专题3.4 二（三）元一次方程组及其解法（高效培优讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题3.4 二（三）元一次方程组及其解法 教学目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及解的定义，能准确判断给定方程是否为二元一次方程、方程组是否为二元一次方程组，以及某组数值是否为方程组的解；拓展至三元一次方程、三元一次方程组及解的概念，明确其与二元一次方程组的关联与区别。 2.熟练掌握二元一次方程组的两种核心解法，能根据方程组的结构特点选择合适的解法，准确求解二元一次方程组；初步掌握三元一次方程组的解法，能通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而求解。 教学重难点 一、教学重点​ 1.二（三）元一次方程、方程组及解的概念理解，能清晰区分相关概念的内涵与外延。​ 2.二元一次方程组的代入消元法和加减消元法的掌握与灵活运用，能根据方程组特点选择最优解法。​ 3.三元一次方程组向二元一次方程组转化的消元思路，以及转化后方程组的求解。​​ 二、教学难点​ 1.对二元一次方程组解的本质理解，以及三元一次方程组解的多元性认知。​ 2.加减消元法中，如何根据未知数系数特点合理选择消去的未知数，以及通过等式变形使某一未知数系数互为相反数或相等的技巧掌握。​ 3.三元一次方程组消元过程中，避免漏消或重复消元，确保转化过程的准确性与简洁性。 知识点01 二元一次方程 1.二元一次方程的定义：含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程 . 2. 二元一次方程的必备条件 原方程：(1) 整式方程； (2) 只含有两个未知数 . 化简后的方程：(1) 两个未知数的系数都不为 0； (2) 含有未知数的项的次数都是 1. 3. 二元一次方程的解 适合二元一次方程的一组未知数的值叫作二元一次方程的一个解 . 4. 判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法 判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左、右两边： 若左边 = 右边，则这对数值是这个方程的解； 若左边≠ 右边，则这对数值不是这个方程的解 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 二元一次方程组的概念 1. 二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组 . 2. 二元一次方程组应满足的条件 (1) 两个方程都是整式方程； (2) 共含有两个未知数； (3)一共有两个方程，每个方程都是一次方程 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解 . 2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法： 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这对数值就不是这个方程组的解 . 【即学即练】已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 知识点04 代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法的定义：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法 . 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 选取一个未知数系数比较简单的二元一 次方程 变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为(或)(， 是常数， ≠ 0) 的形式 一 般选未知 数系数比较 简单的方程变形 ②代入 把(或)代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方 程只能代入 另一个方程( 或另一个方程变形后的方程) ③求解 解 消 元 后 的 一 元一次方程 求出一个未知数的值 去 括号 时不 能漏乘，移 项 时 所 移的项要变号 ④回代 把 求 得 的 未 知 数的 值 代 入 步 骤 ①中变形后的方程 求 出 另 一 个 未 知数的值 一 般代 入变 形后的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“｛”将 未 知 数的值联立起来 【即学即练1】直接代入 （23-24七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组： 【即学即练2】变形代入 解方程组 【即学即练3】整体代入 （23-24七年级上·安徽六安·期末）解方程（组） 知识点05 加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法的定义：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫作加减消元法，简称加减法 . 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 找两个方程中系数较简单的同一个未知数，根据其系数绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 使 某 一 个 未 知 数在 两 个 方 程 中 的系 数 相 等 或 互 为相反数 (1) 选择消元对象：两个方程中，当某个未知数的系数相等或互为相反数或成倍数关系时，选择消去该未知数较简单； (2) 把 某 个 方 程 乘 一 个数 时，方 程 两 边 的 每 一项都要和这个数相乘 ②加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消 去 一 个 未 知数，将 二 元 一 次方程组转化为一元一次方程 (1) 把两个方程相加(减)时，一 定 要 把 两 个 方 程两边分别相加(减)； (2) 应用减法消元时，注意符号的 变化 ③求解 解 消 元 后 的 一 元一次方程 求出一个未知数的值 ④回代 把 求 得 的 未 知 数的 值 代 入 方 程 组中 某 个 系 数 较 简单的方程 求 出 另 一 个 未 知数的值 回代时选择系数较简单的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 【即学即练1】相同未知数的系数互为相反数，直接相加消元 （24-25七年级下·安徽阜阳·期末）解方程组：． 【即学即练2】相同未知数的系数相同，直接相减消元 （24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）解方程组：． 【即学即练3】相同未知数的系数成倍数关系，系数变换后直接加减消元 （24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）解方程组：． 【即学即练4】相同未知数的系数无特殊关系，系数变换后直接加减消元 解方程组： 知识点06 三元一次方程组的概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作三元一次方程 . 必备条件：(1)是整式方程；(2) 含三个未知数； (3) 是一次方程 . 2. 三元一次方程组 由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组 . 必备条件：(1)都是整式方程；(2) 含三个未知数；(3) 有三个方程；(4)都是一次方程 . 【即学即练】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 知识点07 三元一次方程组的解法 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减” 进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一次方程 . 2.求解方法 加减消元法和代入消元法 . 3. 解三元一次方程组的一般步骤 (1)消元： 利用代入法或加减法消去三元一次方程组中的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2) 求解： 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3) 回代： 将求得的两个未知数的值代入原方程组中一个系数比较简单的且含最后一个未知数的方程，得到一个一元一次方程； (4) 求解： 解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5) 写解： 将求得的三个未知数的值用符号“ {”合写在一起 . 【即学即练】解方程组： 题型01 根据一元二次方程的概念求值 【例1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．0 【变式1-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式1-2】（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-3】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ． 题型02 根据二元一次方程组解的情况求参数 【例2-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 【例2-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组的解满足，则 ． 【例2-3】（22-23七年级上·安徽滁州·期末）已知是方程组的解，求的值． 【变式2-1】已知方程组的解满足则的值为（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）现代高等代数中将关于x，y的方程组简约地表示为，这种由方程组中未知数的系数与常数项按照一定顺序排列组成的表称为矩阵．若关于x，y的二元一次方程组的矩阵是，且满足，则t与m关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 【变式2-4】（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 题型03 用适当的方法解二元一次方程组 【例3】解方程组． 【变式3-1】解方程组：． 【变式3-2】解方程组： (1) (2) 【变式3-3】解下列方程组： (1) (2) 题型04 二元一次方程组的特殊解法 【例4】若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 题型05 二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（2024七年级上·安徽·专题练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【变式5-1】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求的值． 【变式5-2】（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【变式5-3】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 题型06 二元一次方程组的同解问题 【例6】（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于的方程组和有相同的解，求的值． 【变式6-1】若关于x的方程和有相同的解，求k的值． 【变式6-2】方程组与有相同的解，求a，b及方程组的解． 题型07 解三元一次方程组 【例7】解方程组： 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，则的值为 ． 【变式7-2】阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下： 解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题： （1）试求方程组的解 （2）已知x､y､z，满足，求z的值． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程，用含的式子表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知那么的值是（        ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知有理数x，y，z满足方程组，则等于（    ） A． B．6 C． D．0.6 5．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 二、填空题 7．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知x、y是方程组的解，则的值是 8．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解满足，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）已知方程组的解也是关于x，y的方程的一个解，则a的值为 ． 10．已知是方程组的解，则 ． 11．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（，为常数）．例如，当，且时，． （1）当，且时， ； （2）若， ； 三、解答题 12．（24-25七年级上·安徽六安·期末）解方程组： 13．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）解方程组： 14．解下列方程组 (1) (2) 15.已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 16．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）已知关于的二元一次方程组． (1)若，请写出方程①的所有正整数解； (2)由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为，求的值及原方程组的解． 17．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）我们规定，关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于，的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于，的“最佳”方程组的解，求的值． 18．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 二（三）元一次方程组及其解法 教学目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及解的定义，能准确判断给定方程是否为二元一次方程、方程组是否为二元一次方程组，以及某组数值是否为方程组的解；拓展至三元一次方程、三元一次方程组及解的概念，明确其与二元一次方程组的关联与区别。 2.熟练掌握二元一次方程组的两种核心解法，能根据方程组的结构特点选择合适的解法，准确求解二元一次方程组；初步掌握三元一次方程组的解法，能通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而求解。 教学重难点 一、教学重点​ 1.二（三）元一次方程、方程组及解的概念理解，能清晰区分相关概念的内涵与外延。​ 2.二元一次方程组的代入消元法和加减消元法的掌握与灵活运用，能根据方程组特点选择最优解法。​ 3.三元一次方程组向二元一次方程组转化的消元思路，以及转化后方程组的求解。​​ 二、教学难点​ 1.对二元一次方程组解的本质理解，以及三元一次方程组解的多元性认知。​ 2.加减消元法中，如何根据未知数系数特点合理选择消去的未知数，以及通过等式变形使某一未知数系数互为相反数或相等的技巧掌握。​ 3.三元一次方程组消元过程中，避免漏消或重复消元，确保转化过程的准确性与简洁性。 知识点01 二元一次方程 1.二元一次方程的定义：含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程 . 2. 二元一次方程的必备条件 原方程：(1) 整式方程； (2) 只含有两个未知数 . 化简后的方程：(1) 两个未知数的系数都不为 0； (2) 含有未知数的项的次数都是 1. 3. 二元一次方程的解 适合二元一次方程的一组未知数的值叫作二元一次方程的一个解 . 4. 判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法 判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左、右两边： 若左边 = 右边，则这对数值是这个方程的解； 若左边≠ 右边，则这对数值不是这个方程的解 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由二元一次方程的定义可知，只有A选项中的方程是二元一次方程， 故选：A． 知识点02 二元一次方程组的概念 1. 二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组 . 2. 二元一次方程组应满足的条件 (1) 两个方程都是整式方程； (2) 共含有两个未知数； (3)一共有两个方程，每个方程都是一次方程 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是二元一次方程组，符合题意； B、不是整式方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； C、是二次方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二次方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 知识点03 二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解 . 2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法： 判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这对数值就不是这个方程组的解 . 【即学即练】已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 知识点04 代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法的定义：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法 . 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 选取一个未知数系数比较简单的二元一 次方程 变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为(或)(， 是常数， ≠ 0) 的形式 一 般选未知 数系数比较 简单的方程变形 ②代入 把(或)代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方 程只能代入 另一个方程( 或另一个方程变形后的方程) ③求解 解 消 元 后 的 一 元一次方程 求出一个未知数的值 去 括号 时不 能漏乘，移 项 时 所 移的项要变号 ④回代 把 求 得 的 未 知 数的 值 代 入 步 骤 ①中变形后的方程 求 出 另 一 个 未 知数的值 一 般代 入变 形后的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“｛”将 未 知 数的值联立起来 【即学即练1】直接代入 （23-24七年级上·安徽·期末）解二元一次方程组： 【详解】解： 把①代入②得， 解得 把代入①得， ∴ 【即学即练2】变形代入 解方程组 【详解】解：由得， 把代入，得， 解得：， 把代入，得， 方程组的解为：． 【即学即练3】整体代入 （23-24七年级上·安徽六安·期末）解方程（组） 【详解】 解：将①代入②中，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 知识点05 加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法的定义：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫作加减消元法，简称加减法 . 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 找两个方程中系数较简单的同一个未知数，根据其系数绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 使 某 一 个 未 知 数在 两 个 方 程 中 的系 数 相 等 或 互 为相反数 (1) 选择消元对象：两个方程中，当某个未知数的系数相等或互为相反数或成倍数关系时，选择消去该未知数较简单； (2) 把 某 个 方 程 乘 一 个数 时，方 程 两 边 的 每 一项都要和这个数相乘 ②加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消 去 一 个 未 知数，将 二 元 一 次方程组转化为一元一次方程 (1) 把两个方程相加(减)时，一 定 要 把 两 个 方 程两边分别相加(减)； (2) 应用减法消元时，注意符号的 变化 ③求解 解 消 元 后 的 一 元一次方程 求出一个未知数的值 ④回代 把 求 得 的 未 知 数的 值 代 入 方 程 组中 某 个 系 数 较 简单的方程 求 出 另 一 个 未 知数的值 回代时选择系数较简单的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 【即学即练1】相同未知数的系数互为相反数，直接相加消元 （24-25七年级下·安徽阜阳·期末）解方程组：． 【详解】解： 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 则方程组的解为． 【即学即练2】相同未知数的系数相同，直接相减消元 （24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）解方程组：． 【详解】解：，得 解得 把代入①，得 解得． ∴原方程组的解是． 【即学即练3】相同未知数的系数成倍数关系，系数变换后直接加减消元 （24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）解方程组：． 【详解】解：， ②①得， 解得， 把代入①得，解得， 所以方程的解为． 【即学即练1】相同未知数的系数无特殊关系，系数变换后直接加减消元 解方程组： 【详解】（2）①②，得，解得． 把代入①，得，解得， 所以原方程组的解为 故答案为：. 知识点06 三元一次方程组的概念 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作三元一次方程 . 必备条件：(1)是整式方程；(2) 含三个未知数； (3) 是一次方程 . 2. 三元一次方程组 由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组 . 必备条件：(1)都是整式方程；(2) 含三个未知数；(3) 有三个方程；(4)都是一次方程 . 【即学即练】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 知识点07 三元一次方程组的解法 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减” 进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一次方程 . 2.求解方法 加减消元法和代入消元法 . 3. 解三元一次方程组的一般步骤 (1)消元： 利用代入法或加减法消去三元一次方程组中的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2) 求解： 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3) 回代： 将求得的两个未知数的值代入原方程组中一个系数比较简单的且含最后一个未知数的方程，得到一个一元一次方程； (4) 求解： 解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5) 写解： 将求得的三个未知数的值用符号“ {”合写在一起 . 【即学即练】解方程组： 【详解】解：得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为． 题型01 根据一元二次方程的概念求值 【例1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， 故选：A． 【变式1-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 【变式1-2】（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， 解得：， 故选：B 【变式1-3】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）若是关于x、y的二元一次方程，则的值 ． 【答案】 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 题型02 根据二元一次方程组解的情况求参数 【例2-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【详解】解： 由②得，③ 把③代入①，得，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当15时，． 则所有满足条件的整数之和为8． 故选：C. 【例2-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的方程组的解满足，则 ． 【答案】 解为，再代入求解的值． 【详解】解：解方程组得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【例2-3】（22-23七年级上·安徽滁州·期末）已知是方程组的解，求的值． 【详解】解：把代入方程组得， ①+②得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴． 【变式2-1】已知方程组的解满足则的值为（     ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】D 【详解】解： ， ②﹣①，得36x﹣36y＝﹣72， ∴x﹣y＝﹣2， ∵x﹣y＝3m+1， ∴3m+1＝﹣2， ∴m＝﹣1， 故选：D． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）现代高等代数中将关于x，y的方程组简约地表示为，这种由方程组中未知数的系数与常数项按照一定顺序排列组成的表称为矩阵．若关于x，y的二元一次方程组的矩阵是，且满足，则t与m关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意得， 得， 解得 将代入①得， ∵ ∴ 整理得，． 故选：D． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 【答案】或或 【详解】解：， 由①可得：， ∵、为正整数， ∴或或， ∴或或， 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 【变式2-4】（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 【详解】（1）解：联立与， 得      解得 把 代入方程中， 得 ， 解得 （2）∵无论实数k取何值，方程总有一个公共解， ∴的取值与无关， ∴，即方程化为，解得 无论实数k取何值，方程总有一个公共解，该公共解为. 题型03 用适当的方法解二元一次方程组 【例3】解方程组． 【答案】 【详解】解：根据题意可知， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故方程组的解为． 【变式3-1】解方程组：． 【详解】解： 由①得，③ 把③代入②，得． 解得． 把代入③，得． ∴方程组的解为：． 【变式3-2】解方程组： (1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【变式3-3】解下列方程组： (1) (2) 【详解】（1）解：整理方程组，得 ②-①，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2）解： ①+②，得， ．③ ②-①，得， ．④ ③+④，得，解得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解为 题型04 二元一次方程组的特殊解法 【例4】若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，， 则关于x，y的方程组就是关于m，n的方程组 ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-1】若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将原方程组整理为：， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， 解得． 故选：A． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 【答案】 【详解】解：方程组可化为：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：； ∴方程组的解为． 故答案为：． 题型05 二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（2024七年级上·安徽·专题练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组的解为． 【详解】解：把代入方程②中得：， 解得：， 把代入方程①中得：， 解得：， 原方程组为， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 所以原方程组的解为． 【变式5-1】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求的值． 【详解】解：将代入方程，将代入方程， 可得，解得． 【变式5-2】（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【详解】（1）解：由题意知，是方程组的解， ∴， 解得， ∵乙看错了方程组中的，求得的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴正确的，，的值为：，，； （2）解：当，，时，原方程组变为： ， ①＋②，得：， 解得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【变式5-3】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 (1)求a，b的值； (2)求出方程组的正确解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 即； （2）解：由（1）知 原方程组为 由①②得 解得 把代入①得 解得 原方程组的解为． 题型06 二元一次方程组的同解问题 【例6】（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于的方程组和有相同的解，求的值． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程组和有相同的解， ∴方程组和方程组的解相同， 解方程组，得， 将代入， 得， ，得， ∴． 【变式6-1】若关于x的方程和有相同的解，求k的值． 【详解】解：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； 把代入方程中得：，即， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 【变式6-2】方程组与有相同的解，求a，b及方程组的解． 【详解】∵方程组与有相同的解， ∴联立方程组   解得 ∴ 解得 . 题型07 解三元一次方程组 【例7】解方程组： 【详解】解：由得：， 解得：， 由得： ④， 将代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解： 得 ∴ 故答案为：． 【变式7-2】阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下： 解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题： （1）试求方程组的解 （2）已知x､y､z，满足，求z的值． 【详解】解：（1）， 由②得③， 把方程①代入③得，， 解得：y=-3，代入①得，x=-1， 所以方程组的解为：； （2）， 由①得③， 由②得④， ③×2-④×3得z=2． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程，用含的式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的知识，把x看作已知数，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知那么的值是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相减即可求解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解： 得：， ∴， 故选：． 3．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可． 【详解】解：， 由①得：， 将③代入②得：， 去分母得：， 解得：， 将代入③，解得：， 丙在去分母的时候出现了错误， 故选：C． 4．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知有理数x，y，z满足方程组，则等于（    ） A． B．6 C． D．0.6 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是用加减消元法消掉．用加减消元法消掉即可得出答案． 【详解】解：方程组， ①②，得 ， ． 故选：A 5．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 通过加减消元法解方程组即可． 【详解】解：方程组为： ，得：， ，得：， 化简得：， 解得：， 将代入方程②，得：， ∴方程组的解为． 故选：B． 6．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 二、填空题 7．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知x、y是方程组的解，则的值是 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用加减消元法求出x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解： ，得 ∴ 把代入①，得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：3 8．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知解一元二次方程组的加减消元法是解题的关键．先把方程组中的方程相减求出的值，再与相比较即可得出的值． 【详解】解：， 得，， ， ， 解得． 故答案为：1． 9．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）已知方程组的解也是关于x，y的方程的一个解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：方程组， 把②代入①得：， 解得：，代入①中得，， 解得：， 把，代入方程得，， 解得：． 故答案为：． 10．已知是方程组的解，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查解三元一次方程组，设，则，，，代入方程中，求出的值，进而求出的值，求和即可． 【详解】解：设，则，，，代入方程得，即， 合并得， 解得． 所以，，， 则． 故答案为：15． 11．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（，为常数）．例如，当，且时，． （1）当，且时， ； （2）若， ； 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据新定义运算列式计算即可； （2）根据新定义运算和解二元一次方程组列式计算即可． 【详解】解：（1）当，且时， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25七年级上·安徽六安·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据加减消元法，由得③，由得求得x的值，即可求解． 【详解】解：由得，③ 得 解得： 将代入得 所以方程组的解为：. 13．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 14．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）①＋②×3得出10x＝50，求出x，再把x＝5代入②求出y即可； （2）①−③得出3y＋2z＝3④，由②和④组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，再把代入①求出x即可． 【详解】（1）解：， ①＋②×3，得10x＝50， 解得：x＝5， 把x＝5代入②，得10＋y＝13， 解得：y＝3， ∴原方程组的解是； （2）解：， ①−③，得3y＋2z＝3④， 由②和④组成一个二元一次方程组： ， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴原方程组的解是． 15.已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】；7 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义．方程组有相同的解，所以只需求出的解，再代入，即可求出未知数的值． 【详解】解：根据题意得：方程组， ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴， 把代入方程组， 得， 同理解得：， ∴的值为，的值为7． 16．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）已知关于的二元一次方程组． (1)若，请写出方程①的所有正整数解； (2)由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为，求的值及原方程组的解． 【答案】(1)， (2)；； 【知识点】二元一次方程的解、二元一次方程组的错解复原问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】（1）将代入方程，分别令，，求出对应的的值即可； （2）将代入②式可求得的值；将代入①式可求得的值；从而得出原方程组，进一步解方程组即可； 【详解】（1）解：将代入方程可得： 当时，； 当时，； 当时，，没有符合条件的解； ∴该方程的正整数解为：， （2）解：将代入②得： 解得： 将代入①得： 解得： ∴原方程组为 得： 解得： 得： 解得： ∴原方程组的解为： 17．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）我们规定，关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于，的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于，的“最佳”方程组的解，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3)5 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“最佳”方程的定义是解题的关键． （1）根据“最佳”方程的定义进行判断即可； （2）根据“最佳”方程的定义，进行求解即可； （3）先根据“最佳”方程组的定义求出，的值，再根据方程组的解的定义，得到关于，的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：中，， 方程是最佳方程， 故答案为：是； （2）解：∵关于，的二元一次方程是“最佳”方程， ，解得； （3）解：方程组是“最佳”方程组， ，， ，， 原方程组为， 是方程组的解， ， 解得， ． 18．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）【问题呈现】已知实数x，y满足，且，求k的值． 【方法对比】 甲、乙、丙三名同学分别提出了三种不同的解题思路如下： （1）甲同学：先解关于x，y的方程组，再求k的值． （2）乙同学：先将方程组中的两个方程相减，再求k的值． （3）丙同学：先解方程组，再求k的值． 【解答问题】 你欣赏哪名同学的解题思路？请根据你所选的思路解答此题． 【答案】见解析， 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． 第一种思路：利用加减消元法解方程组，可用含k的式子表示出方程组的解，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第二种思路：利用加减消元法用含k的式子表示出的结果，再根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案； 第三种思路：可建立方程组，解方程组后根据建立关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 第一种：我欣赏甲同学的思路， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得； 第二种：我欣赏乙同学的思路， 得， ∵， ∴， 解得 第三种：我欣赏丙同学的思路， 由题意得， 得：，解得， 把代入③得：，解得 ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $