第8章 专题4 空间直线、平面的平行-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

专题四 空间直线、平面的平行 学考考点 􀀋直线与直线的平行 􀀌直线与平面平行 􀀍平面与平面平行 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点 空间直线、平面的平行 一、直线与直线平行 1.基本事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线 互相 图形语言 a b c 符号语言 直线a,b,c,a∥b,b∥c⇒ 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫 作空间平行线的 2.等角定理 空间中两个角的两条边分别对应平行,那么 这两个角 . 二、直线与平面平行 1.直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果 一条直线与此 平面内的一条直线 , 那么该直线与此平面平行 图形语言 符号语言 a α,b α,且a∥b⇒a∥α 作用 证明直线与平面 2.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行,如果 过该直线的 与此平面 , 那么该直线与交线 图形语言 符号语言 a∥α, , ⇒a∥b 作用 证明两条直线 三、平面与平面平行 1.平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条 直线 与另一个平面 ,那么这两个 平面平行 图形语言 符号语言 a⊂β,b⊂β, ,a∥α,b∥α⇒α∥β 作用 证明两个平面 2.平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行,如果另一个平面 与这两个平面相交,那么两条交 线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —37— 图形语言 符号语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒ 作用 证明两条直线 考点一 直线与直线平行 (2023·湖南合格考真题)空间中垂直于 同一个平面的两条直线 ( ) A.平行 B.异面 C.相交 D.垂直 【解析】 由线面垂直的性质定理知“垂直于 同一平面的两条直线互相平行”.故选A. 【答案】 A 考点二 直线与平面平行 (2023·湖南合格考真题)如图,P 为圆锥 的顶点,O为底面圆的圆心,AC为底面圆的 直径,B 是底面圆周上不同于A,C 的任意 一点,点D,E 分别为母线PB,PC的中点. (1)求证:DE∥平面ABC; (2)若PO=2,AB=BC= 2,求圆锥PO 的 体积. (1)【证明】 ∵点 D,E 分别为PB,PC 的 中点.∴DE∥BC. 又∵DE⊄平面ABC,BC⊂平面ABC. ∴DE∥平面ABC. (2)【解】 ∵点B 为底面圆周上不同于A, C的任意一点, ∴AB⊥BC.又∵AB=BC= 2.∴AC=2r = 2AB=2. ∴r=1,∴V圆锥=13 ·πr2·PO=13π×1×2 =2π3. 考点三 平面与平面平行 如 图 所 示,在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,M, E,F,N 分 别 是 A1B1, B1C1,C1D1,D1A1 的 中 点,求证: (1)E,F,B,D 四点共面; (2)平面 MAN∥平面EFDB. 【证明】 (1)连接 B1D1.因 为 E,F 分 别 是 B1C1 和 C1D1 的中点, 所 以 EF∥B1D1.而 BD∥ B1D1,所以BD∥EF.所以E,F,B,D 四点 共面. (2)由题意知 MN∥B1D1,B1D1∥BD, 所以 MN∥BD.而 MN⊄平面EFDB, 所以 MN∥平面EFDB,连接 MF. 因为点 M,F 分别是A1B1 与C1D1 的中点, 所以 MF􀰿AD. 所以四边形ADFM 是平行四边形. 所以AM∥DF. 因为AM⊄平面EFDB,DF⊂平面EFDB, 所以AM∥平面EFDB.又AM∩MN=M, 所以平面 MAN∥平面EFDB. 一、选择题 1.已知∠BAC=40°,AB∥A'B',AC∥A'C', 则∠B'A'C'= ( ) A.40° B.140° C.40°或140° D.大小无法确定 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —47— 2.正方体ABCD-A1B1C1D1 中,P,Q 分别为 AA1,CC1 的中点,则四边形D1PBQ 是 ( ) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.空间四边形 3.平面α∥平面β,直线a∥α,则 ( ) A.a∥β B.a在面β上 C.a与β相交 D.a∥β或a⊂β 4.在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 经 过 D1B 的平面分别交AA1 和CC1 于点E,F, 则四边形D1EBF的形状是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形 5.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是 ( ) A.l∥β,l⊂α⇒α∥β B.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥β C.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥β D.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β 二、填空题 6.已知四棱锥 P-ABCD 的底面为平行四边 形,E,F,G 分别为PA,PD,CD 的中点,则 BC与平面EFG 的位置关系为 . 7.如 图,EB ∥DC,EB = 2DC,P,Q 分 别 为 AE, AB 的 中 点.则 直 线 DP 与平面ABC 的位置关系是 . 8.如 图 所 示 的 三 棱 柱 ABC- A1B1C1 中,过 A1B1 的 平 面 (不与平面ABB1A1 重合)与 平面 ABC 交于直线DE,则 DE 与AB 的位置关系是 . 三、解答题 9.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,点D 是BC 的中点,欲过点 A'作一截面与平面AC'D 平行,问应当怎样画线,并说明理由. 10.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E, F,G,H 分别是AB,AC,A1B1,A1C1 的中 点,求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —57— 8.解析:依題意,与AB 和CC1 都相交的棱有BC;与 AB 相交且与CC1 平行的棱有AA1,BB1;与AB 平 行且与CC1 相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的 棱共有5条. 答案:5 9.解:(1)点P 在平面ABCD 外. (2)直线PC 与AB 异面,直线AB 与CD 平行. (3)平面PCD与平面PCB有公共直线PC,所以两平 面相交,平面PAB与平面PCD有公共点P,所以两平 面也是相交的. 10.解:(1)因为点B,C1,D 不共线,由基本事实1可 知,点B,C1,D 可确定平面BC1D,所以点B,C1, D 在同一平面内. (2)如图,连接AC,BD 交于 点O;连接DC1,CD1 交于点 E;连接OE,OC1,AD1. 因为 AC∩BD=O,D1C∩ DC1=E,O∈平面 AC1C,O ∈平 面 BC1D,且 C1 ∈ 平 面 AC1C,C1 ∈ 平 面BC1D, 所以平面AC1C∩平面BC1D=OC1. 同理,平面ACD1∩平面BC1D=OE. 专题四 空间直线、平面的平行 考点整合 考点 一、 1.平行 a∥c 传递性 2.相等或互补 二、 1.平面外 平行 ⊄ ⊂ 平行 2.平面 相交 平行 a⊂β α∩β=b 平行 三、 1.相交 平行 a∩b=P 平行 2.平行 a∥b 平行 应考训练 1.C 当 ∠B'A'C'与 ∠BAC 开 口 方 向 相 同 时, ∠B'A'C'=40°; 当∠B'A'C'与∠BAC 开口方向相反时,∠B'A'C' =140°. 2.B 设 正 方 体 的 棱 长 为2,直 接 计 算 可 知 四 边 形 D1PBQ 各边均为 5, 又四边形D1PBQ 是平行四边形, 所以四边形D1PBQ 是菱形. 3.D 如图(1)满足a∥α,α∥β,此时a∥β; 如图(2)满足a∥α,α∥β,此时a⊂β. 4.C 如图,在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中, 平 面 ABB1A1 ∥ 平 面 CDD1C1,过 D1B 的 平 面 BED1F 与平面ABB1A1 交于 直线BE,与平面CDD1C1 交于直线D1F. 由面面平行的性质定理,知BE∥D1F.同理BF∥ D1E.所以四边形D1EBF 为平行四边形. 5.D 选项A中,l∥β,l⊂α,α与β可能相交,A错误; 选项B中,l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,α与β可能相交, B错误; 选项C中,l∥m,l⊂α,m⊂β,α与β可能相交,C错误; 选项D中,l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M,满足 面面平行的判定定理,D正确.故选D. 6.解析:如图,由于 E,F 分别为 PA,PD 的中点, 可得EF∥AD, 又四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形,AD∥BC, 可得BC∥EF, 又EF⊂平面EFG,BC⊄平面EFG, 可得BC∥平面EFG. 答案:平行 7.解析:连 接 CQ,在△ABE 中,因 为 P,Q 分 别 是 AE,AB 的中点,所以PQ􀰿12EB. 又DC􀰿12EB , 所以PQ􀰿DC,所以四边形 DPQC 为平行四边形. 所以DP∥CQ.又因为DP⊄平面ABC,CQ⊂平面 ABC,所以DP∥平面ABC. 答案:平行 8.解析:因为A1B1∥AB,AB⊂平面ABC,A1B1⊄平 面ABC,所以A1B1∥平面ABC. 又 A1B1⊂平 面 A1B1ED,平 面 A1B1ED∩平 面 ABC=DE, 所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1,所以DE∥AB. 答案:平行 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —411— 9.解:在三棱柱ABC-A'B'C'中,点 D 是BC 的中点,取B'C'的中点E,连 接A'E,A'B,BE,则平面 A'EB∥ 平面AC'D,A'E,A'B,BE 即为应 画的线. 证明:因为D 为BC 的中点,E 为B' C'的中点,所以BD=C'E, 又因为BC∥B'C',所以四边形BDC'E 为平行四边形, 所以DC'∥BE. 连接DE,则DE􀰿BB',所以DE􀰿AA', 所以 四 边 形 AA'ED 是 平 行 四 边 形,所 以 AD∥ A'E. 又因为A'E∩BE=E,A'E⊂平面A'BE,BE⊂平 面A'BE, AD∩DC'=D,AD⊂平面AC'D,DC'⊂平面AC'D. 所以平面A'EB∥平面AC'D. 10.证明:(1)因为G,H 分别是A1B1,A1C1 的中点, 所以GH 是△A1B1C1 的中位线,所以GH∥B1C1. 又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC, 所以B,C,H,G 四点共面. (2)因为E,F 分别是AB,AC 的中点, 所以EF∥BC. 因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG, 所以EF∥平面BCHG.因为A1G􀰿EB, 所以 四 边 形 A1EBG 是 平 行 四 边 形,所 以 A1E ∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG. 所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF=E, 所以平面EFA1∥平面BCHG. 专题五 空间直线、平面的垂直 考点整合 考点 一、 角 0°<θ≤90° 90° a⊥b 二、 1.任意一条直线 垂线 垂面 垂足 2.两条相交直线 3.相交 垂直 直线PA 交点 点A 垂线 垂足 斜足 AQ ∠PAQ 90° 0° 4.平行 a∥b 平行 5.任意一点 相等 三、 1.半平面 棱 面 棱 角 平面角 直角 2.垂线 垂直 3.一个平面内 a⊂α a⊥l 应考训练 1.B ∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别对应 平 行,但方向不能确定是否相同.所以∠PQR=30° 或150°. 2.D 还原成正方体如图, 因为AB∥DE,所以∠CDE 是AB 与CD 所成角, 因为CD=DE=CE,所以∠CDE=60°.所以在原 来的正方体中AB 与CD 所成的角为60°. 3.C 对于①,设正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,上底 面A1B1C1D1 所在平面是α,下底面ABCD 所在平 面是β,直线A1C1 是m 且直线BD 是n, 则满足α∥β,m⊂α,n⊂β,但直线m,n是异面直线, 得不出m∥n,故①不正确; 对于②,若m∥n且m∥α,则n⊂α或n∥α,故②不 正确; 对于③,因为α∥β且m⊥α,所以m⊥β,结合m∥n, 可得n⊥β.故③正确. 4.B 因为母线BC⊥底面,则AC 与圆柱底面所成角 即为∠CAB,又因为AB 为圆柱底面直径,则BC⊥ AB,因为AB=BC,所以∠CAB=45°.故选B. 5.B 因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ. 又EG 与EF 为相交直线, 所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH. 6.解析:由题意知,点 A 是点 M 在平面ABC 内的 射影, 所以 MA⊥平面ABC,所以 MC 在平面CAB 内的 射影为AC. 所以∠MCA 即为直线MC 与平面CAB 所成的角. 因为在Rt△MBC 中,BM=5,∠MBC=60°, 所以MC=BMsin∠MBC=5sin60°=5×32= 53 2 . 在Rt△MAB中,MA= MB2-AB2= 52-42=3. 在Rt△MAC 中,sin∠MCA=MAMC= 3 5 3 2 =2 35 . 答案:2 3 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —511—