第8章 专题3 空间点、直线、平面之间的位置关系-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

7.解析:设长方体共顶点的三条棱长分别为a,b,c, 则 ab= 3, bc= 5, ac= 15, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a= 3, b=1, c= 5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以外接球半径为 a 2+b2+c2 2 = 3 2 , 所以外接球表面积为4π× 32 2 =9π. 答案:9π 8.解析:S球 =4πr2=4π·(2)2=8π. 答案:8π 9.解:如图所示的是圆台的轴截 面ABB1A1, 其中∠A1AB=60°,过 A1 作 A1H⊥AB 于H, 则O1O=A1H=A1A·sin60°=4 3(cm), AH=A1A·cos60°=4(cm). 设O1A1=r1,OA=r2, 则r2-r1=AH=4.① 设A1B 与AB1 的交点为 M,则A1M=B1M. 又因为A1B⊥AB1,所以∠A1MO1=∠B1MO1=45°. 所以O1M=O1A1=r1.同理OM=OA=r2. 所以O1O=O1M+OM=r1+r2=4 3,② 由①②可得r1=2(3-1),r2=2(3+1). 所以S表=πr21+πr22+π(r1+r2)l=32(1+3)π(cm2). 10.解:法 一:作 正 方 体 对 角 面 的 截 面,如 图 所 示,设 半 球 的 半 径 为 R,正方体的棱长为a, 则CC'=a,OC= 2a2 . 在 Rt△C'CO 中,由 勾 股 定 理 得 CC'2 +OC2 =OC'2, 即a2+ 2a2 2 =R2,所以R= 62a. 从而V半球 =12× 4π 3R 3=2π3× 62a 3 = 6π2a 3. 又V正方体 =a3,因此V半球 ∶V正方体 = 6π2a 3∶a3= 6π∶2. 法二:将半球补成整个的球,同时把原半球的内接 正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体 刚好是这个球的内接长方体,则这个长方体的体 对角线便是它的外接球的直径. 设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方 体的对角线性质,得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即 4R2=6a2,所以R= 62a. 从而V半球 =12× 4π 3R 3=2π3× 62a 3 = 6π2a 3. 又V正方体 =a3, 因此V半球 ∶V正方体 = 6π2a 3∶a3= 6π∶2. 专题三 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点整合 考点 一、 2.平行四边形 45° 2 虚线 3.(1)希腊字母 (2)四个顶点 (3)顶点 4.不共线 不共线 5.两个点 l⊂α 二、 1.(1)任何一个 2.(1)平行 异面 相交 (2)平行 相交 异面 3.无数个 1个 0个 a⊂α a∩α=A a∥α 直 线在平面外 4.α∥β α∩β=a 有一条公共直线 应考训练 1.A ①a与c可能相交,也可能异面; ②a与c可能相交,也可能平行; ③a与c可能异面,可能相交,也可能平行; ④a与c可能不在一个平面内. 故①②③④均不正确. 2.D 由题图可知,α∥β.l⊂α. 3.B 点A在直线b上,所以A∈b;直线b在平面β内, 所以b⊂β. 4.D 连接BD(图略).由正方体的性质知,B1D1∥ BD,则B1D1 与AC 所成的角即为BD 与AC 所成 的角.在正方形 ABCD 中,AC⊥BD.∴异面直线 AC 与B1D1 所成的角为π2. 故选D. 5.D l至少与l1,l2 中的一条相交,否则l∥l1,l∥l2 得l1∥l2,与l1,l2 异面矛盾. 6.解析:三条直线在同一平面内时确定一个平面,三 条直线不在同一个平面内时确定三个平面. 答案:1或3 7.解析:①b可能在α内;②a与b可能异面;③a可能 与α内的直线异面. 答案:④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —311— 8.解析:依題意,与AB 和CC1 都相交的棱有BC;与 AB 相交且与CC1 平行的棱有AA1,BB1;与AB 平 行且与CC1 相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的 棱共有5条. 答案:5 9.解:(1)点P 在平面ABCD 外. (2)直线PC 与AB 异面,直线AB 与CD 平行. (3)平面PCD与平面PCB有公共直线PC,所以两平 面相交,平面PAB与平面PCD有公共点P,所以两平 面也是相交的. 10.解:(1)因为点B,C1,D 不共线,由基本事实1可 知,点B,C1,D 可确定平面BC1D,所以点B,C1, D 在同一平面内. (2)如图,连接AC,BD 交于 点O;连接DC1,CD1 交于点 E;连接OE,OC1,AD1. 因为 AC∩BD=O,D1C∩ DC1=E,O∈平面 AC1C,O ∈平 面 BC1D,且 C1 ∈ 平 面 AC1C,C1 ∈ 平 面BC1D, 所以平面AC1C∩平面BC1D=OC1. 同理,平面ACD1∩平面BC1D=OE. 专题四 空间直线、平面的平行 考点整合 考点 一、 1.平行 a∥c 传递性 2.相等或互补 二、 1.平面外 平行 ⊄ ⊂ 平行 2.平面 相交 平行 a⊂β α∩β=b 平行 三、 1.相交 平行 a∩b=P 平行 2.平行 a∥b 平行 应考训练 1.C 当 ∠B'A'C'与 ∠BAC 开 口 方 向 相 同 时, ∠B'A'C'=40°; 当∠B'A'C'与∠BAC 开口方向相反时,∠B'A'C' =140°. 2.B 设 正 方 体 的 棱 长 为2,直 接 计 算 可 知 四 边 形 D1PBQ 各边均为 5, 又四边形D1PBQ 是平行四边形, 所以四边形D1PBQ 是菱形. 3.D 如图(1)满足a∥α,α∥β,此时a∥β; 如图(2)满足a∥α,α∥β,此时a⊂β. 4.C 如图,在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中, 平 面 ABB1A1 ∥ 平 面 CDD1C1,过 D1B 的 平 面 BED1F 与平面ABB1A1 交于 直线BE,与平面CDD1C1 交于直线D1F. 由面面平行的性质定理,知BE∥D1F.同理BF∥ D1E.所以四边形D1EBF 为平行四边形. 5.D 选项A中,l∥β,l⊂α,α与β可能相交,A错误; 选项B中,l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,α与β可能相交, B错误; 选项C中,l∥m,l⊂α,m⊂β,α与β可能相交,C错误; 选项D中,l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M,满足 面面平行的判定定理,D正确.故选D. 6.解析:如图,由于 E,F 分别为 PA,PD 的中点, 可得EF∥AD, 又四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形,AD∥BC, 可得BC∥EF, 又EF⊂平面EFG,BC⊄平面EFG, 可得BC∥平面EFG. 答案:平行 7.解析:连 接 CQ,在△ABE 中,因 为 P,Q 分 别 是 AE,AB 的中点,所以PQ􀰿12EB. 又DC􀰿12EB , 所以PQ􀰿DC,所以四边形 DPQC 为平行四边形. 所以DP∥CQ.又因为DP⊄平面ABC,CQ⊂平面 ABC,所以DP∥平面ABC. 答案:平行 8.解析:因为A1B1∥AB,AB⊂平面ABC,A1B1⊄平 面ABC,所以A1B1∥平面ABC. 又 A1B1⊂平 面 A1B1ED,平 面 A1B1ED∩平 面 ABC=DE, 所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1,所以DE∥AB. 答案:平行 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —411— 专题三 空间点、直线、平面之间的位置关系 学考考点 􀀋平面 􀀌空间点、直线、平面之间的位置关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、平面 1.平面的概念 (1)平面是一个不加定义,只需理解的原始 概念. (2)立体几何里的平面是从呈现平面形的物 体中抽象出来的. 如课桌面、黑板面、平静的水面都给我们平 面的局部形象. 2.平面的画法 常常把水平的平面画成一个 ,并且其锐角画成 ,且横边长等于邻 边长的 倍 一个平面被另一个平面遮挡 住,为了增强立体感,被遮挡 部分用 画出来 3.平面的表示方法 (1)用 表示,如平面α,平面β,平 面γ. (2)用表示平面的平行四边形的 的 大写字母表示,如平面ABCD. (3)用表示平面的平行四边形的相对的两个 表示,如平面AC,平面BD. 4.基本事实1 文字 语言 过 的三点,有且只有一个平面 图形 语言 符号 语言 A,B,C三点 ⇒有且只有一 个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α 5.基本事实2 文字 语言 如果一条直线上的 在一个 平面内,那么这条直线在此平面内 图形 语言 符号 语言 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒ 6.基本事实3 文字 语言 如果两个不重合的平面有一个公共 点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线 图形 语言 符号 语言 P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l 二、空间点、线、面的位置关系 1.异面直线的定义及画法 (1)异面直线:不同在 平面内的两 条直线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —96— (2)异面直线的画法(平面衬托法): 如图(1)(2)所示,为了表示异面直线不共面的 特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托. 2.空间直线的位置关系 (1)从是否有公共点的角度来分: 没有公共点 有且仅有一个公共点——— 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (2)从是否共面的角度来分: 在同一平面内 不同在任何一个平面内——— 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 3.直线与平面的位置关系 位置 关系 直线a在平 面α内 直线a与平 面α相交 直线a与平 面α平行 公共点 个数 符号 语言 描述 图形 语言 描述 直线与平面相交或平行的情况统称为 . 4.平面与平面的位置关系 位置关系 图形语言描述 符号语言描述 公共直线 两平面 平行 无 两平面 相交 考点一 平面 已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC ∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R 三 点共线. 【证明】 法一:因为AB∩α=P, 所以P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC. 所以由基本事实3可知点 P 在平面ABC 与平面α的交线上, 同理可证Q,R 也在平面ABC 与平面α 的 交线上. 所以P,Q,R 三点共线. 法二:因为AP∩AR=A, 所以直线AP 与直线AR 确定平面APR, 又因为AB∩α=P,AC∩α=R. 所以平面APR∩平面α=PR. 因为B∈面APR,C∈面APR, 所以BC⊂面APR. 又因为Q∈面APR,Q∈α, 所以Q∈PR.所以P,Q,R 三点共线. 考点二 空间点、线、面的位置关系 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1,如图所 示,AC 与BD 相交于点M,则下列说法正 确的是 ( ) ①点M 在直线AC上,点B在直线A1B1 外; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —07— ②直线AC与A1D1 相交; ③平面AA1B1B 与平面D1DCC1 平行; ④直线AC与平面A1B1C1D1 异面; ⑤直线BC与A1B1 异面. A.①③④ B.①②⑤ C.①③⑤ D.②③④⑤ 【解析】 ①中,点M 是直线AC 与BD 的交 点,点 M 在直线AC 上,点 B 显然在直线 A1B1 外,正确;②中,直线 AC 与A1D1 异 面,错误;③中,两平面没有公共点,互相平 行,正确;④中,直线与平面的位置关系中没 有“异 面”,直 线 AC 与 平 面 A1B1C1D1 平 行,错误;⑤正确. 【答案】 C 一、选择题 1.已知a、b、c是空间三条直线,下面给出四个 说法: ①如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c; ②如果a、b是异面直线,b、c是异面直线,那 么a、c也是异面直线; ③如果a、b是相交直线,b、c是相交直线,那 么a、c也是相交直线; ④如果a、b 共面,b、c 共面,那么a、c 也 共面. 在上述说法中,正确说法的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图所示,用符号语言可表示为 ( ) A.α∩β=l B.α∥β,l∈α C.l∥β,l⊄α D.α∥β,l⊂α 3.若点A 在直线b上,b在平面β内,则点A, 直线b,平面β之间的关系可以记作 ( ) A.A∈b∈β B.A∈b⊂β C.A⊂b⊂β D.A⊂b∈β 4.(2023·湖南合格考真题)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异 面 直 线 AC 与 B1D1 所成的角为 ( ) A.π6 B. π 4 C.π3 D. π 2 5.若直线l1 与l2 是异面直线,l1 在平面α内, l2 在平面β内,l是平面α与平面β的交线, 则下列结论正确的是 ( ) A.l与l1,l2 都不相交 B.l与l1,l2 都相交 C.l至多与l1,l2 中的一条相交 D.l至少与l1,l2 中的一条相交 二、填空题 6.空间三条直线互相平行,由每两条平行直线 确定一个平面,则可以确定平面的个数为 . 7.下列四个说法:①若a∥b,a∥α,则b∥α;② 若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥α,则a平行 于α内所有的直线;④若a∥α,a∥b,b⊄α, 则b∥α.其中正确说法的序号是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —17— 8.平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,既与AB 共面 又 与CC1 共 面 的 棱 的 条 数 为 . 三、解答题 9.已知正四棱锥P-ABCD 如图所示,试判断 下列点、线、面之间的位置关系: (1)点P 与平面ABCD; (2)直线PC与AB,直线AB 与CD; (3)平面PCD 与平面PCB,平面PAB 与平 面PCD. 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中, (1)点B,C1,D 是否在同一平面内? (2)画出平面AC1C 与平面BC1D 的交线, 平面ACD1 与平面BC1D 的交线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —27—