精品解析：2024--2025学年北师大版八年级上册 数学期中试卷

2024-2025学年八年级（上）期中数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试时间：100分钟满分试卷：120分 第I卷（选择题） 一、选择题（共10题） 1. 在实数（1和3之间的2逐次加1个）钟，无理数的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（　　）平方米． A. 96 B. 204 C. 196 D. 304 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，透明圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（ ）cm． A. 9 B. 10 C. 18 D. 20 5. 如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，过原点作垂直于直线交于点，过点作垂直于轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点过点作垂直于轴于点……依此规律作下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 正比例函数y＝kx与一次函数y＝x﹣k在同一坐标系中的图象大致应为（　　） A B. C. D. 7. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 下列各组数能构成勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 已知点都在直线上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. 下列说法：① -0.25的平方根是±0.5；②任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数；③任何一个非负数的平方根都不大于这个数；④平方根等于本身的数是0．其中正确的是（ ） A. ④ B. ①② C. ②③ D. ③ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共5题） 11. 写出一个过点且y随x增大而减小的一次函数关系式____________． 12. 比较大小：___________1（填“>”、“<”或“=”） 13. 已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线轴，则m的值为______． 14. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后 _____． 15. 如图，在直角三角形纸片中，，，，是的中点，是上的一个动点，将三角形纸片沿折叠，连接，当是直角三角形时，的长为______． 三、计算题（共1题） 16. 计算： （1） （2） 四、解答题（共7题） 17. （1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边与斜边c满足关系式，称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴． ∴______ 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证过程． （3）如图3所示，，请你添加适当的辅助线，证明结论． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求的长； （2）求点C和点D坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 20. 如图为东明一中新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为个单位的正方形，若教学楼的坐标为A（1，2），图书馆的位置坐标为B（-2，-1），解答以下问题： （1）在图中找到坐标系中的原点，并建立直角坐标系； （2）若体育馆的坐标为C（1，-3），食堂坐标为D（2，0），请在图中标出体育馆和食堂的位置； （3）连接AB，AC，BC，画出∆ABC关于x轴对称的A'B'C'． 21. （1）观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 填空： ， ． （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②，记的整数部分为x，则 ． 22. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，为建立整洁舒适居住环境，某小区物业打算购买一批垃圾桶． 方案：买分类垃圾桶，需要费用元，以后每月垃圾处理费用元； 方案：买不分类垃圾桶，需要费用元，以后每月的垃圾处理费用为元． 设交费时间为个月，购买费和垃圾处理费共元． 分别写出两种方案中与之间的函数表达式： 方案：____________________；方案：____________________． 在同一平面直角坐标系中，画出、的图象； 请说明中，和的实际意义？ 在垃圾桶的使用寿命相同的情况下，那种方案更省钱？ 23. 新学期，两摞规格相同准备发放的课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： （1）若（本）表示课本数，表示整齐叠放在桌面上的课本距离地面的高度，则是的一次函数，请求出关于的函数表达式； （2）桌面上有55本与题（1）中相同的课本，整齐叠放成一摞，求这些数学课本距离地面的高度； （3）小马说：如果把我班60名学生这种课本整齐叠成一摞放在地面上，则它离地面有高．你认为小马的说法正确吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（上）期中数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试时间：100分钟满分试卷：120分 第I卷（选择题） 一、选择题（共10题） 1. 在实数（1和3之间的2逐次加1个）钟，无理数的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：,, 、、、是无理数，共4个． 故选：C． 2. 如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（　　）平方米． A. 96 B. 204 C. 196 D. 304 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差． 【详解】连接AC， 则在中， ， ∴AC=15，在 中，， ， ∴ ， ∴ ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理和三角形面积的应用，解题的关键是正确添加辅助线. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算及算术平方根的意义即可判断． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法、二次根式的性质以及算术平方根的意义等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 4. 如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（ ）cm． A. 9 B. 10 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】将容器侧面展开，建立A关于上边沿对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求． 【详解】解：如图， 将容器侧面展开，作A关于EF的对称点，连接，则即为最短距离， 根据题意：，， ． 所以底面圆的周长为9×2=18cm. 故选：C． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 5. 如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，过原点作垂直于直线交于点，过点作垂直于轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点过点作垂直于轴于点……依此规律作下去，则点的坐标是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质求得的长，同理求得的长，再求得的长，…，找到规律，根据这个规律可以求解． 【详解】∵直线与两坐标轴的交点为：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴为的中点， ∵轴， ∴， 同理：为的中点， ∴， ， … ∴， ∴的纵坐标为：，横坐标为：，即， ∴点的坐标是 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定和性质，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 6. 正比例函数y＝kx与一次函数y＝x﹣k在同一坐标系中的图象大致应为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分别确定的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能． 【详解】根据图象知： A、k＜0，﹣k＜0．解集没有公共部分，所以不可能； B、k＜0，﹣k＞0．解集有公共部分，所以有可能； C、k＞0，﹣k＞0．解集没有公共部分，所以不可能； D、正比例函数的图象不对，所以不可能． 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b的图象的四种情况是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系每一象限点的坐标特征是解题的关键．根据平面直角坐标系中点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据第四象限内点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为， 故选：B． 8. 下列各组数能构成勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．判断一组数是否为勾股数时，必须满足勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，但不是正整数，故选项不合题意； B、，不能构成直角三角形，故选项不合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项不合题意； D、，能构成直角三角形，是整数，故选项符合题意； 故选：D． 9. 已知点都在直线上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小． 又∵，且点都在直线上， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小． 10. 下列说法：① -0.25的平方根是±0.5；②任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数；③任何一个非负数的平方根都不大于这个数；④平方根等于本身的数是0．其中正确的是（ ） A. ④ B. ①② C. ②③ D. ③ 【答案】A 【解析】 【分析】平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根；算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根；依此即可求解． 【详解】解：① -0.25没有平方根，故原说法错误； ②任何数的平方都是非负数，而负数没有平方根，故原说法错误； ③任何一个非负数的平方根有可能大于这个数，例如，的平方根是，而，故原说法错误； ④平方根等于本身的数是0，说法正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共5题） 11. 写出一个过点且y随x增大而减小的一次函数关系式____________． 【答案】y=-x+1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，k＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小，然后解答即可． 【详解】解：∵函数值y随自变量x的增大而减小， ∴设一次函数关系式为y=-x+b， 把点（0，1）代入得，b=1， ∴一次函数关系式y=-x+1． 故答案为：y=-x+1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 12. 比较大小：___________1（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】先求出，然后利用作差法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知作差法比较大小的方法是解题的关键． 13. 已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线轴，则m的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点A（m+1，-2），B（3，m-1），直线ABx轴， ∴m-1=- 2， 解得m=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键． 14. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用数轴确定a的取值范围，然后结合二次根式的性质及整式加减运算法则进行化简求解． 【详解】解：由题意可得， ∴，， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的化简，整式的加减运算，理解二次根式的性质，利用数形结合思想解题是关键． 15. 如图，在直角三角形纸片中，，，，是的中点，是上的一个动点，将三角形纸片沿折叠，连接，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当时，当时，由直角三角形的性质结合勾股定理分别求解即可． 【详解】解：如图中，当时， ， ， ∴，，共线， ∵是的中点， ∴， ∵， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ； 如图中，当时，， ∴根据折叠可知：， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 三、计算题（共1题） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算； （2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题（共7题） 17. （1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边与斜边c满足关系式，称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴． ∴______ 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证过程． （3）如图3所示，，请你添加适当的辅助线，证明结论． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了用数形结合来证明勾股定理，三角形全等判定和性质，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． （1）化简可得结论； （2）根据四个全等的直角三角形的面积中间小正方形的面积大正方形的面积，即可证明； （3）延长，过E作于F，证明，得出，，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴， ∴， ∴， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）证明：由图得，大正方形面积， 整理得，， 即； （3）如图，延长，过E作于F， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）分别令，可求得；令，可求得，根据，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得，可求，进而可求点坐标． 【小问1详解】 解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的长为5； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可知，，， ∴，即； 设，则，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∴存在，点坐标为或． 【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． 19. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺 【解析】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺， 由勾股定理：， 解得：， ∴， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 20. 如图为东明一中新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为个单位的正方形，若教学楼的坐标为A（1，2），图书馆的位置坐标为B（-2，-1），解答以下问题： （1）在图中找到坐标系中的原点，并建立直角坐标系； （2）若体育馆的坐标为C（1，-3），食堂坐标为D（2，0），请在图中标出体育馆和食堂的位置； （3）连接AB，AC，BC，画出∆ABC关于x轴对称的A'B'C'． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据点A的坐标，向左1个单位，向下2个单位为坐标原点，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系标注体育馆和食堂即可； （3）分别作出∆ABC三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可． 【详解】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示； （2）体育馆C（1，-3），食堂D（2，0）如图所示； （3）如图所示，△A'B'C'即为所求． 【点睛】本题考查了作图—轴对称变换，坐标确定位置，平面直角坐标系的定义，熟记概念并熟练运用网格结构是解题的关键． 21. （1）观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 填空： ， ． （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②，记的整数部分为x，则 ． 【答案】（1）（2）①② 【解析】 【分析】（1）被开方数小数点每移两位，算术平方根小数点移一位； （2）①②利用（1）中所得结论即可求解． 【详解】解：（1）观察表格可知，被开方数小数点每移两位，算术平方根小数点移一位， 故 故答案为： （2）①根据（1）中所得结论可知：， ②同理可得： 故答案为：①② 【点睛】本题考查了算术平方根的性质．掌握相关结论即可． 22. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，为建立整洁舒适的居住环境，某小区物业打算购买一批垃圾桶． 方案：买分类垃圾桶，需要费用元，以后每月垃圾处理费用元； 方案：买不分类垃圾桶，需要费用元，以后每月的垃圾处理费用为元． 设交费时间为个月，购买费和垃圾处理费共元． 分别写出两种方案中与之间的函数表达式： 方案：____________________；方案：____________________． 在同一平面直角坐标系中，画出、图象； 请说明中，和的实际意义？ 在垃圾桶的使用寿命相同的情况下，那种方案更省钱？ 【答案】（1）250x+3000， 500x+1000；（2）见解析；（3）的实际意义是每月垃圾处理费用，的实际意义买分类垃圾桶需要的费用；（4）当使用时间少于8个月时，直线y2落在直线y1的下方，y2<y1，即方案2省钱；当使用时间多于8个月时，直线y2落在直线y1的上方，y2>y1，即方案1省钱；当使用时间正好8个月时，两种方案一样． 【解析】 【分析】（1）根据总费用=购买垃圾桶的费用+每月的垃圾处理费用×月份数，即可求出y1、y2与x的函数关系式； （2）根据一次函数的性质，运用两点法即可画出函数y1、y2的图象； （3）根据一次函数解析式表达的意义解答即可； （4）观察图象可得结果． 【详解】解：（1）由题意，得y1=250x+3000，y2=500x+1000； 故答案为：250x+3000， 500x+1000； （2）如图所示： （3）中，的实际意义是每月垃圾处理费用，的实际意义买分类垃圾桶需要的费用； （4）由图象可知：当使用时间少于8个月时，直线y2落在直线y1的下方，y2<y1，即方案2省钱；当使用时间多于8个月时，直线y2落在直线y1的上方，y2>y1，即方案1省钱．当使用时间正好8个月时，两种方案一样 【点睛】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．解题的关键是根据题意列出函数关系式，再结合图象求解．注意数形结合思想的运用． 23. 新学期，两摞规格相同准备发放的课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： （1）若（本）表示课本数，表示整齐叠放在桌面上的课本距离地面的高度，则是的一次函数，请求出关于的函数表达式； （2）桌面上有55本与题（1）中相同的课本，整齐叠放成一摞，求这些数学课本距离地面的高度； （3）小马说：如果把我班60名学生的这种课本整齐叠成一摞放在地面上，则它离地面有高．你认为小马的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）这些课本距离地面的高度为 （3）小马的说法错误，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，求函数值： （1）求出一本课本的高度，讲台高度，即可； （2）将代入（1）中的解析式，求函数值即可； （3）求出60本课本整齐叠成一摞放在地面上离地面的高度，即可求解． 【小问1详解】 解：一本课本的高度， 讲台高度， 关于的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，； 故这些课本距离地面的高度为； 【小问3详解】 解：如果把这种课本整齐叠成一摞放在地面上，则它离地面的高度为， ， 小马的说法错误． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$