第01讲 等差数列（7个知识点+3种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第四章第01讲 等差数列 课程标准 学习目标 1、通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2、探索并掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列通项公式与前项和公式的关系． 3、能在具体问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 4、体会等差数列与一元一次函数的关系． 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质简化计算． 3.理解等差数列、等差中项的概念 4.掌握等差数列的判断与证明方法． 5.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 6.掌握等差数列前n项和公式. 7.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 8.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 知识点01 等差数列概念 概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示．即等差数列有递推公式：． 【即学即练1】（1）（23-24高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断等差数列 【分析】根据等差数列的定义判断． 【详解】设的公差为， 对于①，， 是等差数列，故①正确； 对于②，， 是等差数列，故②正确； 对于③，，是等差数列，故③正确； 对于④，若，则不是等差数列，故④错误； 故选：C． （2）（24-25高二上·上海·课后作业）如果数列满足：存在正整数k，对任意的正整数n，，都有，那么数列是等差数列吗？判断并给出理由． 【答案】不一定，理由见解析. 【知识点】判断等差数列 【分析】举出k具体的数值，说明数列是否为等差数列，即可得结论. 【详解】解：不一定. 理由：当时，对任意的正整数n，时，， 可得，所以数列是等差数列； 当时，对任意的正整数n， 时，都有，不能推出数列是等差数列. 例如，时，数列2，0，4，3，6，6，8，…，满足， 但数列显然不是等差数列. 综上，数列满足：存在正整数k，对任意的正整数n，，都有， 那么数列不一定是等差数列. 知识点02 等差数列的通项公式及推导 1.等差数列的通项公式为：． 2.等差数列的公式的推导：累加法 3.等差数列通项公式的推导：，将这个式子的等号两边分别相加得：，即．由等差数列的通项公式易知：． 【即学即练2】（1）（24-25高二上·上海·课前预习）通项公式 若是等差数列，则其通项公式 ． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】由等差数列的知识填写即可. 【详解】由等差数列的知识可得：是等差数列，则其通项公式 故答案为： （2）．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）在等差数列中，若，则的通项公式为 . 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列基本量的计算得公差，即可求解. 【详解】由可得公差， 故， 故答案为： 知识点03 等差中项 定义：如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项，即 【即学即练3】（1）（23-24高二上·上海宝山·期末）与的等差中项为 ． 【答案】3 【知识点】求等差中项 【分析】根据等差中项的定义求解． 【详解】与的等差中项为． 故答案为：3. （2）．（22-23高二下·上海浦东新·期末）与的等差中项是 ． 【答案】8 【知识点】求等差中项 【分析】根据等差中项的定义求解即可. 【详解】设与的等差中项是， 则， . 故答案为：8 知识点04 等差数列的常用性质 1.在等差数列中，若，则， 若，则； 该性质推广到三项，即，，，，，,． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可． 2.若均为等差数列，且公差分别为，则数列也为等差数列，且公差分别为． 3.如果等差数列的公差为，则是递增数列；是递减数列； 是常数列． 4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，．．．．，为等差数列，公差为． 【即学即练4】（1）设等差数列的前项和为，若,则= 【答案】24 【解析】 是等差数列,由,得 · . （2）等差数列前9项和等于前4项和，若，则k= 【答案】10 【解析】，，k=10 （3）．（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、探求命题为真的充要条件、等差数列的单调性 【分析】利用等差数列的通项公式结合函数的图像和性质判断即可. 【详解】由等差数列的通项公式，不妨设. ①“对任意正整数，都有成立”即，那么“为严格递减数列”，故是充分条件；当“为严格递减数列”时，首项不一定为负，所以不是必要条件，①正确； ②由一次函数的图像和性质可得，当单调递增时，存在，当时，总有的充要条件，当时结论仍成立，故“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件，②正确 故选：A 知识点05 等差数列的前n项和及推导过程 1.等差数列前项和公式：． 2.等差数列前项和公式的推导： 倒序相加 ， 把项的顺序反过来，可将写成： ， 将这两式相加得： ， 从而得到等差数列的前项和公式，又， 得． 【即学即练5】（1）（24-25高二上·上海松江·阶段练习）设数列是等差数列，其前项和为，则 . 【答案】36 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】由等差数列求和公式，等差数列性质可得答案. 【详解】设数列首项为，则. 故答案为：36 （2）．（24-25高二上·上海·阶段练习）设数列是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前2022项的和 . 【答案】2022 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】根据给定条件，利用乘数性质及前n项和公式计算即得. 【详解】方程中，，则， 所以数列的前2022项的和. 故答案为：2022. 知识点06 等差数列前n项和的性质 1.在等差数列的前项和也构成一个等差数列，即，，．．．为等列，公差为． 2.为等差数列 ①当项数为奇数时，由得，， ②当项数为偶数时，由得， . 3.通项公式是 是一次函数的形式；前项和公式 是不含常数项的二次函数的形式．（注：当时，，） 4.为等差数列，，则也成等差数列 5.等差数列的公差为，分别代表数列奇数项和、偶数项和，如果数列有 项，则 ；如果数列有项，则. 6.若，，此时二次函数开口向下，对称轴在轴的右侧，有最大值，可由不等式组来确定． 若，，此时二次函数开口向上，对称轴在轴的右侧，有最小值，可由不等式组来确定． 【即学即练6】（1）（23-24高二上·上海闵行·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 【答案】 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差中项的应用 【分析】根据等差数列片段和性质可得，，成等差数列，再根据等差中项的性质计算可得； 【详解】因为是等差数列，所以，，成等差数列， 则， 因为，，所以，解得. 故答案为：. （2）．（21-22高二上·上海徐汇·期末）设等差数列，的前项和分别为，，且，则 【答案】 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，等差数列的前n项和分别为，，且， 因为， 故答案为：. （3）．（22-23高三上·上海静安·期中）设等差数列的前n项和为，已知，则 ． 【答案】5 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】根据等差数列前项和的性质，即可直接求得结果. 【详解】因为数列为等差数列，故，解得. 故答案为：. （4）（21-22高一下·上海黄浦·期末）设等差数列满足，公差．若当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求等差数列中的最大（小）项 【分析】利用公式对式子化简，再借助函数来处理. 【详解】由， 得， 得， 由和差角公式，得， 整理得， 所以 ，因为公差，所以， 则，所以， ， 设，其图像的对称轴方程为. 由题意，当时，数列的前项和取得最大值， 所以，解得. 则首项的取值范围是 故选：C 知识点07 等差数列的前n项和公式与二次函数 1.区别和联系 区别 联系 定义域为 图像是一系列的额孤立点 （1）解析式都是二次式；（2）图像是抛物线上的图像的一系列的点． 定义域为 图像是一条光滑的抛物线 2.观察可得：由和得； 3.特殊性：当，达到最大或最小．而当时，取与最近的正整数即可． 4.由二次函数的性质可得：当时，有最小值，：当时，有最大值． 【即学即练7】（1）（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数、等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解. 【详解】为等差数列，且， 则前项和，是关于的二次函数，且， 因为仅当时，最大，所以对称轴在区间， 即，解得：， 则公差的取值范围是. 故答案为： （2）．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有 个. 【答案】2020 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】 根据给定条件，求出与的关系，再利用前项和公式，结合二次函数对称性求解即得. 【详解】依题意，，解得， 因此，， 由于二次函数图象的对称轴为， 则在的2024个数值中，， 所以不同的数值有2020个. 故答案为：2020 （3）．（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 【答案】8 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】计算出，解不等式，则有，再利用二次函数的单调性即可得到答案． 【详解】解：第一年年产量为，以后各年年产量为（，为正整数），当时也符合上式， ∴（为正整数）． 令，得． 设，对称轴为， 则当时，严格增，又因为为正整数，，， 则最大生产期限应拟定为8年， 故答案为：8． 题型一．等差数列的性质 1．（2023秋•闵行区校级期中）设等差数列的前项和为．若，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合等差数列的性质检验各选项即可判断． 【解答】解：等差数列的前项和为．若， 则，，， 所以，，，错误； 所以，，，错误； 由题意无法判断的正负，错误； 因为，，， 则， 故，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于中档题． 2．（2023春•虹口区校级期末）设是各项为正数的无穷数列，是边长为，的矩形的周长，2，，则“数列为等差数列”的充要条件是　　 A．是等差数列 B．，，，，或，，，，是等差数列 C．，，，，和，，，，都是等差数列 D．，，，，和，，，，都是等差数列，且公差相同 【分析】，可得：，利用等差数列的定义通项公式即可判断出结论． 【解答】解：， ， 若数列为等差数列，则为常数，可得：，，，，和，，，，都是等差数列，且公差相同． 反之也成立． “数列为等差数列”的充要条件是：，，，，和，，，，都是等差数列，且公差相同． 故选：． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．（2023秋•闵行区校级期中）已知数列，，对任意正整数，，，成等差数列，公差为，则　 　． 【分析】由累加法算数列的通项公式，再由递推公式求结果． 【解答】解：，对任意正整数，，，成等差数列，公差为，， 当时，可得， 令，时， ． 所以当时，． 故答案为：5001． 【点评】本题考查等差数列的性质，属于中档题． 4．（2023秋•徐汇区校级月考）已知等差数列共有项，各项与公差均不为零，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数列组成的集合为 　 　． 【分析】利用等差数列通项公式，结合已知条件，讨论依次去掉第一、二、三、四及的项，判断，、余下项为等比数列是否成立，即可得结果． 【解答】解：设等差数列通项为，且，， 若去掉第一项，则，可得，不合题设； 若去掉第二项，则，可得，即， 又，故，故数对为； 若去掉第三项，则，可得，又，，则， 此时，等差数列为，，，，，，显然， 否则去掉第三项后数列不成等比数列，故数对为； 若去掉第四项，则，可得，不合题设； 若去掉的项，根据上述分析必会出现情况，不合题设； 综上，所有数列组成的集合为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查计算能力，属于中档题． 5．（2023秋•黄浦区校级月考）设数列的通项公式为，数列满足，． （1）试确定实数的值，使得数列为等差数列； （2）当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数． 【分析】（1）确定数列的前3项，利用等差数列的定义，即可确定实数的值； （2）先确定必是数列中的某一项，再分组求和，结合整除的性质，即可得到结论． 【解答】解：（1）当时，，得， 同理：时，得；时，得，则由，得．（2分） 而当时，，得 由，知此时数列为等差数列．（4分） （2）由题意知，，，，，， 则当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以成立；（6分） 当时，若，则，不合题意，舍去； 从而必是数列中的某一项，则 ，（9分） 又， 所以，即， 所以 因为为奇数，而为偶数，所以上式无解． 即当时， 综上所述，满足题意的正整数仅有．（12分） 【点评】本题考查等差数列的判定，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题． 题型二．等差数列的通项公式 6．（2023秋•宝山区校级月考）在等差数列中，、是方程的两根，则的值为　　 A．2 B．3 C． D． 【分析】由一元二次方程根与系数的关系和等差数列中项的性质，即可求出的值． 【解答】解：等差数列中，、是方程的两根， 所以， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了等差数列中项的性质以及一元二次方程根与系数的关系应用问题，是基础题． 7．（2023秋•静安区校级期中）在等差数列中，，，，则　　． 【分析】根据等差数列的性质可得，从而代入数值求解即可． 【解答】解：为等差数列， ， ，解得：． 故答案为：10． 【点评】本题考查等差数列的等差中项，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题． 8．（2023秋•虹口区校级期中）已知等差数列满足，，则公差　　． 【分析】根据等差数列的通项公式列式求解可得结果． 【解答】解：因为是等差数列， 所以公差． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题． 9．（2023秋•杨浦区校级月考）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份面包数之和恰好是较少的两份面包数之和的7倍，则最少的那份面包数是　　． 【分析】直接利用等差数列的通项公式的应用求出结果． 【解答】解：设等差数列的公差为，五份分别设为，，，，， 则：， 解得：， 故最少的那份面包数为． 故答案为：2 【点评】本题考查的知识要点：等差数列的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 10．（2023秋•长宁区校级期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列．现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为 　　． 【分析】由题意易得，利用累加法求出通项，进而求解结论． 【解答】解：由题意得，，，，，， 以上个式子累加可得， 又满足上式，所以， ． ． 因． 故答案为：4． 【点评】本题考查累加法相关推理知识，属于基础题． 题型三．等差数列的前n项和 11．（2023秋•杨浦区校级月考）等差数列 其前项和为，且满足，且，则取得最小值时的的值为　　 A．5 B．4 C．5或6 D．4或5 【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解． 【解答】解：因为等差数列 满足， 所以， 整理得，，即， 则， 故时，， 当时，， 当时，， 故或5时，取得最小值时的或5． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题． 12．（2023•杨浦区校级模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程里数是　　． A．110 B．120 C．130 D．140 【分析】由题意，利用等差数列前项和公式即可求出公差． 【解答】解：今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里， 设善走男每天走的路程为，则数列为等差数列，设公差为，则， 由题意，，可得， 解得该善走男第5日所走的路程里数为， 故选：． 【点评】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13．（2023春•普陀区校级期末）设等差数列的前项和为，若，且，则　　． 【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解． 【解答】解：因为等差数列中，， 因为，， ， 所以， 则． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质及通项的应用，属于基础题． 14．（2023秋•宝山区校级月考）等差数列的前项和为，若，，则公差　 　． 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质列方程来求得公差． 【解答】解：依题意，即， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15．（2023秋•杨浦区校级月考）等差数列的公差，其前项和为，若，则，2，3，，中不同的数值有 　 　个． 【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解． 【解答】解：在等差数列中，， ，即， ， 又，对称轴为， ，，，，共重复了5项， ，2，3，，中不同的数值有个． 故答案为：2018． 【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于中档题． 16．（2023秋•虹口区校级月考）已知等差数列的前项和满足，那么以下4个结论中正确的有 　 　．（填所有正确结论的序号 （1）公差 （2）不等式的最小正整数解为13 （3） （4）满足的的个数为11个 【分析】由，可得最大，可判断数列从第七项开始变为负的，结合前项和与等差数列的性质，即可判断． 【解答】解：由等差数列的前项和满足，即最大， 所以，，（1）正确； 又因为最大，，，（3）正确； 所以， 因为，，， 所以的值当递增，当，递减，前12项和为正， 当时为负，（2）正确； 满足的的个数为12个，（4）错误． 故答案为：（1）（2）（3）． 【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 17．（2023•杨浦区校级三模）记为等差数列的前项和．已知． （1）若，求的通项公式； （2）若，求使得的的取值范围． 【分析】（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，由，即可得，变形可得，结合，计算可得的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案； （2）若，则，分与两种情况讨论，求出的取值范围，综合即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为， 若，则，变形可得，即， 若，则， 则， （2）若，则， 当时，不等式成立， 当时，有，变形可得， 又由，即，则有，即，则有， 又由，则有， 则有， 综合可得：的取值范围是，． 【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于中档题． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•杨浦区校级期末）在等差数列中，，公差，则　5　． 【分析】利用等差数列的通项公式直接求解． 【解答】解：在等差数列中，，公差， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查等差数列的第3项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则当　4或5　时，取到最小值． 【分析】根据题意，分析可得，结合等差数列的性质分析可得答案． 【解答】解：根据题意，数列是等差数列，设其公差为， 若，，则，数列为递增数列， 又由， 故当或5时，取到最小值． 故答案为：4或5． 【点评】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题． 3．（2023秋•徐汇区校级期末）等差数列中，，，则的公差为 　3　． 【分析】根据题意，设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式可得，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为， 由于，，则． 故答案为：3． 【点评】本题考查等差数列的定义，涉及等差数列的通项公式，属于基础题． 4．（2023秋•杨浦区校级月考）在等差数列中，若，则　5　． 【分析】根据等差数列的性质由，可得，再由求解即可． 【解答】解：设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以，所以， 又，所以， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题． 5．（2023•杨浦区校级开学）设等差数列的前项和为，已知，则　63　． 【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解． 【解答】解：因为， 根据等差数列的性质，可得， 所以． 故答案为：63． 【点评】本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题． 6．（2024•松江区校级模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则　759　． 【分析】根据已知条件，结合等差数列的通项公式，求出公差，再结合等差数列的前项和公式，即可求解． 【解答】解：由题意可得，， ，， ， ， ． 故答案为：759． 【点评】本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题． 7．（2023秋•闵行区校级月考）已知等差数列的前项和为，满足，，则　210　． 【分析】根据等差数列片的性质可得，，成等差数列，再根据等差中项的性质计算可得． 【解答】解：因为是等差数列，所以，，成等差数列， 则， 因为，， 所以，解得． 故答案为：210． 【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 8．（2023秋•杨浦区校级期末）等差数列中，若，，则的前10项和为 　110　． 【分析】根据等差数列公式得到，再求和即可． 【解答】解：等差数列，，， 解得， 故， 则的前10项和为． 故答案为：110． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 9．（2023秋•普陀区校级月考）已知等差数列中，，当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是 　，　． 【分析】由题意得，，解不等式即可求解． 【解答】解：由题意得，， 解得． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题． 10．（2024秋•静安区校级月考）已知数列是等差数列，，公差，为其前项和，满足，则当取得最大值时，　9或10　． 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【解答】解：数列是等差数列，，公差，为其前项和，满足， ， 解得，， ，， 或时，取得最大值． 故答案为：9或10． 【点评】本题考查等差数列的前项和最大时项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．（2024秋•浦东新区校级月考）记为等差数列的前项和．若，则公差　3　． 【分析】由等差数列的性质，已知条件转化为，可求公差． 【解答】解：为等差数列的前项和，若公差为，且， 则有，得，解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了等差数列通项公式及求和公式的应用，属于基础题． 12．（2024春•浦东新区校级期末）在等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的自然数是　5或6　． 【分析】根据，，判断出，进而根据等差数列的通项公式求得，判断出进而可知从数列的第7项开始为负，进而可判断出前项和取得最大值的自然数的值． 【解答】解：，，， ， ，， ， 取得最大值时的自然数是5或6． 故答案为：5或6 【点评】本题主要考查等差数列的性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力． 二．选择题（共4小题） 13．（2024春•闵行区校级期末）已知等差数列中，，那么　　 A． B． C． D． 【分析】利用等差数列通项公式求出，由此利用诱导公式能求出的值． 【解答】解：等差数列中，， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的两项和的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、诱导公式的合理运用． 14．（2023秋•杨浦区校级期末）若等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为　　 A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【分析】根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解． 【解答】解：，， 则，即，则， ， 又则，且， 所以等差数列单调递减，， 所以对任意正整数，都有，则． 故选：． 【点评】本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题． 15．（2023秋•浦东新区校级月考）设，则当数列的前项和取得最小值时，的值为　　 A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解． 【解答】解：令，得， 故等差数列中，，，， 故当时，数列的前项和取得最小值． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题． 16．（2023秋•闵行区校级期中）在1和2之间插入个数，组成首项为1，末项为2的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是　　 A．8个 B．10个 C．12个 D．14个 【分析】设插入的这个数分别记为、、、，计算出这个数列的公差，计算出这个数列前项的和与所有项的和，根据这个数列的前项的和占所有项之和的可得出关于的等式，解出的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，设数列的公差为，再设插入的这个数分别记为、、、， 由等差数列的性质可得， 则公差为，这个数列所有项的和为， 这个数列的前项的和为， 因为这个数列的前项的和与后项的和之比为， 则，即，解得， 所有，插入数的个数是10个． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题． 三．解答题（共5小题） 17．（2022秋•闵行区校级期末）在等差数列中，已知． （1）若，求数列的通项公式； （2）若数列的前5项和，求公差的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解； （2）先求出，再结合等差数列的前项和公式，即可求解． 【解答】解：设等差数列的公差为， （1），， 则， 故； （2）， ，即， ， ，解得， 故公差的取值范围为． 【点评】本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题． 18．（2024春•杨浦区期末）设数列为等差数列，其公差为，前项和为． （1）已知，，求及； （2）已知，，求． 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式列方程求解即可． 【解答】解：（1）由，， 有，解得； （2）由，， 有，解得， 所以． 【点评】本题考查等差数列的通项公式及前项和公式，属基础题． 19．（2023秋•长宁区期末）已知等差数列的前项和为，公差． （1）若，求的通项公式； （2）从集合，，，，，中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率（A）． 【分析】（1）根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程，求得，进而求得数列的通项公式； （2）根据题意，得到所有的不同取法有20种，再利用列举法求得事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解． 【解答】（1）解：由等差数列的前项和为，公差， 因为，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为． （2）解：由题意，从集合，，，，，中任取3个元素，共有20种不同的取法， 其中这3个元素能成等差数列有，，，，，，，，，，，，，，， ，，，有6种不同的取法， 所以事件的概率为． 【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20．（2023秋•普陀区校级月考）已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值． 【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解； （2）由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解． 【解答】解：（1）设等差数列的公差为，由，， 得 解得，， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 即，所以． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题． 21．（2022春•浦东新区校级月考）已知是公差不为0的等差数列，为其前项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项． 【分析】（1）先把已知条件用及表示，然后联立方程求基本量，写出通项公式． （2）由（1）得，根据等差数列通项公式知为整数且为正整数，进而求出，并验证是否符合题设． 【解答】解：（1）由题设，，可得， 所以． （2）由（1）知：， 若使为数列中的项，则必须为整数且为正整数， 因此得或， 当时，，而是数列的最小项，故不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 所以． 【点评】本题考查等差数列，考查学生的运算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章第01讲 等差数列 课程标准 学习目标 1、通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2、探索并掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列通项公式与前项和公式的关系． 3、能在具体问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 4、体会等差数列与一元一次函数的关系． 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质简化计算． 3.理解等差数列、等差中项的概念 4.掌握等差数列的判断与证明方法． 5.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 6.掌握等差数列前n项和公式. 7.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 8.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 知识点01 等差数列概念 概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示．即等差数列有递推公式：． 【即学即练1】（1）（23-24高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 （2）（24-25高二上·上海·课后作业）如果数列满足：存在正整数k，对任意的正整数n，，都有，那么数列是等差数列吗？判断并给出理由． 知识点02 等差数列的通项公式及推导 1.等差数列的通项公式为：． 2.等差数列的公式的推导：累加法 3.等差数列通项公式的推导：，将这个式子的等号两边分别相加得：，即．由等差数列的通项公式易知：． 【即学即练2】（1）（24-25高二上·上海·课前预习）通项公式 若是等差数列，则其通项公式 ． （2）．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）在等差数列中，若，则的通项公式为 . 知识点03 等差中项 定义：如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项，即 【即学即练3】（1）（23-24高二上·上海宝山·期末）与的等差中项为 ． （2）．（22-23高二下·上海浦东新·期末）与的等差中项是 ． 知识点04 等差数列的常用性质 1.在等差数列中，若，则， 若，则； 该性质推广到三项，即，，，，，,． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可． 2.若均为等差数列，且公差分别为，则数列也为等差数列，且公差分别为． 3.如果等差数列的公差为，则是递增数列；是递减数列； 是常数列． 4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，．．．．，为等差数列，公差为． 【即学即练4】（1）设等差数列的前项和为，若,则= （2）等差数列前9项和等于前4项和，若，则k= （3）．（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 知识点05 等差数列的前n项和及推导过程 1.等差数列前项和公式：． 2.等差数列前项和公式的推导： 倒序相加 ， 把项的顺序反过来，可将写成： ， 将这两式相加得： ， 从而得到等差数列的前项和公式，又， 得． 【即学即练5】（1）（24-25高二上·上海松江·阶段练习）设数列是等差数列，其前项和为，则 . （2）．（24-25高二上·上海·阶段练习）设数列是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前2022项的和 . 知识点06 等差数列前n项和的性质 1.在等差数列的前项和也构成一个等差数列，即，，．．．为等列，公差为． 2.为等差数列 ①当项数为奇数时，由得，， ②当项数为偶数时，由得， . 3.通项公式是 是一次函数的形式；前项和公式 是不含常数项的二次函数的形式．（注：当时，，） 4.为等差数列，，则也成等差数列 5.等差数列的公差为，分别代表数列奇数项和、偶数项和，如果数列有 项，则 ；如果数列有项，则. 6.若，，此时二次函数开口向下，对称轴在轴的右侧，有最大值，可由不等式组来确定． 若，，此时二次函数开口向上，对称轴在轴的右侧，有最小值，可由不等式组来确定． 【即学即练6】（1）（23-24高二上·上海闵行·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . （2）．（21-22高二上·上海徐汇·期末）设等差数列，的前项和分别为，，且，则 （3）．（22-23高三上·上海静安·期中）设等差数列的前n项和为，已知，则 ． （4）（21-22高一下·上海黄浦·期末）设等差数列满足，公差．若当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点07 等差数列的前n项和公式与二次函数 1.区别和联系 区别 联系 定义域为 图像是一系列的额孤立点 （1）解析式都是二次式；（2）图像是抛物线上的图像的一系列的点． 定义域为 图像是一条光滑的抛物线 2.观察可得：由和得； 3.特殊性：当，达到最大或最小．而当时，取与最近的正整数即可． 4.由二次函数的性质可得：当时，有最小值，：当时，有最大值． 【即学即练7】（1）（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． （2）．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有 个. （3）．（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 题型一．等差数列的性质 1．（2023秋•闵行区校级期中）设等差数列的前项和为．若，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023春•虹口区校级期末）设是各项为正数的无穷数列，是边长为，的矩形的周长，2，，则“数列为等差数列”的充要条件是　　 A．是等差数列 B．，，，，或，，，，是等差数列 C．，，，，和，，，，都是等差数列 D．，，，，和，，，，都是等差数列，且公差相同 3．（2023秋•闵行区校级期中）已知数列，，对任意正整数，，，成等差数列，公差为，则　 　． 4．（2023秋•徐汇区校级月考）已知等差数列共有项，各项与公差均不为零，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数列组成的集合为 　 　． 5．（2023秋•黄浦区校级月考）设数列的通项公式为，数列满足，． （1）试确定实数的值，使得数列为等差数列； （2）当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数． 题型二．等差数列的通项公式 6．（2023秋•宝山区校级月考）在等差数列中，、是方程的两根，则的值为　　 A．2 B．3 C． D． 7．（2023秋•静安区校级期中）在等差数列中，，，，则　　． 8．（2023秋•虹口区校级期中）已知等差数列满足，，则公差　　． 9．（2023秋•杨浦区校级月考）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份面包数之和恰好是较少的两份面包数之和的7倍，则最少的那份面包数是　　． 10．（2023秋•长宁区校级期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列．现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为 　　． 题型三．等差数列的前n项和 11．（2023秋•杨浦区校级月考）等差数列 其前项和为，且满足，且，则取得最小值时的的值为　　 A．5 B．4 C．5或6 D．4或5 12．（2023•杨浦区校级模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程里数是　　． A．110 B．120 C．130 D．140 13．（2023春•普陀区校级期末）设等差数列的前项和为，若，且，则　　． 14．（2023秋•宝山区校级月考）等差数列的前项和为，若，，则公差　 　． 15．（2023秋•杨浦区校级月考）等差数列的公差，其前项和为，若，则，2，3，，中不同的数值有 　 　个． 16．（2023秋•虹口区校级月考）已知等差数列的前项和满足，那么以下4个结论中正确的有 　 　．（填所有正确结论的序号 （1）公差 （2）不等式的最小正整数解为13 （3） （4）满足的的个数为11个 17．（2023•杨浦区校级三模）记为等差数列的前项和．已知． （1）若，求的通项公式； （2）若，求使得的的取值范围． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•杨浦区校级期末）在等差数列中，，公差，则　　． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则当　　时，取到最小值． 3．（2023秋•徐汇区校级期末）等差数列中，，，则的公差为 　　． 4．（2023秋•杨浦区校级月考）在等差数列中，若，则　　． 5．（2023•杨浦区校级开学）设等差数列的前项和为，已知，则　　． 6．（2024•松江区校级模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则　　． 7．（2023秋•闵行区校级月考）已知等差数列的前项和为，满足，，则　　． 8．（2023秋•杨浦区校级期末）等差数列中，若，，则的前10项和为 　　． 9．（2023秋•普陀区校级月考）已知等差数列中，，当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是 　　． 10．（2024秋•静安区校级月考）已知数列是等差数列，，公差，为其前项和，满足，则当取得最大值时，　　． 11．（2024秋•浦东新区校级月考）记为等差数列的前项和．若，则公差　　． 12．（2024春•浦东新区校级期末）在等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的自然数是　　． 二．选择题（共4小题） 13．（2024春•闵行区校级期末）已知等差数列中，，那么　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•杨浦区校级期末）若等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为　　 A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 15．（2023秋•浦东新区校级月考）设，则当数列的前项和取得最小值时，的值为　　 A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 16．（2023秋•闵行区校级期中）在1和2之间插入个数，组成首项为1，末项为2的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是　　 A．8个 B．10个 C．12个 D．14个 三．解答题（共5小题） 17．（2022秋•闵行区校级期末）在等差数列中，已知． （1）若，求数列的通项公式； （2）若数列的前5项和，求公差的取值范围． 18．（2024春•杨浦区期末）设数列为等差数列，其公差为，前项和为． （1）已知，，求及； （2）已知，，求． 19．（2023秋•长宁区期末）已知等差数列的前项和为，公差． （1）若，求的通项公式； （2）从集合，，，，，中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率（A）． 20．（2023秋•普陀区校级月考）已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值． 21．（2022春•浦东新区校级月考）已知是公差不为0的等差数列，为其前项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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