第8章 立体几何初步-【学考一本通】2025年陕西省普通高中学业水平测试数学

第八章 立体几何初步 一、选择题 1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都 是圆面,则这个几何体一定是 ( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 2.已知圆锥的高为3,底面半径为 3,若该圆 锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上, 则这个球的体积等于 ( ) A.83π B. 32 3π C.16π D.32π 3.如 图 所 示,已 知 三 棱 柱 ABC􀆼A1B1C1 的所有棱长 均为 1,且 AA1⊥ 底 面 ABC,则三棱锥B1􀆼ABC1 的体积为 ( ) A.312 B. 3 4 C.612 D. 6 4 4.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 ( ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 5.底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为 2,体对角线长为6,则这个棱柱的侧面积是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 6.如图所示,正方体ABCD􀆼 A1B1C1D1 的棱长为1,则 三棱锥 D1􀆼ACD 的体积 是 ( ) A.16 B. 1 3 C.12 D.1 7.如图所示,正方体ABCD􀆼 A1B1C1D1 的 棱 BB1 和 BC 的中点分别是E,F, 各棱所在的直线与直线 EF互为异面直线的条数 是 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 8.直线l在平面α外指的是 ( ) A.l∩α=A B.l∩α=⌀ C.l∩α=A 或l∩α=⌀ D.l∩α有无数个公共点 9.如 图 所 示,在 三 棱 锥 S􀆼 ABC中,E,F 分别为SB, SC 上的点,且 EF∥平面 ABC,则 ( ) A.EF与BC 相交 B.EF∥BC C.EF与BC 异面 D.以上均有可能 10.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3, l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论 一定正确的是 ( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与l4 既不垂直也不平行 D.l1 与l4 的位置关系不确定 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —51— 二、填空题 11.一个长方体的过同一顶点的三个面的面积分 别是2,3,6,则这个长方体的体积为 ,表面积为 . 12.用斜二测画法画出的某 平面图形的直观图如图, 边AB 平行于y 轴,BC, AD 平行于x 轴.已知四边形ABCD 的面 积为2 2cm2,则原平面图形的面积为 cm2. 13.已知Rt△ABC的斜边在平面α内,直角顶 点C是α外一点,AC、BC与α所成角分别 为30°和45°,则平面ABC与α所成锐角为 . 14.已知l,m 是平面α 外的两条不同直线.给 出下列三个论断: ①l⊥m;②m∥α;③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个 论断作为结论,写出一个正确的命题: . 三、解答题 15.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍, 高为3,求它的表面积. 16.如图,在棱长均为1的直三棱柱 ABC􀆼 A1B1C1 中,D 是BC 的中点. (1)求证:AD⊥平面BCC1B1; (2)求直线AC1 与平面BCC1B1 所成角的 正弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —61— 第八章 立体几何初步 1.C 截面是任意的且都是圆面,则该几何体为球体. 2.B 设 该 圆 锥 的 外 接 球 的 半 径 为 R,依 题 意 得,R2= (3-R)2+(3)2,解 得 R=2,所 以 所 求 球 的 体 积V= 4 3πR 3=43π ·23=323π. 3.A 三棱锥B1􀆼ABC1 的体积等于三棱锥A􀆼B1BC1 的体 积,三棱锥A􀆼B1BC1 的高为 3 2 ,底面积为1 2 ,故其体积为 1 3× 1 2× 3 2= 3 12. 4.B 当α内有无数条直线与β平行,也可能两平面相交,故 A错.同样当α,β平行于同一条直线或α,β垂直于同一平 面时,两平面也可能相交,故C,D错.由面面平行的判定 定理可得B正确. 5.D 由已知得底面边长为1,侧棱长为 6-2=2.所以 S侧=1×2×4=8. 6.A 三 棱 锥 D1-ADC 的 体 积V= 1 3S△ADC ·D1D= 1 3 ·1 2 ·AD·DC·D1D= 1 3× 1 2×1×1×1= 1 6. 7.C AB,AD,AA1,A1B1,A1D1,D1D,D1C1,DC 与直线 EF 都是异面直线. 8.C 直线与平面平行或相交统称为直线在平面外. 9.B 因为EF∥平面ABC,EF⊂平面SBC, 且平面SBC∩平面ABC=BC,所以EF∥BC. 10.D 构造如图所示的正方体ABCD􀆼A1B1C1D1, 取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4 为B1C1 时, l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A,B,C,选D. 11.解析:设长方体的棱长分别为a,b,c,则 ab= 2, ac= 3, bc= 6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 三式相乘可知(abc)2=6, 所以长方体的体积V=abc= 6, 表面积为S=2 2+2 3+2 6. 答案:6 2 2+2 3+2 6 12.解析:依题意可知∠BAD=45°,则原平面图形为直角梯 形,上下底面的长与BC,AD 相等,高为梯形ABCD 的 高的2 2倍,所以原平面图形的面积为8cm2. 答案:8 13.解析:如图所示,过点C作垂直于α的直线CO,交α于点 O.所以∠CAO=30°,∠CBO=45°. 设CO=a,所以在Rt△ACO 中,AC=2a, 在Rt△BCO 中,BC= 2a. 过C点在平面ABC 内作CD⊥AB,连接OD, 则∠CDO 为平面ABC 与α所成的锐角,AB= 6a, 所以CD=2 3 a所以在Rt△CDO 中, sin∠CDO=a2a 3 = 32 ,所以∠CDO=60°. 答案:60°. 14.解析:选两个论断作为条件,一个作为结论,一共能够组 成3个命题,即①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①,只有① ②⇒③为假命题,其余两个为真命题. 答案:若m∥α,l⊥α,则l⊥m(或若l⊥m,l⊥α,则m∥α) 15.解:如图,高PO=3,PE 是斜高, 因为S侧=2S底,所以4·12 ·BC·PE=2BC2, 所以BC=PE. 在Rt△POE 中,PO=3,OE=12BC= 1 2PE , 所以9+ PE2 2 =PE2,所以PE=2 3. 所以S底=BC2=PE2=(2 3)2=12,S侧 =2S底 =2×12 =24,所以S表=S底+S侧=12+24=36. 16.解:(1)在直三棱柱ABC􀆼A1B1C1中,BB1⊥平面ABC, 所以BB1⊥AD,因为AB=AC,D 是BC 的中点, 所 以 AD ⊥BC.又 BC∩BB1 =B,BC,BB1 ⊂ 平 面BCC1B1, 所以AD⊥平面BCC1B1. (2)连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1, 则∠AC1D 即为直线AC1与平面BCC1B1所成的角. 在Rt△AC1D 中,AD= 3 2 ,AC1= 2, sin∠AC1D= AD AC1 = 64 , 即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 6 4. 第九章 统计 1.A 由题意可知,152-6010 =9.2 ,故应将数据分为10组. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95—