模块检测卷(三)[范围：必修第二册]-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

模块检测卷(三) [范围:必修第二册] (时间:90分钟 满分:100分) 一、选择题(本题共18小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求) 1.若复数z=1+bi2+i (b∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则复数z的共轭复数是 ( ) A.35i B.- 3 5i C.i D.-i 2.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则mn 等于 ( ) A.-2 B.2 C.-12 D. 1 2 3.P 是△ABC所在平面上一点,若PA →·PB → =PB →·PC → =PC →·PA →,则P 是△ABC的 ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 4.已知a=(-2,1-cosθ),b= 1+cosθ,-14 ,且a∥b,则锐角θ等于 ( ) A.45° B.30° C.60° D.30°或60° 5.在△ABC中,c= 3,b=1,B=30°,则△ABC的面积为 ( ) A.32 或 3 B.32 或 3 4 C.3 或 3 4 D.3 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac,则角B 的大小 为 ( ) A.π6 B. π 3 C. π 6 或5π 6 D. π 3 或2π 3 7.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率 为 ( ) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 8.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶A 的仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10 米到D,测得塔顶A 的仰角为30°,则塔高为 ( ) A.15米 B.5米 C.10米 D.12米 9.若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点在 ( ) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限 —141— 10.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z 等于 ( ) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 11.在△ABC中,AC=2,BC=2,∠ACB=120°,若△ABC 绕直线BC 旋转一周,则所形成 的几何体的表面积是 ( ) A. 6+2 3 π B.6π C.(9+2 3)π D.2 3π 12.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知四边形 ABCD 是边长为1的正方形,且△ADE, △BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 ( ) A.23 B. 3 3 C. 4 3 D. 3 2 13.在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,若经过D1B 的平面分别交AA1 和CC1 于点E,F,则四 边形D1EBF的形状是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形 14.如图所示,在正四面体P-ABC 中,D,E,F 分别是AB,BC,CA 的中点,下面四个结论 不成立的是 ( ) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 15.某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为110 ,响第二声时被接的概率为3 10 ,响 第三声时被接的概率为2 5 ,响第四声时被接的概率为1 10 ,则电话在响前四声内被接的概 率为 ( ) A.12 B. 9 10 C. 3 10 D. 4 5 16.甲、乙两人参加知识竞赛,甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为23 和3 4 ,甲、乙两人是否获 得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为 ( ) A.34 B. 2 3 C. 5 7 D. 5 12 —241— 17.某班的全体学生参加消防安全知识竞赛,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次 为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].估计本班学生的消防安全知识成绩的第90 百分位数是 ( ) A.93 B.80 C.90 D.95 18.对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2. ①这组数据的众数是3; ②这组数据的众数与中位数的数值不相等; ③这组数据的 中位数与平均数的数值相等; ④这组数据的平均数与众数的值相等. 其中正确的结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 19.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹的边长为1,那么这个三角形最小 的边长为 . 20.将一骰子连续抛掷两次,至少有一次向上的点数为1的概率是 . 21.下面是关于复数z= 2-1+i 的四个命题: p1:|z|=2; p2:z2=2i; p3:z的共轭复数为1+i; p4:z的虚部为-1. 其中的真命题为 . 22.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表 演节目,若选中男教师的概率为9 20 ,则参加联欢会的教师共有 人. 三、解答题(本题共3个小题,共30分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 23.(10分)已知向量|a|=2,a·b=1,a在b方向上的投影为1. (1)求向量a,b的夹角; (2)求|a-b|. —341— 24.(10分)已知复数z表示的点在直线y=12x 上,且|z|=3 5,求复数z. 25.(10分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外 完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取一张,将抽取的卡片上的数字依次记为a, b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率. —441— 所以f(x)=-x2+3,其图象是开口方向朝下,以 y 轴 为 对 称 轴 的 抛 物 线.故 f(x)的 增 区 间 为(-∞,0]. 答案:(-∞,0] 20.解析:由题意可知函数f(x)在 R上为增函数,则 其在[-3,-1]上最大值应为f(-1)=4. 答案:4 21.解析:由π6- x 4≠ π 2+kπ ,k∈Z,得x≠-4π3-4kπ , k∈Z,即函数的定义域为 x|x≠-4π3-4kπ ,k∈Z . 答案:x|x≠-4π3-4kπ ,k∈Z 22.解析:将函数f(x)=sin ωx+π6 (ω>0,x∈R) 的图 象 向 右 平 移 π 3 个 单 位 长 度 后,可 得 y= sin ωx-πω3+π6 的图象.根据所得的图象与原 函数图象重合,所以πω 3=2kπ ,k∈Z,即ω=6k,k∈ Z,又0<ω<7,则ω=6. 答案:6 23.解:(1)因为当x≤0时,f(x)=log12(-x+1),所 以f(0)=0. 又函数f(x)是定义在 R上的偶函数,所以f(1) =f(-1)=log12[-(-1)+1]=log122=-1, 即f(1)=-1. (2)令x>0,则-x<0, 从而f(-x)=log12(x+1)=f(x), ∴x>0时,f(x)=log12(x+1). ∴函数f(x)的解析式 f(x)= log12(x+1),x>0, log12(-x+1),x≤0. (3)设x1,x2 是任意两个值,且x1<x2≤0, 则-x1>-x2≥0, ∴1-x1>1-x2>0. ∵f (x2)-f (x1)=log12 (-x2 +1)- log12(-x1+1)=log12 1-x2 1-x1 >log121=0, ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)=log12(-x+1)在(-∞,0]上为增函数. 又f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. ∵f(a-1)<-1=f(1),∴|a-1|>1, 解得a>2或a<0. 故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞). 24.解:(1)f(x)=sin 2ωx+π6 +1, 由周期为π得ω=1,故f(x)=sin 2x+π6 +1, 由-π2+2kπ≤2x+ π 6≤ π 2+2kπ ,k∈Z,得-π3 +kπ≤x≤π6+kπ ,k∈Z,所以函数f(x)的单调 增区间为 kπ-π3 ,kx+π6 ,k∈Z. (2)如下表: x 0 π6 5π 12 2π 3 11π 12 π 2x+π6 π 6 π 2 π 3π 2 2π 13π 6 y 32 2 1 0 1 3 2 图象如下: 25.解:(1)因为f(x)=cosx sinxcosπ6+cosxsinπ6 =14 (3sin2x+cos2x)+14. f(x)=12sin 2x+π6 +14, 所以f π6 =34. (2)当x∈ 0,π2 时,2x+π6∈ π6,7π6 , 所以sin 2x+π6 ∈ -12,1 , 所以f(x)∈ 0,34 . 模块检测卷(三) 1.C 因为z=1+bi2+i= (1+bi)(2-i) (2+i)(2-i)= 2+b 5 + 2b-1 5 i 是纯虚数,所以2+b=0且2b-1≠0,解得b=-2. 所以z=-i,则复数z的共轭复数是i. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —321— 2.C 因为向量a=(2,3),b=(-1,2), 所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1), ma+nb=(2m-n,3m+2n). 因为a-2b与非零向量ma+nb 共线, 所以2m-n 4 = 3m+2n -1 ,解 得 14m = -7n,mn = -12. 3.D 由PA →·PB → =PB →·PC → 得PB →·(PA → -PC →)=0, 即PB →·CA → =0,∴PB⊥CA. 同理PA⊥BC,PC⊥AB,∴P 为△ABC 的垂心. 4.A 由a∥b,得-2× -14 =1-cos2θ=sin2θ, ∵θ为锐角,∴sinθ= 22. ∴θ=45°. 5.B 由正弦定理,得sinC=csinBb = 3 2 , ∵B=30°,∴0°<C<150°, ∴C=60°或C=120°. 当C=60°时,S△ABC= 1 2bcsinA= 3 2 ; 当C=120°时,S△ABC= 1 2bcsinA= 3 4. 6.D ∵(a2+c2-b2)tanB= 3ac, ∴a 2+c2-b2 2ac tanB= 3 2 , 即cosBtanB= 32 ,sinB= 32 ,B=π3 或B=2π3. 7.D 设2名男同学为a,b,3名女同学为A,B,C,从 中选出两人的情形有(a,b),(a,A),(a,B),(a,C), (b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C).共 10种,而都是女同学的情形有(A,B),(A,C),(B, C).共3种,故所求概率为310=0.3. 故选D. 8.C 如图,设塔高为h,则 AB= h,BC=h,BD= 3h,∠BCD= 120°,CD=10米,由余弦定理得 BD2 =BC2 +CD2 -2BC · CDcos120°,得h=10米. 9.B ∵|z-1|=|z+1|, ∴点Z 到(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点Z 在 以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上. 10.B 由题意知n2+(m+2i)n+2+2i=0, 即n2+mn+2+(2n+2)i=0. ∴ n2+mn+2=0, 2n+2=0, 解得 m=3 , n=-1. ∴z=3-i. 11.A △ABC 绕直线BC 旋转一周, 所形成的几何体是一个大圆锥去掉 一个小圆锥. 因 为 AC=2,BC=2,∠ACB = 120°,所以OA= 3,AB=2 3, 所以所形成的几何体的表面积是 π× 3×(2+2 3)=(6+2 3)π. 12.A 如图,分别过点 A,B 作 EF 的 垂 线,垂 足 分 别 为 G, H,连接DG,CH,容易求得 EG=HF=12 , AG=GD=BH=HC= 32. 取AD 的中点O,连接GO,易得GO= 22 , ∴S△AGD=S△BHC= 1 2× 2 2×1= 2 4 , ∴多面体的体积V=V三棱锥E-ADG +V三棱锥F-BCH + V三棱柱AGD-BHC =2V三棱锥E-ADG +V三棱柱AGD-BHC = 1 3× 2 4× 1 2×2+ 2 4×1= 2 3 ,故选A. 13.C 如图,在长 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中,平面ABB1A1∥ 平面 CDD1C1,过 D1B 的 平 面BED1F 与 平 面 ABB1A1 交于直线BE,与平面CDD1C1 交于直线D1F.由 面面平行的性质定理,得 BE∥D1F.同理 BF∥ D1E.所以四边形D1EBF 为平行四边形. 14.C 由题意知BC∥DF,∴BC∥平面PDF. ∵P-ABC 为正四面体,∴BC⊥PA,AE⊥BC. ∴BC⊥平面PAE,DF⊥平面PAE. ∵DF⊂平面ABC,∴平面PAE⊥平面ABC. 15.B 设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第 二声被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件 C,“电话响第四声被接”为事件 D,则 A,B,C,D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —421— 两两互斥,从而P(A+B+C+D)=P(A)+P(B) +P(C)+P(D)=110+ 3 10+ 2 5+ 1 10= 9 10. 16.D 根据题意,恰有一人获得一等奖就是甲获得 乙没有获得或甲没有获得乙获得,则所求概率是 2 3× 1-34 +34× 1-23 =512. 17.A 由直方图得,从左到右的第一、二、三、四小组 的频率分别是0.10、0.20、0.40、0.30. 第一、二、三 小 组 的 频 率 之 和 为0.10+0.20+ 0.40=0.70<0.90, 所以第90百分位数处在第四组[80,100]内,为80 +20×0.90-0.701.00-0.70=93. 18.A 在这11个数据中,数据3出现了6次,频率最 高,故众数是3;将这11个数据按从小到大排列得 2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10.中间数据是3,故中位 数是3;而平均数x=2×2+3×6+6×2+1011 =4. 故只有①正确. 19.解析:不妨设A=45°,B=60°, 则AB=1,C=180°-45°-60°=75°. ∵A<B<C, ∴BC<AC<AB. 由正弦 定 理 AB sinC= BC sinA 得BC=AB ·sinA sinC = 1×sin45° sin(45°+30°)= 2 2 2 2× 3 2+ 2 2× 1 2 = 3-1. ∴这个三角形最小的边长为 3-1. 答案:3-1 20.解析:将一骰子连续抛掷两次,可能出现的样本点 共有6×6=36个,其中至少有一次向上的点数为 1的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1).共11 个,∴所求概率P=1136. 答案:11 36 21.解析:∵z= 2-1+i=-1-i , ∴|z|= (-1)2+(-1)2= 2,∴p1 是假命题; ∵z2=(-1-i)2=2i,∴p2 是真命题; ∵z=-1+i,∴p3 是假命题; ∵z的虚部为-1,∴p4 是真命题. 其中的真命题:p2,p4. 答案:p2,p4 22.解析:可设参加联欢会的教师共有n人,由于从这 些教师中选一人,“选中男教师”和“选中女教师” 两个事件是对立事件,所以选中女教师的概率为 1-920= 11 20. 再由题意,知11 20n- 9 20n=12 ,解得n =120. 答案:120 23.解:(1)因为|a|=2,a·b=1,由a在b 方向上的 投影为1,得a ·b |b|=1 ,所以|b|=1,向量a,b的夹 角θ满足cosθ= a ·b |a||b|= 1 2 ,又θ∈[0,π],得θ =π3. (2)|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2 =4-2×1+1=3, 所以|a-b|= 3. 24.解:设z=a+bi(a,b∈R), 则b=12a 且 a2+b2=3 5, 解得 a=6, b=3, 或 a=-6 , b=-3. 因此z=6+3i或z=-6-3i. 25.解:(1)由题意,(a,b,c)所有可能的结果为:(1,1, 1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2, 3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2, 1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2), (2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2, 2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3).共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A, 则事件A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3 种,所以P(A)=327= 1 9 ,因此,“抽取的卡片上的 数字满足a+b=c”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同” 为事件B,则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3, 3),共3种,所以P(B)=1-P(B)=1-327= 8 9 , 因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同” 的概率为8 9. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —521—