第09讲 方程与一元一次方程的解 （8个知识点+4种题型+过关检测）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版2024）

第09讲 方程与一元一次方程的解 （8个知识点+4种题型+过关检测） 知识点1．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 知识点2．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点3．等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 知识点5．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 知识点6．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 知识点7．含绝对值符号的一元一次方程 解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 例如：解方程|x|＝2 解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2 方程的解为x1＝2或x2＝﹣2． 知识点8．同解方程 定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． （或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．） 题型一、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方程的解 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得的解，把解代入方程，解方程可得答案． 【详解】解： 解得：， ∵方程与方程的解相同， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为： 2．（23-24七年级上·安徽六安·期末）下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去分母得 C．由，去括号得 D．把中的分母化为整数得 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、等式的性质、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，常用步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1． 根据解一元一次方程的步骤计算，并判断． 【详解】解：A、由，移项得：，不符合题意； B、由，去分母得：，不符合题意； C、由，去括号得：，不符合题意； D、把中的分母化为整数得，符合题意， 故选：D． 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两名学生根据算式“”在“□”内填一个数字，做填数的游戏． (1)若甲填的数字是，求甲所得的算式P的值． (2)若乙填入数字后，使得算式P的值的相反数等于它本身的值，求出乙填入的数字． 【答案】(1) (2)乙填入的数字为0． 【知识点】含乘方的有理数混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解一元一次方程． （1）原式先计算乘法和乘方，再进行加减运算即可得到答案； （2）根据“相反数等于它本身的数只能是0”，列出方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：当□填时， ； （2）解：设□填的数为， 相反数等于它本身的数只能是0， ， 解得， 乙填入的数字为0． 题型二、解一元一次方程（二）——去括号 4．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）方程，处被墨水盖住了，已知方程的解，那么处的数字是（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、方程的解 【分析】本题考查整式方程的解求参数．根据题意将代入中即可求得本题答案． 【详解】解：∵方程的解， ∴将代入中得：，整理得：， ∴， 故选：C． 5．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）若的值与2互为相反数，则x的值为 ． 【答案】0 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、相反数的定义 【分析】此题考查了相反数的定义和解一元一次方程，直接利用相反数的定义得出，进而得出答案． 【详解】解：∵的值与2互为相反数， ∴， 解得：． 故答案为：0 6．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）解方程：； 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 系数化为1得，． 题型三、解一元一次方程（三）——去分母 7．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）解方程：去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据去分母的法则，等式的性质即可得出答案，注意不要漏乘常数项．熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：，去分母得：， 故选：C． 8．（23-24七年级上·安徽池州·期末）我们知道，含有未知数的等式叫做方程，若规定符号“”的运算意义为，则方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查对题干中新运算的理解，根据，表示出，再结合一元一次方程的解题方法即可解题． 【详解】解：由题知，可化为， 整理得，解得． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤进行计算即可． 本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得． 题型四、解一元一次方程——拓展 10．（23-24七年级上·安徽六安·期末）如果，那么关于x的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】本题考查了解一元一次方程，将代入方程求解即可． 【详解】解：当时，方程为， 解得， 故选：A． 11．（21-22七年级上·安徽淮南·期末）若方程－2=x－1与方程x+m=3的解的绝对值相等，则m= ． 【答案】5或1＃＃1或5 【知识点】解一元一次方程——拓展、绝对值的意义 【分析】根据题意解出两方程的解，得到等式并分情况讨论得到m的值． 【详解】解：， ， ， 解：， ， 所以，， 当， 当． 故m的值为：1或5． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的求解，绝对值的性质；正确解出一元一次方程的解，以及掌握绝对值的性质是解题的关键． 12．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“最美方程”，例如：方程和为“最美方程”． (1)若关于x的方程中与方程是“最美方程”，求m的值； (2)若“最美方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“最美方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或； (3) 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“最美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“最美方程”的定义，即可求出m的值； （2）根据“最美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据两个解的差为7，即可求出n的值； （3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， 方程中与方程是“最美方程”， ， 解得： （2）解：“最美方程”的两个解中，一个解为n， 方程的另一个解为， 这两个解的差为7， 或， 解得：或； （3）解：， ， 方程和是“最美方程”， 方程的解为， 关于y的一元一次方程可化为， ， ． 一、单选题 1．代数式与的值相等，则a等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据题意列等式方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程，做题关键是掌握解一元一次方程． 2．下列各式中，一元一次方程的个数是（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程判断即可． 【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次方程； ②，符合条件，是一元一次方程； ③，符合条件，是一元一次方程； ④不是等式，故不是一元一次方程， ∴共有2个一元一次方程， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 3．方程去分母得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】根据等式的性质2，方程两边都乘12即可． 【详解】解：， 去分母，得4（2x−15）-24＝-3（5-2x）， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确运用等式的性质进行变形是解此题的关键． 4．在解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法-去分母，解题关键是确定分母的最小公倍数；方程两边同乘以最小公倍数6即可，解题时注意符号的变化和不要漏乘； 【详解】解：去分母，得：， 故选：D． 5．下列等式变形不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】等式的性质 【分析】根据等式的性质：等式两边同时加（减）同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘（除）同一个不为0的数或整式，等式仍然成立；逐一判定即可． 【详解】解：A、若，则，选项正确，不符合题意； B、若，则，选项正确，不符合题意； C、若，且时，则，选项不正确，符合题意； D、若，则，选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了等式的性质；熟练掌握等式的性质是解题的关键． 6．关于x的一元一次方程和的解相同，则k的值为（   ） A． B．11 C． D．13 【答案】C 【知识点】方程的解、解一元一次方程——拓展 【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，一元一次方程的解等知识点，能得出关于的方程是解此题的关键． 先求出第一个方程的解，把求出的代入第二个方程，再求出即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于的方程和1)的解相同， ∴把代入方程得：， 解得：， ∴当时，关于的方程和的解相同． 故选：C． 7．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】方程两边同时乘以12，计算即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 故选B． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握去分母的方法是解题的关键． 8．下列解方程步骤正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、等式的性质 【分析】根据一元一次方程的解题步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤一一判断即可． 【详解】解：A、由，得，移项错误，不符合题意； B、由，得，去括号错误，不符合题意； C、由，得，等式性质运用错误，不符合题意； D、由，去分母得；，去括号得：，去分母，去括号正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1． 9．下列方程的变形正确的是（   ） A．由 ，得 B．由 ，得 C．由 ，得 D．由 ，得 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程，移项问题．根据移项法则是移项变号，清楚移项是指把方程中的某一项或某些项，改变符号后，从方程的一边移到另一边，规则是不移动的项放在最前边，移动的项放在后边，便于检查． 【详解】解：A、由 ，得 ，故原式变形错误，不符合题意； B、由 ，得 ，故原式变形正确，符合题意； C、由 ，得 ，故原式变形错误，不符合题意； D、由 ，得 ，故原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 10．下列各题中的变形属于移项的是（　　） A．由，得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质和应用，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键； 根据等式的性质中移项的法则，逐项判断即可． 【详解】A．由，得，将方程右边2移到左边变为，将方程左边移到右边变为错误，不属于移项，故选项不符合题意； B．由，得，等号右边运用了加法的交换律，不属于移项，故选项不符合题意； C．由得，将方程右边x移到左边变为，将方程左边8移到右边变为，故属于移项，符合题意； D．由，得，运用了等式的对称性，不属于移项，故选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题 11．已知二元一次方程，用含的代数式表示为 ． 【答案】 【知识点】等式的性质 【分析】先移项，再把的系数化为1即可． 【详解】解：移项得，， 将的系数化为1得，． 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的变形，熟知等式的基本性质是解答此题的关键． 12．关于x的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，注意等式两边同时乘或除以一个不为0的数，所得结果仍然是等式．根据，得到，方程两边都除以即可求得方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 方程两边都除以得：， 故答案为：． 13．已知关于的方程与的解相同，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m的方程，从而可以求出m的值． 【详解】解：由，得， 由，得， 由关于的方程与的解相同，得 ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同解方程，解决的关键是能够求解关于y的方程，根据同解的定义建立方程． 14．明明在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是 ． 【答案】5 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方程的解 【分析】直接把代入到方程中进行求解即可． 【详解】解：设●用a表示，把代入方程得， 解得：． 故答案是：5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程解的定义，解一元一次方程，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 三、解答题 15．解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1，． 16．补全解方程的过程： 解：移项，得_________． 合并同类项，得____________________________． 系数化为，得________________． 【答案】；；；； 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 故答案为：；；；；． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 17．若方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【详解】解方程，得，因为方程的解与关于x的方程的解互为相反数，所以关于x的方程的解为，所以，解得 18．如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    (1)用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； (2)请根据题意列出关于的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】列方程、用代数式表示式 【分析】本题考查了列方程，列代数式； （1）长方体盒子底面的宽为，则长为；容积=长×宽×高； （2）令(1)代数式表示出的容积=15即可． 【详解】（1）长方体盒子底面的宽为，则长为． 容积为； （2）根据题意，得 19．已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程的解与关于x的方程的解相同，求n的值． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程的定义、方程的解 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义及同解方程： （1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值； （2）把m的值代入方程求出方程的解，根据方程同解的条件列式可得n的值． 【详解】（1）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，， 解得：； （2）当时，方程为：， 解得：， ， ， ， , ∴， ∴． 20．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，准确计算． （1）本题考查解一元一次方程，去括号，移项合并同类型，系数化为1即可得到答案； （2）本题考查解一元一次方程，去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案； 【详解】（1）解：去括号得， ， 移项得， ， 合并同类项得， ， 系数化为1得， ； （2）解：去分母得， ， 去括号得， ， 移项得， ， 合并同类项得， ， 系数化为1得， ． 21．如图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m） (1)其中客厅的面积为，求y的值为______；用含x的式子表示这所住宅的总面积______； (2)若铺1平方米地砖平均费用100元，当米时，这套住宅铺地砖总费用为多少元． (3)当面积为时，求x的值． 【答案】(1)5， (2)这套住宅铺地砖总费用为6400元； (3)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知字母的值 ，求代数式的值、用代数式表示式 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值． （1）根据长方形面积公式即可求出y的值；根据这所住宅的总面积等于各部分图形面积之和即可得出答案； （2）把代入（1）中的代数式求值即可，然后乘以100即可得出这套住宅铺地砖总费用； （3）根据题意列出式子，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴这所住宅的总面积， 故答案为：5，； （2）解：当时， ， （元）， 答：这套住宅铺地砖总费用为6400元； （3）解：由题意得，， ∴， 解得． 22． 定义一种新运算“”：．例如，． (1)计算：的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握新运算的法则，是解题的关键． （1）根据新运算，列出算式进行计算即可； （2）根据新运算，列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴， ∴． 23．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 ①________ 长方体 8 6 12 正八面体 ②________ 8 12 正十二面体 20 12 ③________ 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是________． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是________； (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 【答案】(1)6，6，30， (2)20 (3)26 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系、解一元一次方程（二）——去括号、图形类规律探索 【分析】（1）观察图形，即可得出各个几何体的顶点数，面数和棱数，观察其变化，总结出一般规律即可； （2）设该几何体的顶点数为V，则面数为，列出方程求解即可； （3）先根据顶点数，求出棱数，再根据（1）中的顶点，面和棱的关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知： 四面体棱数为6，正八面体顶点数为6，正十二面体棱数为30； 顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是：； 故答案为：6，6，30，； （2）设该几何体的顶点数为V，则面数为， ， 解得：， 故答案为：20； （3）∵该多面体有48个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴该多面体有条棱， 设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 则该多面体一共有个面， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，解题的关键是仔细观察图形，得出欧拉公式：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 方程与一元一次方程的解 （8个知识点+4种题型+过关检测） 知识点1．方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 知识点2．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点3．等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 知识点5．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 知识点6．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 知识点7．含绝对值符号的一元一次方程 解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 例如：解方程|x|＝2 解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2 方程的解为x1＝2或x2＝﹣2． 知识点8．同解方程 定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． （或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．） 题型一、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 2．（23-24七年级上·安徽六安·期末）下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去分母得 C．由，去括号得 D．把中的分母化为整数得 3．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两名学生根据算式“”在“□”内填一个数字，做填数的游戏． (1)若甲填的数字是，求甲所得的算式P的值． (2)若乙填入数字后，使得算式P的值的相反数等于它本身的值，求出乙填入的数字． 题型二、解一元一次方程（二）——去括号 4．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）方程，处被墨水盖住了，已知方程的解，那么处的数字是（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 5．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）若的值与2互为相反数，则x的值为 ． 6．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）解方程：； 题型三、解一元一次方程（三）——去分母 7．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）解方程：去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·安徽池州·期末）我们知道，含有未知数的等式叫做方程，若规定符号“”的运算意义为，则方程的解是 ． 9．（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）解方程： 题型四、解一元一次方程——拓展 10．（23-24七年级上·安徽六安·期末）如果，那么关于x的方程的解是（　　） A． B． C． D． 11．（21-22七年级上·安徽淮南·期末）若方程－2=x－1与方程x+m=3的解的绝对值相等，则m= ． 12．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“最美方程”，例如：方程和为“最美方程”． (1)若关于x的方程中与方程是“最美方程”，求m的值； (2)若“最美方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“最美方程”，求关于y的一元一次方程的解． 一、单选题 1．代数式与的值相等，则a等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列各式中，一元一次方程的个数是（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．方程去分母得（    ） A． B． C． D． 4．在解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列等式变形不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．关于x的一元一次方程和的解相同，则k的值为（   ） A． B．11 C． D．13 7．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列解方程步骤正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 9．下列方程的变形正确的是（   ） A．由 ，得 B．由 ，得 C．由 ，得 D．由 ，得 10．下列各题中的变形属于移项的是（　　） A．由，得 B．由得 C．由得 D．由得 二、填空题 11．已知二元一次方程，用含的代数式表示为 ． 12．关于x的方程的解是 ． 13．已知关于的方程与的解相同，则 ． 14．明明在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是 ． 三、解答题 15．解方程：． 16．补全解方程的过程： 解：移项，得_________． 合并同类项，得____________________________． 系数化为，得________________． 17．若方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值． 18．如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    (1)用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； (2)请根据题意列出关于的方程． 19．已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程的解与关于x的方程的解相同，求n的值． 20．解方程 (1)； (2)． 21．如图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m） (1)其中客厅的面积为，求y的值为______；用含x的式子表示这所住宅的总面积______； (2)若铺1平方米地砖平均费用100元，当米时，这套住宅铺地砖总费用为多少元． (3)当面积为时，求x的值． 22． 定义一种新运算“”：．例如，． (1)计算：的值； (2)已知，求的值． 23．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 ①________ 长方体 8 6 12 正八面体 ②________ 8 12 正十二面体 20 12 ③________ 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是________． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是________； (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$