模块检测卷(一)[范围：必修第一册]-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

9.解析:(1)如题图,方案 A中“是奇数”或“是偶数” 的概率均为5 10=0.5 ; 方案B中“不是4的整数倍数”的概率为810 , “是4的整数倍数”的概率为210=0.2 ; 方案C中“是大于4的数”的概率为610=0.6 ,“不是 大于4的数”的概率为410=0.4. 乙为了尽可能获 胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”. (2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为 方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从 而保证了该游戏是公平的. (3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5 的数”,此方案也可以保证游戏的公平性. 10.解:令事件A,B,C 分别表示A,B,C 三个独立的 研究机构,在一定时期内成功研制出该疫苗,依题 意可知,事件 A,B,C 相互独立,且 P(A)=15 , P(B)=14 ,P(C)=13. (1)他们都研制出疫苗,即事件ABC 同时发生,故 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=15× 1 4× 1 3= 1 60. (2)他们都失败即事件ABC 同时发生, 故P(ABC)=P(A)P(B)P(C) =(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C)) = 1-15 1-14 1-13 =45×34×23=25. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失 败”,结合对立事件间的概率关系可得所求事件的 概率P=1-P(ABC)=1-25= 3 5. 第二部分 合格考综合训练 模块检测卷(一) 1.D 因为A 是集合,a是元素,两者的关系应是属于 与否的关系.{a}与A 是包含与否的关系,所以A、 C显然不对,而 11< 13,所以a 是A 的一个元 素,{a}是A 的一个子集,故选D. 2.C x=±5时,必有x2=25,反之也成立,故“x= ±5”是“x2=25”的充要条件. 3.D 当c=0时,A选项错误;若a>-b,则-a<b, B错;若c<0时,C错;只有D正确. 4.D 因为f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(0)=0, 设x<0,则-x>0,f(-x)=-f(x)=3. ∴f(x)=-3. ∴f(x)= 3,x>0, 0,x=0 -3,x<0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴f(x)的值域是{-3,0,3}. 5.B 因为函数f(x)对于任意实数x 总有f(-x) =f(x), 所以f(x)为偶函数,所以f(2)=f(-2), 又因为f(x)在区间(-∞,1]上单调递减且-2<-32 <-1, 所以f(-1)<f -32 <f(-2). 即f(-1)<f -32 <f(2). 6.D 因为log23∈(1,2), 所以f(log23)=f(log23+1) =f(log26)=f(log26+1)=f(log212) =f(log212+1)=f(log2 4)= 1 2log224 =124. 7.C 因为f(x)=sinxcosx=12sin2x ,由2x=π2 +2kπ,k∈Z,得x=π4+kπ ,k∈Z,所以当x=kπ+ π 4 ,k∈Z时,f(x)max= 1 2. 8.D T=π,所以ω=2, 由五点作图法知2×π3+φ= π 2 , φ=- π 6. 9.A 由 题 知ω=2,所 以f(x)=sin 2x+π4 = cos π2- 2x+π4 =cos 2x-π4 =cos2 x- π 8 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —911— 10.C 由题意得, f(x)=sin2x-2 3sin π4-x cos π4-x =sin2x- 3sin π2-2x =sin2x- 3cos2x =2sin 2x-π3 . 当x∈[0,π2 ]时,2x-π3∈ - π 3 ,2π 3 ,所以f(x) 取最小值为- 3,最大值为2,所以值域为[- 3, 2]. 11.A 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax -1的图象与x 轴有两个交点.又 m>0,所以原 不等式的解集不可能是B,C,D,故选A. 12.B 已知a<0,且 -5a= 1 2+ 1 3 , c a= 1 3× 1 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇒ a=-6, c=-1. 13.D 因为f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以有 f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥ 0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)= -(21+2×1-1)=-3. 14.A f(x)=x+ 2x-1的定义域为 12 ,+∞ ,在 定义域内单调递增,∴f(x)有最小值f 12 = 1 2 ,无最大值. 15.C ∵log89=a,∴a= lg9 lg8= 2lg3 3lg2 , b=lg5lg2= 1-lg2 lg2 ,∴lg2= 1b+1 , ∴lg3=32alg2= 3a 2× 1 b+1= 3a 2(b+1). 16.A 由根与系数的关系知 lga+lgb=2, lga·lgb=12 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ lgab 2 =(lga-lgb)2=(lga+lgb)2- 4lga·lgb=22-4×12=2. 17.A 由 函 数f(x)的 图 象 向 左 平 移π6 个 单 位 得 f(x)=sin 2x+φ+π3 的图像,因为f(x)为奇函 数,所以φ+ π 3=kπ ,k∈Z,又因为|φ|< π 2 , 所以φ=- π 3 ,所以f(x)=sin 2x-π3 . 又x∈ 0,π2 ,所以2x-π3∈ -π3,23π , 所以当x=0时,f(x)取得最小值为- 32. 18.B 因为水轮的半径为3,水轮圆心O 距离水面 2米,A=3,又水轮每分钟旋转4圈,故转一圈需 要15秒,所以T=15=2πω ,所以ω=2π15. 19.解析:由f(2x+1)=3x+2, 得f(1)=f(2×0+1)=3×0+2=2. 答案:2 20.解析:因为f(x)=2x3-3x2+1,若f(x)=0, 则2x3-3x2+1=0,可解得:x=1或12. 即函数f(x)的零点为1和12. 答案:1和12 21.解析:由π2+2kπ≤3x+ π 6≤ 3π 2+2kπ (k∈Z), 得π 9+ 2kπ 3 ≤x≤ 4π 9+ 2kπ 3 (k∈Z). 又x∈ -π3 ,π 3 ,所以函数y=sin 3x+π6 , x∈ -π3 ,π 3 的单调递减区间为 -π3 ,-2π9 ,π9,π3 . 答案:-π3 ,-2π9 ,π9,π3 22.解析:函数y=2sin3x π6≤x≤5π6 图象的对称 轴为直线x=π2 ,由函数图象的对称性,利用面积 “割补法”,得函数y=2sin3x π6≤x≤5π6 图象 与函数y=2的图象围成封闭图形的面积是S=4 × π2-π6 =4π3. 答案:4π 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —021— 23.解:(1)因为0<α<π2 ,sinα=45 ,得cosα=35 , 所以tanα=43. (2)cos2α+sin π2+α =1-2sin2α+cosα =1-3225+ 3 5= 8 25. 24.解:(1)因 为 f(x)的 定 义 域 为 (- ∞,0)∪ (0,+∞),关于原点对称, 又因为f(-x)=-x+ 1-x=- x+1x =-f(x), 所以f(x)为奇函数, 所以f(-x)+f(x)=0, 所以f(-2020)+f(-2019)+f(-2018)+ f(-2017)+…+f(-1)+f(1)+…+f(2017) +f(2018)+f(2019)+f(2020)=0. (2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1>x2, 则f(x1)-f(x2)=x1+ 1 x1 - x2+1x2 =(x1-x2)+ 1x1-1x2 =(x1-x2)- x1-x2 x1x2 =(x1-x2) x1x2-1x1x2 . 因为x1,x2∈(1,+∞),x1>x2,x1>1,x2>1, 所以x1-x2>0,x1x2-1>0,x1x2>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以f(x)在(1,+∞)上单调递增. 25.解:(1)令t=ax>0,因为x∈[-1,1],a>1,所以 ax∈ 1a ,a ,f(x)=y=t2+2t-1=(t+1)2-2, 单调增加,故当t=a时,y最大值为a2+2a-1= 14,求得a=3,所以f(x)=32x+2×3x-1. (2)由 f(x)=7,可 得32x +2×3x -1=7,即 (3x+4)· (3x -2)=0,求 得 3x =2,所 以 x =log32. 模块检测卷(二) 1.D ①因为{0}是含有一个元素0的集合,而不是空 集,所以①不正确. ②当a=0时,因为0∈N,所以②不正确. ③因为x2-2x+1=0,x1=x2=1,所以{x∈R|x2 -2x+1=0}={1},所以③不正确. ④因为当x为正整数的倒数时,6x∈N , 所以{x∈Q|6x∈N }是无限集,所以④不正确. 2.B 由集合 M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a >0},可得 M= -12,1 ,∁UN= -∞,-a2 . 要使 M∩(∁UN)=⌀,则- a 2≤- 1 2 ,解得a≥1. 3.C ①x2+1≥1,③x2=2⇒x=± 2. 4.A 由-5x+3≥0,得{x|x≤35 },选项A中x 的 范围为其真子集,选A. 5.B 设f(x)=kx+b(k≠0), ∵2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1, ∴ k-b=5, k+b=1, ∴ k=3 , b=-2. ∴f(x)=3x-2. 6.B 因为函数f(x)=2x+3x 在其定义域内是递增 的,那么根据f(-1)=12-3=- 5 2<0 ,f(0)=1 +0=1>0,那么根据函数的零点存在性定理可知, 函数的零点所在的一个区间为(-1,0). 7.D 函数y=x2+2x+2=(x+1)2+1,所以图象开 口向上,对称轴是x=-1,最小值为1,要使函数值 为5,需 x=1或 x= -3,所 以 m 的 取 值 范 围 是[-3,-1]. 8.D 由 32+x+ 3 2+y=1 可化为xy=8+x+y, ∵x,y 均为正实数,∴xy=8+x+y≥8+2 xy (当且仅当x=y时等号成立),即xy-2 xy-8≥ 0,解得 xy≥4,即xy≥16,故xy的最小值为16. 9.B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图 象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应 的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1 >y3. 10.A ∵-11π4 =-2π- 3π 4.∴- 11π 4 与-3π4 是终边 相同的角,且此时|-3π4|= 3π 4 是最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —121— 第二部分 数学合格考综合训练 模块检测卷(一) [范围:必修第一册] (时间:90分钟 满分:100分) 一、选择题(本题共18小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求) 1.设集合A={x|x≤ 13},a= 11,那么 ( ) A.a⫋A B.a∉A C.{a}∉A D.{a}⫋A 2.“x=±5”是“x2=25”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列命题正确的是 ( ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>-b,则-a>b C.若ac>bc,则a>b D.若a>b,则a-c>b-c 4.定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=3,则奇函数f(x)的值域是 ( ) A.(-∞,-3] B.[3,+∞) C.[-3,3] D.{-3,0,3} 5.若函数f(x)对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,1]上单调递减, 则 ( ) A.f -32 <f(-1)<f(2) B.f(-1)<f -32 <f(2) C.f(2)<f(-1)<f -32 D.f(2)<f -32 <f(-1) 6.给出f(x)= 1 2x ,x≥4, f(x+1),x<4, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则f(log23)的值等于 ( ) A.-238 B. 1 11 C. 1 19 D. 1 24 7.函数f(x)=sinxcosx的最大值是 ( ) A.-1 B.-12 C. 1 2 D.1 —331— 8.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< π 2 )的部分图象如图所示,则 ( ) A.ω=1,φ= π 6 B.ω=1 ,φ=- π 6 C.ω=2 ,φ= π 6 D.ω=2 ,φ=- π 6 9.已知函数f(x)=sin(ωx+π4 )(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)= cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象 ( ) A.向左平移π8 个单位长度 B.向右平移π8 个单位长度 C.向左平移π4 个单位长度 D.向右平移π4 个单位长度 10.当x∈ 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 时,函数f(x)=sin2x-2 3sin π4-x sin π4+x 的值域是 ( ) A.[- 3,3] B.[-1,3] C.[- 3,2] D.[-1,2] 11.关于x的不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是 ( ) A.xx<-1或x>14 B.R C.x 13<x< 3 2 D.⌀ 12.若不等式ax2+5x+c>0的解集为 x 13<x< 1 2 ,则a,c的值为 ( ) A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1 C.a=1,c=6 D.a=-1,c=-6 13.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)= ( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 14.函数y=x+ 2x-1 ( ) A.有最小值12 ,无最大值 B.有最大值12 ,无最小值 C.有最小值12 ,有最大值2 D.无最大值,也无最小值 15.已知log89=a,log25=b,则lg3等于 ( ) A.ab-1 B. 3 2(b-1) C. 3a 2(b+1) D. 3(a-1) 2b —431— 16.若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则 lgab 2 的值等于 ( ) A.2 B.12 C.4 D. 1 4 17.函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|< π 2 )的图象向左平移π 6 个单位后所得函数图象的解析式 为奇函数,则函数f(x)在 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的最小值为 ( ) A.- 32 B.- 1 2 C. 1 2 D. 3 2 18.如图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O 距水面2米,已知水轮每分 钟转4圈,水轮上的点P 到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式 y=Asin(ωx+φ)+2,则有 ( ) A.ω=15π12 ,A=5 B.ω=2π15 ,A=3 C.ω=5π12 ,A=3 D.ω=152π ,A=5 二、填空题(本题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 19.已知函数f(2x+1)=3x+2,则f(1)的值等于 . 20.函数f(x)=2x3-3x2+1的零点为 . 21.函数y=sin 3x+π6 ,x∈ -π3,π3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 的单调递减区间为 . 22.如图,函数y=2sin3x π6≤x≤5π6 与函数y=2的图象围成一个封 闭图形,这个封闭图形的面积是 . 三、解答题(本题共3个小题,共30分,解答时写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) 23.(10分)已知0<α<π2 ,sinα=45. (1)求tanα的值. (2)求cos2α+sin α+π2 的值. —531— 24.(10分)已知函数f(x)=x+1x. (1)求f(-2020)+f(-2019)+f(-2018)+f(-2017)+…+f(-1)+f(1)+…+ f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)的值. (2)证明:f(x)在(1,+∞)上单调递增. 25.(10分)已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>1,且a为常数)在区间[-1,1]上的最大值 为14. (1)求f(x)的表达式. (2)求满足f(x)=7时,x的值. —631—