:(1)f(α)= sin(π-α)cos(2π-α)cos -α+3π2 cos π2-α sin(-π-α) = sinα·cosα·(-sinα) sinα·sinα =-cosα ; 即f(α)=-cosα (2)cosα-3π2 =-sinα=15,故sinα=-15,因为α为 第三象限角, 故f(α)=-cosα= 1-sin2α= 1-(15 )2=2 65 ,即 f(α)=2 65 . (3)当α=-31π3 时, f(-31π3 )=-cos(-31π3 )=-cos31π3 =-cos (10π+ π 3 )=-cosπ3=- 1 2 , 故此时f(α)=-12. 陕西省普通高中学业水平合格性考试 仿真模拟试卷(五) 1.D 由题意函数的周期T 满足,T2= 5 2-42=3= 2π2|ω| , 所以ω=±π3 , 又点(1,0)是函数的一个对称点,所以ω+φ=kπ,k∈Z, 所以 ω=π3 φ=kπ- π 3 ,k∈Z 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 ω=-π3 φ=kπ+ π 3 ,k∈Z 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,对比选项可 知,只有当 ω=π3 φ= 2π 3 k=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 时满足题意. 故选:D. 2.B f(x)= x2-1的定义域为A, 所以x2-1≥0, 所以x≥1或x≤-1, ①当a=0时,B={x∈R|1<0x<2}=⌀, 满足B⊆A, 所以a=0符合题意; ②当a>0时, B= x∈R|1a<x< 2 a , 所以若B⊆A, 则有1 a≥1 或2 a≤-1 , 所以0<a≤1或a≤-2(舍) ③当a<0时, B= x∈R|2a<x< 1 a , 所以若B⊆A, 则有1 a≤-1 或2 a≥1 (舍), -1≤a<0, 综上所述,a∈[-1,1], 故选:B. 3.D A、C项是全称量词命题,B项是存在量词命题,是真 命题;因为全等的三角形的面积一定相等,所以存在两个 全等的三角形的面积不相等是存在量词命题,且为假命 题,故选:D. 4.A 因 为 复 数 z1,z2 对 应 的 两 个 点 关 于 虚 轴 对 称,z1=1+i, 所以z2=-1+i, 所以z1z2=(1+i)(-1+i)=-2. 故选:A. 5.B M={x|y=ln(x-1)}=(1,+∞),N=[1,+∞),所 以 M⊂N, 即 M∩N=M,M∪N=N.故选B. 6.C 易知a=0.40.2>0,b=20.4>0 又c=log20.4<log21=0,a=0.40.2<20.2<20.4=b,所以 c<a<b,故选:C. 7.D ∵AD→=λAB→+(1-λ)AC→=AC→+λ(AB→-AC→)=AC→ +λCB→, 又AD→=AC→+CD→,∴λCB→=CD→, ∵D 是△ABC边BC 延长线上一点,∴λ<0, ∵关于x的方程2sin2x-(λ+1)sinx+1=0在[0,2π)上 恰有两解, 令t=sinx,由正弦函数的图象可知, 方程2t2-(λ+1)t+1=0在(-1,1)上有唯一解, ∴ [2- (λ +1)+1][2+ (λ +1)+1]<0 或 Δ=0 -1<λ+14 <1 , 解得λ<-4或λ>2(舍)或λ=-1-2 2或λ=-1+2 2 (舍), ∴λ<-4或λ=-1-2 2. 故选:D. 8.B 当 f(a)≤2时,由 f(x)= 2-|x|,(x≤2) x2-6x+8,(x>2) , f(f(a))≥0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —37— 则2-|f(a)|≥0,解得-2≤f(a)≤2, 当a≤2时,可得-2≤2-|a|≤2, 解得-4≤a≤4, 此时可得-4≤a≤2; 当a>2时,可得-2≤a2-6a+8≤2, 即 a2-6a+6≤0 a2-6a+10≥0 ,解得3- 3≤a≤3+ 3, 此时可得2<a≤3+ 3; 当f(a)>2时,可得f2(a)-6f(a)+8≥0, 解得f(a)≥4或f(a)≤2,所以f(a)≥4, 当a≤2时,可得2-|a|≥4,此时无解; 当a>2时,可得a2-6a+8≥4, 解得a≥3+ 5或a≤3- 5, 此时可得a≥3+ 5; 综 上 所 述, 实 数 a 的 取 值 范 围 是 -4,3+ 3 ∪ 3+ 5,+∞ 故选:B. 9.ABC 对于A,因为sinA>sinB,所以由正弦定理知a> b,又因为在三角形中大角对大边,所以A>B.故A正确; 对于B,因为△ABC为锐角三角形,所以A+B=π-C> π 2 ,即A>π2-B ,所以sinA>sin π2-B =cosB.故B 正确;对于C,由正弦定理边化角得sinC=sinAcosB- sinBcosA=sin(A-B),则C=A-B 或C+A-B=π (舍), 则A=B+C=π-A,即A=π2 ,则△ABC 一定为直角三 角形.故C正确; 对于 D,由tanC=tan[π(A+B)]=-tan(A+B)= -tanA+tanB1-tanAtanB ,则tanA+tanB=tanC(tanAtanB- 1), 所以tanA+tanB+tanC=tanC(tanAtanB-1)+ tanC=tanAtanBtanC>0, 又因为最多只有一个角为钝角,所以tanA>0,tanB>0, tanC>0,即三个角都为锐角,所以△ABC 为锐角三角 形.故D错误.故选:ABC. 10.BD 对于A,由z=12- 3 2i ,得z=12+ 3 2i ,所以z的 虚 部 为 3 2 ,所 以 A 错 误,对 于 B,因 为 z+z= 1 2- 3 2i + 12+ 32i =1,|z|= 12 2 + - 32 2 =1,所以z+z=|z|,所以B正确,对于C,因为平面内z 和z分别对应的点分别为 1 2 ,- 32 和 12,32 , 所以这两个点间的距离为 1 2- 1 2 2 + - 32- 3 2 2 = 3,所以C错误,对于D,因为z2+z= 1 2- 3 2i 2 + 1 2+ 3 2i= 1 4- 3 2i+ 3 4i 2+12+ 3 2i=0 ,所以D正确,故 选:BD 11.ABD 函数f(x)=3sin(2x+φ)的图像过点 π 6 ,3 ,可 得3sin2×π6+φ =3, 即sin π3+φ =1,则π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=π6 +2kπ,k∈Z, 所以 函 数 解 析 式 为 f(x)=3sin 2x+π6+2kπ = 3sin2x+π6 对于A,函数的周期T=2π2=π ,故A正确; 对于B,f 2π3 =3sin2×2π3+π6 =-3,故B正确;对 于C,∵x∈ 0,π2 ,∴2x+π6∈ π6,7π6 ,利用正弦函 数的性质知sin2x+π6 ∈ -12,1 , 可得f(x)=3sin(2x+π6 )∈ -32 ,3 ,故C错误;对于 D,函数y=f(x)的图象上所有点向右平移π12 个单位长 度,可得到函数y=3sin2(x-π12 )+π6 =3sin2x的图 象,故D正确;故选:ABD. 12.BCD 对任意x1,x2∈I,当x1<x2 时,x1-x2<0,由 f(x1)-f(x2) x1-x2 >0知:f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)< f(x2),故A正确;函数y=x2 在 R上先单调递减再单 调递增,故B错误;函数y=-1x 在定义域上函数图象 不连续,在定义域上不是增函数,故C错误;函数y=1x 的单调减区间是(-∞,0),(0,+∞),单调区间不能用 ∪连结,故D错误.故BCD均不正确.故选:BCD. 13.答案:280° 解析:因为与α终边相同的角为k·360°+α,(k∈Z), 当α=1000°时,又β是与α终边相同的最小正角, 则β=(-2)×360°+1000°=280°, 故答案为280°. 14.答案: 12 ,4 解析:根据题意,由于函数f(x)=a2x-1+3(a>0且a≠ 1),则可知只要令2x-1=0,x=12 ,则可知对应的函数 值为4,因此可知恒过点 12 ,4 ,故答案为 12,4 . 15.答案:-8 解析:因 为loga2+loga0.5-log225×log34×log59= loga(2×0.5)-log252×log322×log532=loga1-8log25 ×log32×log53=-8× ln5 ln2× ln2 ln3× ln3 ln5=-8 , 所以loga2+loga.0.5-log225×log34×log59=-8. 故答案为:-8. 16.答案:12 /0.5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —47— 解析:过C1 作平面ACB、直线BC、AC 的垂线,交点分 别为O,D,E,连 接 OD、OC、OE,则 C1O 即 为 三 棱 柱 的高, 由C1O⊥平面ACB,AC⊂平面ACB,可得C1O⊥AC, 又AC⊥C1E,C1O∩C1E=C1,C1O⊂平面C1OE,C1E⊂ 平面C1OE, 所以AC⊥平面C1OE,又OE⊂平面C1OE, 所以AC⊥OE,同理可得OD⊥BC,又∠ACB=90°, 所以四边形OECD 为矩形, 在 直 角 三 角 形 ECC1 和 DCC1 中,∠ACC1 =60°, ∠BCC1=45°,侧棱CC1的长为1, 则CE=12CC1= 1 2 ,CD=C1D= 2 2 , 所以OD=CE=12 , 所以OC1= DC21-OD2= 1 2 , 即三棱柱的高等于1 2. 故答案为:1 2. 17.答案:(1)a=0.0156,90.4 (2)35 解析:(1)由频率分布直方图可得: (0.0280+2×0.0232+a+0.0060+0.0040)×10=1,解 得a=0.0156; 因为成绩在[40,90)的频率为(0.0040+0.0060+0.0232 +0.0280+0.0232)×10=0.844, 所以,第85百分位数位于[90,100], 设其为x,则0.844+(x-90)×0.0156=0.85, 解得x≈90.4,所以,第85百分位数约为90.4. (2)由频率分布直方图可知:得分在[40,50)和[50,60) 内的频率分别为0.04和0.06, 采用分层抽样知,抽取的5人,在[40,50)内的人数为2 人,在[50,60)内的人数为3人, 设分数在[40,50)内的2人为a1,a2,分数在[50,60)内 的3人为b1,b2,b3, 则在这5人中抽取2人的情况有: (a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2), (a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共有10种情况, 其中得分不在同一组的2人有:(a1,b1),(a1,b2),(a1, b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),有6种情况,所以概率为 P=610= 3 5. 18.答案:(1)证明见详解; (2) 105 . 解析:(1)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所 以PA⊥CD, 由题知,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC,所以∠BAC= ∠CAD=45°, 由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos45°= 2+4-2 2×2× 22=2 , 所以CD= 2,又 AC= AB2+BC2= 2,所以 AC2+ CD2=AD2, 即AC⊥CD,因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所 以CD⊥平面PAC, 因为CD⊂平面PDC,所以平面PAC⊥平面PDC. (2)由(1)知,PD 在平面PAC 内的射影为PC,所以CE 在平面PAC 内的射影也为PC, 故直线EC与平面PAC 所成角即为∠PCE. 因为PC= PA2+AC2= 3,PD= PA2+AD2= 5, 所以PD2=PC2+CD2, 所 以 ∠PCD =90°,又 因 为 E 为 PD 的 中 点,所 以 PE=CE, 所以∠PCE=∠CPE,所以sin∠PCE=sin∠CPE=CDPD = 2 5 = 105 . 19.答案:(1)f(x)=2sin2x-π6 +1 (2)θ=π6 或θ=π2 (3)(0,3] 解析:(1)f(x)=a·b-cos2x+1=2sinxcos x-π6 + 3sinxcosx-cos2x+1 =2sinx 3 2cosx+ 1 2sinx + 32sin2x-cos2x+1 = 32sin2x+sinx 2+ 32sin2x-cos 2x+1 = 3sin2x-cos2x+1=2sin2x-π6 +1; (2)f(θ)=2sin2θ-π6 +1=2,故sin2θ-π6 =12, 则2θ-π6= π 2± π 3+2kπ (k∈Z),即θ= π3± π 6+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —57— kπ(k∈Z), 又θ∈(0,π),故k=0,即θ=π6 或θ=π2 ; (3)当 x∈ 0,π2 时,2x - π6 ∈ -π6,5π6 ,则 sin2x-π6 ∈ -12,1 , 故f(x)∈(0,3],即f(x)在 0,π2 上的值域为(0,3]. 2024年陕西省普通高中学业水平合格性 考试·数学 1~4 BDBC 5~8 ABCD 9.ABC 10.ABD 11.AD 12.ABD 13.3 14.4 15.90° 16.10(3- 3) 17.解:(Ⅰ)众数85,平均数为55×0.1+65×0.15+75× 0.25+85×0.3+95×0.2=78.5 (Ⅱ)记神舟十七号3名宇航员为a1,a2,a3; 记神舟十八号3名宇航员为b1,b2,b3, 从这6名宇航员中随机取2名宇航员有以下可能: a1a2,a1a3,a1b1,a1b2,a1b3,a2a3,a2b1,a2b2,a2b3,a3b1, a3b2,a3b3,b1b2,b1b3,b2b3,共15种. 而2名宇航员都来自神舟十八号乘组有以下可能: b1b2,b1b3,b2b3,共3种. 所以概率为P=315= 1 5. 18.解:(Ⅰ)连接BD 交AC 于F,连接EF, ∵ABCD 是正方形, ∴F 是BD 的中点, ∵E 是PD 的中点, ∴EF∥PB 又EF⊂平面EAC,PB⊄平面EAC, ∴PB∥平面EAC. (Ⅱ)以DA,DC,DP 所在的直线为x 轴,y轴,z轴建立 坐标系,不妨设DA=2, 则A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,0,1),P(0,0,2). ∴AC→=(-2,2,0),AE→=(-2,0,1),AP→=(-2,0,2). 设平面EAC的法向量m=(a,b,c), 则 m·AC→=0 m·AE→=0 ,∴ -2a+2b=0-2a+c=0 ,即 b=ac=2a , ∴m=(1,1,2); 设平面PAC的法向量n=(x,y,z) 则 n·AC→=0 n·AP→=0 , ∴ -2x+2y=0 -2x+2z=0 ,即 y=xz=x ∴n=(1,1,1) 设平面EAC与平面PAC 所成的角为θ. 则cosθ=|cos<m,n>|=|m ·n| m·n = 1+1+2 6· 3 =2 23 . ∴二面角P-AC-E 的余弦值为2 23 . 19.解:(Ⅰ)∵f(x)是R上的奇函数, ∴f(0)=0,即1-a ·2° 1+2° =0 ,∴a=1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=1-2 x 1+2x = - (1+2x)+2 1+2x = -1 + 2 1+2x . 经判断知f(x)在R上单调递减. (Ⅲ)∵f(x)是R上的奇函数且在R上单调递减, f(sinxcosx)+f(m+sinx+cosx)>0对于x∈R恒 成立. ∴f(m+sinx+cosx)>-f(sinxcosx) ∴f(m+sinx+cosx)>f(-sinxcosx), ∴m+sinx+cosx<-sinxcosx, 即-m>sinx+cosx+sinxcosx在R上恒成立, 令g(x)=sinx+cosx+sinxcosx, ∴只需-m>g(x)max(x∈R). 则g(x)=sinx+cosx+ (sinx+cosx)2-1 2 =12 (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)-12. 令sinx+cosx=t,则t= 2sin x+π4 ∈ - 2,2 , ∴y=12t 2+t-12= 1 2 (t+1)2-1 t∈[- 2,2] 由二次函数知识知,当t= 2时,ymax= 1 2× (2)2+ 2 -12= 1 2+ 2 ,即g(x)max= 1 2+ 2. 从 而-m>12 + 2, ∴m<-12- 2. 故m 的取值范围为 -∞,-12- 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —67—