精品解析：青海省西宁市海湖中学2024-2025学年高三上学期第一阶段测试数学试卷

西宁市海湖中学 2024-2025学年第一学期第一阶段考试卷 高三数学 考试时间：120分钟 分值：150分 （范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数） （新课标卷） 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则在区间上零点的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分2分，有选错的得0分. 9. 下列结论中，所有正确的结论是（　　） A. 若，则 B. 命题的否定是： C. 若且，则 D. 若，则实数的取值范围为 10. 设为定义在R上的函数，且，，在上单调递减，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于y轴对称 B. 函数的最小正周期为2 C. D. 函数在上单调递减 11. 已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（    ） A. 的图像关于点成中心对称 B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 函数的定义域为______ 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______ 14. 曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知：，：. （1）若是真命题，求对应的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）求; （2）探究的单调性，并用函数的单调性定义证明你的结论; （3）若奇函数，求满足的的取值范围. 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若的定义域为，求实数的取值范围； （3）若的值域为，求实数的取值范围. 19. 已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． （1）判断集合和集合是否具有“包容”性； （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市海湖中学 2024-2025学年第一学期第一阶段考试卷 高三数学 考试时间：120分钟 分值：150分 （范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数） （新课标卷） 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合. 【详解】依题意，集合，而，则， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 2. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例即可判断ABC，根据基本不等式和指数运算即可判断D. 【详解】对A，当时，则，故A错误； 对B，当时，则，则，故B错误； 对C，当时，根据对数函数单调性知，故C错误； 对D，若，则， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：D. 3. 已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得，再利用基本不等式求解. 【详解】解：由可知， ， 当，即时，“”成立， 故选：A. 4. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】B根据上函数符号判断；C由判断；D根据上函数单调性判断，结合排除法即可得答案. 【详解】对于，当时，，排除B； 由，排除C； 对于，当上单调递减，排除D. 故选：A 5. 设，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将三个值中的共同量0.05用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小. 【详解】记，因为，当时，，所以在上单调递增， 则当时，，即，取，所以， 记，因为，所以在上单调递减， 则当时，，即，取，所以，故，即； 记，因为，当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，即，取，所以，即； 所以. 故选：C. 6. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则在区间上零点的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的周期性、偶函数的性质，结合零点的定义进行求解即可. 【详解】因为，所以函数的周期为， 当时，，即， 因为函数是偶函数且周期为， 所以有， 所以在区间上零点的个数为， 故选：C 8. 已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求出的值，再根据奇偶性求出函数的周期，最后利用函数的周期进行代入求值即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 因此当时，，. 因为是偶函数，所以，而为奇函数， 所以， 因此有， 因此有，所以， 因此的周期为， ， 故选：A 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分2分，有选错的得0分. 9. 下列结论中，所有正确的结论是（　　） A. 若，则 B. 命题的否定是： C. 若且，则 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特称命题的否定、作差法比较大小以及恒成立问题的求解方法，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于选项A： 因为，所以. 因为，所以，即，所以A正确； 对于选项B： 特称命题的否定是全称命题，对于命题的否定是： ，所以B正确； 对于选项C： ，因为， 所以，所以， 所以，所以C正确； 对于选项D： 因为时，恒成立，即恒成立. 根据基本不等式的性质， 所以要使得不等式恒成立，则，所以D错误. 故选：ABC. 10. 设为定义在R上的函数，且，，在上单调递减，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于y轴对称 B. 函数的最小正周期为2 C. D. 函数在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由进行判断，对于B，由进行判断，对于CD，利用周期和已知的单调性判断. 【详解】对于A，因为为定义在R上的函数，，所以， 所以为偶函数，所以的图象关于y轴对称，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以，所以的最小正周期为2，所以B正确， 对于C，因为为偶函数，在上单调递减，所以在上递增， 因为的最小正周期为2，所以在，上递增，所以，所以C正确， 对于D，因为的最小正周期为2，所以在和在的单调性一致， 因为在上递增，所以在上递增，所以D错误， 故选：ABC 11. 已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（    ） A. 的图像关于点成中心对称 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A、B，利用赋值法进行计算即可得；对C、D，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得. 【详解】对A：令，则有，即， 令，则有，又，故，不关于对称，故A错误； 对于B，令，则有， 两边同时求导，得， 令，则有，故B正确； 对C：令，则有，即， 则 ，故C正确； 对D：令，则有，即， 则，即， 又，故， 则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题C、D选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和. 三､填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 函数的定义域为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数有意义， 则满足，可得，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，内层函数在上为减函数，且，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】令，因为外层函数在上为减函数， 且函数在区间上单调递增， 所以，内层函数在上为减函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知：，：. （1）若是真命题，求对应的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案； （2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 ∵：是真命题，∴， ∴，解得， ∴的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知：：，：即 因为是的必要不充分条件，所以，解得：. 综上所述的取值范围是. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）转化为的图象有2个交点，令，利用导数求出值域，结合图象可得答案. 【小问1详解】 当时，，所以, ，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ， 由得， 的图象有2个交点， 令， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以， 且时，，， 所以时，，所以的大致图象如下， 所以若函数有两个零点， 则， 所以实数的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求; （2）探究的单调性，并用函数的单调性定义证明你的结论; （3）若奇函数，求满足的的取值范围. 【答案】（1） （2）在R上单调递增，证明如下： 因为函数的定义域为，任取，且， 则， 因为函数在上为单调递增函数，且， 所以，且，所以，即， 所以，函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式，代入运算，即可求解. （2）根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由为奇函数，列出方程求得，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：因为函数为奇函数，所以，即， 即，所以， 又由，即为， 又因为函数为单调递增函数，所以，所以的取值范围为. 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若的定义域为，求实数的取值范围； （3）若的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据复合函数单调性“同增异减”的判断法则，即可求解； （2）根据题意，若的定义域为，则根据真数对一切实数恒成立，进行求解即可； （3）根据题意，若的值域为，只需真数的值域包含，再解不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为当时，函数， 令，由，可得， 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又函数为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的判断法则， 可得在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 要使的定义域为，只需真数对一切实数恒成立. ①当，即时， 若， 显然，只有时，才有，不符合题意，； 若，则对一切实数都成立，满足题意. ②当时，对一切实数恒成立的充要条件是： 解得或. 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 要使的值域为，只需真数的值域包含. ①当，即时， 若，则，显然的值域包含满足题意； 若，则，不符合题意，. ②当时，必有 即解得. 综上，实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题运用了复合函数单调性的判断法则、对数函数的值域和定义，并且还需要讨论一元二次函数的单调性和值域等知识点，考查较为综合. 19. 已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性． （1）判断集合和集合是否具有“包容”性； （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C． 【答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 （2）1 （3），，，或． 【解析】 【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可； （2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果； （3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果. 【小问1详解】 （Ⅰ）集合中的，， 所以集合不具有“包容”性． 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性． 【小问2详解】 （Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去；若，无解； ②当时，则，由且，可知b无解， 故． 综上，． 【小问3详解】 （Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或． ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得． 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，， 或． 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $