模块检测卷(二)[范围：必修第一册]-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

模块检测卷(二) [范围:必修第一册] (时间:90分钟 满分:100分) 一、选择题(本题共18小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求) 1.下列四个命题正确的个数是 ( ) ①{0}是空集;②若a∈N,则-a∉N;③集合{x∈R|x2-2x+1=0}有两个元素;④集合 {x∈Q|6x∈N }是有限集. A.1 B.2 C.3 D.0 2.集合 M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a>0},U=R.若 M∩(∁UN)=⌀,则a的取 值范围是 ( ) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 3.对于下列命题中是真命题的是 ( ) ①∀x∈R,x2+1<0;②∀x∈R,x2+1>0;③∃x∈Z,x2=2;④∃x∈R,x2=2. A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 4.使不等式-5x+3≥0成立的一个充分不必要条件是 ( ) A.x<0 B.x≥0 C.{3,5} D.x≤35 5.已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)= ( ) A.3x+2 B.3x-2 C.2x+3 D.2x-3 6.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 7.若函数y=x2+2x+2在闭区间[m,1]上有最大值5,最小值1,则m 的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.[-1,+∞) C.[-3,0] D.[-3,-1] 8.设x,y均为正实数,且 32+x+ 3 2+y=1 ,则xy的最小值为 ( ) A.4 B.4 3 C.9 D.16 9.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2<x<4时,有 ( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 —731— 10.把-114π 表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是 ( ) A.-3π4 B.- π 4 C. π 4 D. 3π 4 11.已知sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|<π2 ,则θ等于 ( ) A.-π6 B.- π 3 C. π 6 D. π 3 12.在[0,2π]内,不等式sinx<- 32 的解集是 ( ) A.(0,π) B. π3,4π3 C. 4π3,5π3 D. 5π3,2π 13.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是 ( ) (1)在 0,π2 上单调递减;(2)最小正周期为2π;(3)是奇函数. A.y=tanx B.y=cosx C.y=sin(x+3π) D.y=sin2x 14.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F(t)=50 +4sint2 (t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的 ( ) A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20] 15.函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π2 的部分图象如图 所示,要得到函数g(x)=sin 2x+π4 的图象,只需将函数f(x)的 图象 ( ) A.向右平移π12 个长度单位 B.向左平移π24 个长度单位 C.向左平移π12 个长度单位 D.向右平移π24 个长度单位 16.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ( ) A. kπ-14,kπ+34 ,k∈Z B. 2kπ-14,2kπ+34 ,k∈Z C. k-14,k+34 ,k∈Z D. 2k-14,2k+34 ,k∈Z —831— 17.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π2 的部分图象如图所示,则下列判断 正确的是 ( ) A.函数f(x)的最小正周期为π2 B.函数f(x)的值域为[-1,1] C.函数f(x)的图象关于直线x=-π6 对称 D.函数f(x)的图象向左平移π6 个单位得到函数y=Acosωx的图象 18.已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ) ω>0,-π2<φ<π2 ,A 13,0 为其图象的对称中心,B、 C是该图象上相邻的最高点和最低点,若BC=4,则f(x)的单调递增区间是 ( ) A. 2k-23,2k+43 ,k∈Z B. 2kπ-23π,2kπ+43π ,k∈Z C. 4k-23,4k+43 ,k∈Z D. 4kπ-23π,4kπ+43π ,k∈Z 二、填空题(本题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 19.若函数f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3是偶函数,则f(x)的增区间是 . 20.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b,总有f (a)-f(b) a-b >0 成立,且f(-3)=2, f(-1)=4,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是 . 21.函数y=3tan π6-x4 的定义域为 . 22.若将函数f(x)=sin ωx+π6 (0<ω<7)的图象向右平移π3个单位后恰与f(x)的图象 重合,则ω的值是 . 三、解答题(本题共3个小题,共30分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 23.(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=log12(-x+1). (1)求f(0),f(1); (2)求函数f(x)的解析式; (3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围. —931— 24.(10分)已知函数f(x)=(3sinωx+cosωx)cosωx+12 (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f(x)的单调递增区间. (2)画出函数f(x)在区间[0,π]上的图象. 25.(10分)设函数f(x)=cosxsin x+π6)(x∈R . (1)求f(π6 ); (2)求函数y=f(x)在区间 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的值域. —041— 23.解:(1)因为0<α<π2 ,sinα=45 ,得cosα=35 , 所以tanα=43. (2)cos2α+sin π2+α =1-2sin2α+cosα =1-3225+ 3 5= 8 25. 24.解:(1)因 为 f(x)的 定 义 域 为 (- ∞,0)∪ (0,+∞),关于原点对称, 又因为f(-x)=-x+ 1-x=- x+1x =-f(x), 所以f(x)为奇函数, 所以f(-x)+f(x)=0, 所以f(-2020)+f(-2019)+f(-2018)+ f(-2017)+…+f(-1)+f(1)+…+f(2017) +f(2018)+f(2019)+f(2020)=0. (2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1>x2, 则f(x1)-f(x2)=x1+ 1 x1 - x2+1x2 =(x1-x2)+ 1x1-1x2 =(x1-x2)- x1-x2 x1x2 =(x1-x2) x1x2-1x1x2 . 因为x1,x2∈(1,+∞),x1>x2,x1>1,x2>1, 所以x1-x2>0,x1x2-1>0,x1x2>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以f(x)在(1,+∞)上单调递增. 25.解:(1)令t=ax>0,因为x∈[-1,1],a>1,所以 ax∈ 1a ,a ,f(x)=y=t2+2t-1=(t+1)2-2, 单调增加,故当t=a时,y最大值为a2+2a-1= 14,求得a=3,所以f(x)=32x+2×3x-1. (2)由 f(x)=7,可 得32x +2×3x -1=7,即 (3x+4)· (3x -2)=0,求 得 3x =2,所 以 x =log32. 模块检测卷(二) 1.D ①因为{0}是含有一个元素0的集合,而不是空 集,所以①不正确. ②当a=0时,因为0∈N,所以②不正确. ③因为x2-2x+1=0,x1=x2=1,所以{x∈R|x2 -2x+1=0}={1},所以③不正确. ④因为当x为正整数的倒数时,6x∈N , 所以{x∈Q|6x∈N }是无限集,所以④不正确. 2.B 由集合 M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a >0},可得 M= -12,1 ,∁UN= -∞,-a2 . 要使 M∩(∁UN)=⌀,则- a 2≤- 1 2 ,解得a≥1. 3.C ①x2+1≥1,③x2=2⇒x=± 2. 4.A 由-5x+3≥0,得{x|x≤35 },选项A中x 的 范围为其真子集,选A. 5.B 设f(x)=kx+b(k≠0), ∵2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1, ∴ k-b=5, k+b=1, ∴ k=3 , b=-2. ∴f(x)=3x-2. 6.B 因为函数f(x)=2x+3x 在其定义域内是递增 的,那么根据f(-1)=12-3=- 5 2<0 ,f(0)=1 +0=1>0,那么根据函数的零点存在性定理可知, 函数的零点所在的一个区间为(-1,0). 7.D 函数y=x2+2x+2=(x+1)2+1,所以图象开 口向上,对称轴是x=-1,最小值为1,要使函数值 为5,需 x=1或 x= -3,所 以 m 的 取 值 范 围 是[-3,-1]. 8.D 由 32+x+ 3 2+y=1 可化为xy=8+x+y, ∵x,y 均为正实数,∴xy=8+x+y≥8+2 xy (当且仅当x=y时等号成立),即xy-2 xy-8≥ 0,解得 xy≥4,即xy≥16,故xy的最小值为16. 9.B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图 象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应 的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1 >y3. 10.A ∵-11π4 =-2π- 3π 4.∴- 11π 4 与-3π4 是终边 相同的角,且此时|-3π4|= 3π 4 是最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —121— 11.D 由sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|<π2 ,可 得-sinθ=- 3cosθ,|θ|<π2 ,即tanθ= 3,|θ| <π2 ,所以θ=π3. 12.C 画出y=sinx,x∈[0,2π]的草图: 因为sinπ3= 3 2 ,所以sin π+π3 =- 32, sin 2π-π3 =- 32.即在[0,2π]内,满足sinx= - 32 的是x=4π3 或x=5π3. 可知不等式sinx< - 32 的解集是 4π3,5π3 .故选C. 13.C A.y=tanx 在 0,π2 上单调递增,不满足条 件(1). B.函数y=cosx是偶函数,不满足条件(3). C.函数y=sin(x+3π)=-sinx,满足三个条件. D.函数y=sin2x的最小正周期T=π,不满足条 件(2). 14.C 由2kπ-π2≤ t 2≤2kπ+ π 2 ,k∈Z,得4kπ-π ≤t≤4kπ+π,k∈Z.当k=1时,得t∈[3π,5π],而 [10,15]⊆[3π,5π],故在[10,15]上是增加的. 15.D 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可得 A=1,再根据T4= 1 4× 2π ω = 7π 12- π 3 ,求得ω=2, 最小正周期T=π.再根据五点法作图可得2×π3 +φ=π,求得φ= π 3 ,所以函数f(x)=sin 2x+ π 3 . g(x)=sin 2x+π4 =sin2 x-π24 +π3 , 所以应该向右平移π 24 个长度单位. 16.D 由五点作图知, 1 4ω+φ= π 2 , 5 4ω+φ= 3π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得ω=π ,φ= π 4. 所以f(x)=cos πx+π4 ,令2kπ<πx+π4< 2kπ+π,k∈Z,解得2k-14<x<2k+ 3 4 ,k∈Z,故 单调减区间为 2k-14,2k+34 ,k∈Z,故选D. 17.D 由函数图象可知12T= 2π ω × 1 2= π 2⇒T=π , 故选项A不正确. 由图象知 函 数 的 值 域 为[-2,2],故 选 项 B不 正确. 由图象知A=2,T=π,ω=2. f(x)=2sin(2x+φ),f π6 =2sin π3+φ =2 ⇒φ= π 6. 所以f(x)=2sin 2x+π6 ,f -π6 ≠±2.故选 项C不正确. 函数f(x)的图象向左平移π6 个单位得到g(x)= 2sin 2x+π2 =2cos2x,故选项D正确. 18.C 函数f(x)=3sin(ωx+φ) ω>0,-π2<φ<π2 , A 13,0 为f(x)图象的对称中心,B,C 是该图象 上相邻的最高点和最低点,若BC=4, ∴(2 3)2+ T2 2 =42,即12+π 2 ω2 =16, 求得ω=π2. 再根据π 2× 1 3+φ=kπ ,k∈Z,可得φ=- π 6 , ∴f(x)= 3sin π2x-π6 . 令2kπ-π2≤ π 2x- π 6≤2kπ+ π 2 ,求得4k-23≤x ≤4k+43 ,故f(x)的单调递增区间为 4k-23,4k +43 ,k∈Z,故选:C. 19.解析:因为函数f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3 是偶函数, 所以a-1=0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —221— 所以f(x)=-x2+3,其图象是开口方向朝下,以 y 轴 为 对 称 轴 的 抛 物 线.故 f(x)的 增 区 间 为(-∞,0]. 答案:(-∞,0] 20.解析:由题意可知函数f(x)在 R上为增函数,则 其在[-3,-1]上最大值应为f(-1)=4. 答案:4 21.解析:由π6- x 4≠ π 2+kπ ,k∈Z,得x≠-4π3-4kπ , k∈Z,即函数的定义域为 x|x≠-4π3-4kπ ,k∈Z . 答案:x|x≠-4π3-4kπ ,k∈Z 22.解析:将函数f(x)=sin ωx+π6 (ω>0,x∈R) 的图 象 向 右 平 移 π 3 个 单 位 长 度 后,可 得 y= sin ωx-πω3+π6 的图象.根据所得的图象与原 函数图象重合,所以πω 3=2kπ ,k∈Z,即ω=6k,k∈ Z,又0<ω<7,则ω=6. 答案:6 23.解:(1)因为当x≤0时,f(x)=log12(-x+1),所 以f(0)=0. 又函数f(x)是定义在 R上的偶函数,所以f(1) =f(-1)=log12[-(-1)+1]=log122=-1, 即f(1)=-1. (2)令x>0,则-x<0, 从而f(-x)=log12(x+1)=f(x), ∴x>0时,f(x)=log12(x+1). ∴函数f(x)的解析式 f(x)= log12(x+1),x>0, log12(-x+1),x≤0. (3)设x1,x2 是任意两个值,且x1<x2≤0, 则-x1>-x2≥0, ∴1-x1>1-x2>0. ∵f (x2)-f (x1)=log12 (-x2 +1)- log12(-x1+1)=log12 1-x2 1-x1 >log121=0, ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)=log12(-x+1)在(-∞,0]上为增函数. 又f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(x)在(0,+∞)上为减函数. ∵f(a-1)<-1=f(1),∴|a-1|>1, 解得a>2或a<0. 故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞). 24.解:(1)f(x)=sin 2ωx+π6 +1, 由周期为π得ω=1,故f(x)=sin 2x+π6 +1, 由-π2+2kπ≤2x+ π 6≤ π 2+2kπ ,k∈Z,得-π3 +kπ≤x≤π6+kπ ,k∈Z,所以函数f(x)的单调 增区间为 kπ-π3 ,kx+π6 ,k∈Z. (2)如下表: x 0 π6 5π 12 2π 3 11π 12 π 2x+π6 π 6 π 2 π 3π 2 2π 13π 6 y 32 2 1 0 1 3 2 图象如下: 25.解:(1)因为f(x)=cosx sinxcosπ6+cosxsinπ6 =14 (3sin2x+cos2x)+14. f(x)=12sin 2x+π6 +14, 所以f π6 =34. (2)当x∈ 0,π2 时,2x+π6∈ π6,7π6 , 所以sin 2x+π6 ∈ -12,1 , 所以f(x)∈ 0,34 . 模块检测卷(三) 1.C 因为z=1+bi2+i= (1+bi)(2-i) (2+i)(2-i)= 2+b 5 + 2b-1 5 i 是纯虚数,所以2+b=0且2b-1≠0,解得b=-2. 所以z=-i,则复数z的共轭复数是i. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —321—