第9章 统计-【学考一本通】2025年陕西省普通高中学业水平测试数学

第八章 立体几何初步 1.C 截面是任意的且都是圆面,则该几何体为球体. 2.B 设 该 圆 锥 的 外 接 球 的 半 径 为 R,依 题 意 得,R2= (3-R)2+(3)2,解 得 R=2,所 以 所 求 球 的 体 积V= 4 3πR 3=43π ·23=323π. 3.A 三棱锥B1􀆼ABC1 的体积等于三棱锥A􀆼B1BC1 的体 积,三棱锥A􀆼B1BC1 的高为 3 2 ,底面积为1 2 ,故其体积为 1 3× 1 2× 3 2= 3 12. 4.B 当α内有无数条直线与β平行,也可能两平面相交,故 A错.同样当α,β平行于同一条直线或α,β垂直于同一平 面时,两平面也可能相交,故C,D错.由面面平行的判定 定理可得B正确. 5.D 由已知得底面边长为1,侧棱长为 6-2=2.所以 S侧=1×2×4=8. 6.A 三 棱 锥 D1-ADC 的 体 积V= 1 3S△ADC ·D1D= 1 3 ·1 2 ·AD·DC·D1D= 1 3× 1 2×1×1×1= 1 6. 7.C AB,AD,AA1,A1B1,A1D1,D1D,D1C1,DC 与直线 EF 都是异面直线. 8.C 直线与平面平行或相交统称为直线在平面外. 9.B 因为EF∥平面ABC,EF⊂平面SBC, 且平面SBC∩平面ABC=BC,所以EF∥BC. 10.D 构造如图所示的正方体ABCD􀆼A1B1C1D1, 取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4 为B1C1 时, l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A,B,C,选D. 11.解析:设长方体的棱长分别为a,b,c,则 ab= 2, ac= 3, bc= 6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 三式相乘可知(abc)2=6, 所以长方体的体积V=abc= 6, 表面积为S=2 2+2 3+2 6. 答案:6 2 2+2 3+2 6 12.解析:依题意可知∠BAD=45°,则原平面图形为直角梯 形,上下底面的长与BC,AD 相等,高为梯形ABCD 的 高的2 2倍,所以原平面图形的面积为8cm2. 答案:8 13.解析:如图所示,过点C作垂直于α的直线CO,交α于点 O.所以∠CAO=30°,∠CBO=45°. 设CO=a,所以在Rt△ACO 中,AC=2a, 在Rt△BCO 中,BC= 2a. 过C点在平面ABC 内作CD⊥AB,连接OD, 则∠CDO 为平面ABC 与α所成的锐角,AB= 6a, 所以CD=2 3 a所以在Rt△CDO 中, sin∠CDO=a2a 3 = 32 ,所以∠CDO=60°. 答案:60°. 14.解析:选两个论断作为条件,一个作为结论,一共能够组 成3个命题,即①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①,只有① ②⇒③为假命题,其余两个为真命题. 答案:若m∥α,l⊥α,则l⊥m(或若l⊥m,l⊥α,则m∥α) 15.解:如图,高PO=3,PE 是斜高, 因为S侧=2S底,所以4·12 ·BC·PE=2BC2, 所以BC=PE. 在Rt△POE 中,PO=3,OE=12BC= 1 2PE , 所以9+ PE2 2 =PE2,所以PE=2 3. 所以S底=BC2=PE2=(2 3)2=12,S侧 =2S底 =2×12 =24,所以S表=S底+S侧=12+24=36. 16.解:(1)在直三棱柱ABC􀆼A1B1C1中,BB1⊥平面ABC, 所以BB1⊥AD,因为AB=AC,D 是BC 的中点, 所 以 AD ⊥BC.又 BC∩BB1 =B,BC,BB1 ⊂ 平 面BCC1B1, 所以AD⊥平面BCC1B1. (2)连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1, 则∠AC1D 即为直线AC1与平面BCC1B1所成的角. 在Rt△AC1D 中,AD= 3 2 ,AC1= 2, sin∠AC1D= AD AC1 = 64 , 即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 6 4. 第九章 统计 1.A 由题意可知,152-6010 =9.2 ,故应将数据分为10组. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95— 2.B 频率= 频数 样本容量 ,则频数=频率×样本容量=0.125 ×32=4. 3.B 设中间一组的频数为x, 则其他8组的频数和为52x , 所以x+52x=140 ,解得x=40. 4.C 根据用样本估计总体的原则可知,样本容量越大,估 计越精确,样本容量越小,估计越不精确. 5.C 该题考查频率的计算公式. 在[114.5,124.5)范围内的频数m=4,样本容量n=10, 所以所求频率为4 10=0.4. 6.A 该 地 区 中 小 学 生 总 人 数 为 3500+2000+4500 =10000, 则样本容量为10000×2%=200,其中抽取的高中生近视 人数为2000×2%×50%=20. 7.A 设该市刑警队共n人, 由题意得40 n= 24 105+15 ,解得,n=200; 则a=200-(40+105+15+25+5)=10. 8.C 判断是不是能进入决赛,只要判断是不是前8位,所 以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于 他,也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成 绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这 个成绩就不能进入决赛,第8位的成绩就是这15位同学 成绩的中位数. 9.C x2-5x+4=0的两根是1,4.显然a=1,b=4.故方差 s2=14× [(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5. 10.B 因为 􀭺x=20×5+10×4+30×3+30×2+10×1100 =100+40+90+60+10100 =3 , 所以s2=1n [(x1-􀭺x)2+(x2-􀭺x)2+…+(xn-􀭺x)2]= 1 100× [20×22+10×12+30×02+30×12+10×22]= 160 100= 8 5. 所以s=2 105 . 11.解析:由 n400+320+280=20% , 解得n=200. 答案:200 12.解析:频率为13+24+15100 =0.52. 答案:0.52 13.解析:由题意得这批产品的此项质量指标的平均数为 20×0.1+40×0.6+60×0.3=44, 故方差为(20-44)2×0.1+(40-44)2×0.6+(60- 44)2×0.3=144. 答案:144 14.解析:由10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,得a= 0.03,从 而 这 三 组 的 频 数 之 比 为0.03∶0.02∶0.01= 3∶2∶1,故从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 18×16=3. 答案:0.03 3 15.解:(1)由频率分布直方图,可知,月均用水量在[0,0.5) 的频率为0.08×0.5=0.04, 同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4), [4,4.5]组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04, 0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+ 0.02)=0.5·a+0.5·a,解得a=0.30. (2)由(1)可知,100位居民每人月均用水量不低于3吨 的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率,可以估计全市30万居民中月均用 水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000. (3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+ 0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5, 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21 =0.48<0.5,所以2≤x<2.5. 由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 16.解:(1)根据频数分布表,100名学生中,课外阅读时间不 少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以样本中的 学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-10100=0.9. (2)课外阅读时间落在[4,6)的人数为17人,频率为0.17, 所以,a= 频率 组距= 0.17 2 =0.085 , 同理,b=0.252 =0.125. (3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第 4组. 第十章 概率 1.D 所有子集共8个,其中含有2个元素的有3个,所以 概率为3 8. 2.A 设河宽为xm,则1- x500= 4 5 ,所以x=100. 3.B 记“取到羽毛球的质量小于4.8g”为事件A,“取到羽 毛球的质量不小于4.85g”为事件B,“取到羽毛球的质量 在[4.8,4.85)范围内”为事件C.易知事件A,B,C 互斥, 且A∪B∪C 为必然事件.所以P(A∪B∪C)=P(A)+ P(B)+P(C)=0.3+0.32+P(C)=1,即P(C)=1-0.3 -0.32=0.38. 4.D 是2的倍数的数有60个,是3的倍数的数有40个, 是6的倍数的数有20个, 所以P=60+40-20120 = 2 3. 5.D 设“儿童体型合格”为事件A,“身体关节构造合格”为 事件B,则P(A)=15 ,P(B)=14. 又A,B 相互独立,则 􀭿A,􀭺B 也相互独立,则P(􀭿A􀭺B)=P(􀭿A)P(􀭺B)=45× 3 4= 3 5 ,故至少有一项合格的概率为P=1-P(􀭿A􀭺B)=25. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06— 第九章 统计 一、选择题 1.一个容量为80的样本中,数据的最大值为 152,最小值为60,组距为10,应将样本数据 分为 ( ) A.10组 B.9组 C.8组 D.7组 2.一个容量为32的样本,已知某组样本的频 率为0.125,则该组样本的频数为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.在样本频率分布直方图中,共有9个小长方 形,若中间一个小长方形的面积等于其他8 个长方形的面积和的2 5 ,且样本容量为140, 则中间一组的频数为 ( ) A.28 B.40 C.56 D.60 4.用样本频率分布估计总体频率分布的过程 中,下列说法正确的是 ( ) A.总体容量越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确 C.样本容量越大,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确 5.从一堆苹果中任取10个,称得它们的质量 如下(单位:g):125 120 122 105 130 114 116 95 120 134,则样本数据落 在[114.5,124.5)内的频率为 ( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别 如图①和图②所示.为了解该地区中小学生 的近视形成原因,用分层随机抽样的方法抽 取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取 的高中生近视人数分别为 ( ) A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10 7.某市刑警队对警员进行技能测试,测试成绩 分为优秀、良好、合格三个等极,测试结果如 下表:(单位:人) 优秀 良好 合格 男 40 105 25 女 a 15 5 若按优秀、良好、合格三个等极分层,从中抽 取40人,成绩为良好的有24人,则a等于 ( ) A.10 B.15 C.20 D.30 8.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相 同,按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知 道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛, 则其他15位同学成绩的下列数据中,能使 他得出结论的是 ( ) A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 9.一个样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是 方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本的 方差是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10.从某项综合能力测试中抽取100人的成 绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为 ( ) 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A.3 B.2 105 C.3 D. 8 5 二、填空题 11.某中学高一年级有400人,高二年级有 320人,高三年级有280人,若每人被抽到 的可能性为20%,用随机数法在该中学抽 取容量为n的样本,则n等于 . 12.一个容量为100的样本,其数据的分组与 各组的频数如下: 组别 [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据在[10,40)上的频率为 . 13.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部 分,对这些产品的一项质量指标进行了检 测,整理检测结果得到如下频率分布表: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —71— 质量指标分组 [10,30) [30,50) [50,70] 频率 0.1 0.6 0.3 据此可估计这批产品的此项质量指标的方 差为 . 14.从某小学随机抽取100名同学,将他们的 身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方 图(如图所示).由图中数据可知a= .若要从身高在[120,130),[130,140), [140,150]三组内的学生中,用分层随机抽 样的方法选取18人参加一项活动,则从身 高在[140,150]内的学生中选取的人数应 为 . 三、解答题 15.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了 制定合理的节水方案,对居民用水情况进 行了调查.通过抽样,获得了某年100位居 民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按 照[0,0.5),[0.5,1),…[4,4.5]分成9组, 制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中a的值; (2)设该市有30万居民,估计全市居民中 月均用水量不低于3吨的人数,并说明 理由; (3)估计居民月均用水量的中位数. 16.从某校随机抽取100名学生,获得了他们 一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整 理得到数据分组及频数分布表和频率分布 直方图: 组号 分组 频数 1 [0,2) 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 22 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) 2 9 [16,18) 2 合计 100 (1)从该校随机取一名学生,试估计这名学 生该周课外阅读时间少于12小时的频率; (2)求频率分布直方图中的a,b的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区 间的中点值代替,试估计样本中的100名 学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 (只需写出结论)? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81—