第7章 复数-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

第七章 复数 学考考点 􀀋复数的概念 􀀌复数的几何意义 􀀍复数的四则运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 复数的概念 一、数系的扩充与复数的概念 1.复数的定义 形如 的数叫作复数,其中i叫作 ,满足i2= ,全体复数所 构成的集合C叫作 . 2.复数的表示 (1)复数通常用字母z表示,即z= , 这一表示形式叫作复数的 ,a与b 分别叫作复数z的 与 . (2)复数相等 设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔ . 3.复数的分类与数系表 复数z=a+bi (a,b∈R) b=0 →z是实数a a>0 →正实数 a=0 →实数0 a<0 →负实数 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 b≠0 →z是虚数 a=0 →纯虚数bi a≠0 →非纯虚数 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 二、复数的几何意义 1.复平面与复数的几何意义 如图,这个建立了 来表示复数的平 面叫作复平面,x轴叫作 轴,y轴叫 作 轴.实轴上的点都表示实数;除 外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 已知原点O,复数z=a+bi,a,b∈R既可以 与点Z(a,b)建立一一对应关系,又可以与 平面向量OZ → 建立一一对应关系,三者的关 系如下: 3.复数的模(或绝对值) 向量OZ → 的模叫作复数z=a+bi的模或绝对 值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= ,其中a,b∈R. 如果b=0,那么z=a+bi就是实数a,它的 模等于|a|(实数a的绝对值). 4.共轭复数 一般地,当两个复数的实部 ,虚部 互为 数时,这两个复数叫作互为共 轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫 作共轭虚数.复数z的共轭复数用 表示,即如果z=a+bi,那么 =a- bi,其中a,b∈R. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85— 考点二 复数的四则运算 1.复数的加减运算 已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈ R) (1)复数的加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di) = . (2)复数的减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di) = . 2.复数加法的运算律 复数的加法运算满足交换律、结合律. (1)加法交换律:z1+z2= . (2)加法结合律:(z1+z2)+z3= . 3.复数加法与减法运算的几何意义 设z1=a+bi,z2=c+di对应向量OZ1 → =(a, b),OZ2 → =(c,d)(a,b,c,d∈R),其中,OZ1 → 与 OZ2 → 不共线 加法 减法 运算 法则 z1+z2=(a+c) +(b+d)i z1-z2= (a-c)+(b-d)i 几何 意义 平行四边形法则 三角形法则 4.复数的乘法运算 (a+bi)(c+di)= . 5.复数乘法的运算律 运算律 恒等式 交换律 z1z2= 结合律 (z1z2)z3= 分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 6.复数的除法运算(分母实数化) a+bi c+di= = ac+bd c2+d2 +bc-ad c2+d2 i(a,b, c,d∈R,且c+di≠0). 考点一 复数的概念 下列复数中虚数的个数为 ( ) 1+2i,1+2i2,2i+ 3,πi. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 1+2i,πi,2i+ 3是虚数,1+2i2= -1是实数. 【答案】 C (2024·湖南合格考真题)已知i为虚数 单位,则下列复数为纯虚数的是 ( ) A.1-3i B.5 C.3+i D.3i 【解析】 由纯虚数的概念:实部为0,虚部 不为0,对比选项可知,选项中复数为纯虚 数的是3i.故选D. 【答案】 D 考点二 复数的几何意义 已知A(1,2),B(-3,5),则向量AB → 对应 的复数为 ( ) A.1+2i B.-3+5i C.-2+7i D.-4+3i 【解析】 由于A(1,2),B(-3,5), 则向量AB → =(-4,3),所以AB → 对应的复数 为-4+3i. 【答案】 D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95— 已知向量OA → 对应的复数是4+3i,点 A 关于实轴的对称点为A1,将向量OA1 → 平移, 使其起点移动到A 点,这时终点为A2. (1)求向量OA1 → 对应的复数; (2)求点A2 对应的复数. 【解析】 (1)因为向量OA → 对应的复数是4 +3i, 所以点A 对应的复数也是4+3i, 因此点A 坐标为(4,3), 所以点A关于实轴的对称点A1 为(4,-3), 故向量OA1 → 对应的复数是4-3i. (2)依题意知OA1 → =AA2 →,而OA1 → =(4,-3), 设A2(x,y),则有(4,-3)=(x-4,y-3), 所以x=8,y=0,即A2(8,0). 所以点A2 对应的复数是8. 考点三 复数的运算 (2024·湖南合格考真题)已知复数z1= 3+2i,z2=2+4i,则z1+z2= . 【解析】 若复数z1=3+2i,z2=2+4i,则z1 +z2=3+2i+2+4i=5+6i. 故答案为:5+6i. 【答案】 5+6i 一、选择题 1.(1-i)4= ( ) A.-4 B.4 C.-4i D.4i 2.已知平面直角坐标系中O是原点,向量OA →, OB → 对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么 向量BA → 对应的复数是 ( ) A.-5+5i B.5-5i C.5+5i D.-5-5i 3.复平面内,若复数z满足z+i-1=2-i,则 z对应的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为 ( ) A.5-3i B.3+5i C.7-8i D.7-2i 5.下列命题中,正确命题的个数是 ( ) ①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是 x=y=1; ②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i; ③若x2+y2=0,则x=y=0. A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 6.已知复数z1=-2+i,z2=1-3i,对应的点 分别为A,B,则向量|AB → |= . 7.已知(1+2i)z=4+3i,则z= . 8.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06— 三、解答题 9.若复数z=(m2+m-6)+(m2-m-2)i,当 实数m 为何值时. (1)z是实数; (2)z是纯虚数. 10.已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x+ 1)+i=y+(y-1)i,求x与y 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —16— 7.解 析:由 正 弦 定 理: asinA = b sinB ,即 3 sin60° = 2sinB , ∴sinB= 22. 又∵a>b,∴A>B.∴B=45°. 答案:45° 8.解析:在△ACD 中,由余弦定理得 cosD=DA 2+DC2-AC2 2DA·DC = 52+32-AC2 2×5×3 =34-AC 2 30 . 在△ABC 中,由余弦定理得 cosB=BA 2+BC2-AC2 2BA·BC = 52+82-AC2 2×5×8 =89-AC 2 80 , 又因为∠B 与∠D 互补,所以cosB=-cosD, 即34-AC 2 30 =- 89-AC2 80 ,解得AC=7. 答案:7 9.解:在△ABC 中,由A+B+C=180° 得B=180°-A-C=60°, 在△ABC 中,由正弦定理得 BCsinA= AB sinC= AC sinB , 故BC=AC ·sinA sinB = 3× 22 3 2 = 2, AB = AC ·sinC sinB = 3·sin75° 3 2 = 3× 6+ 24 3 2 = 6+ 22 . 10.解:由三角形内角和定理,得B=180°-(A+C) =105°, sin105°=sin75°=sin(30°+45°) =sin30°cos45°+cos30°sin45°= 6+ 24 . 根据正弦定理 a sinA= b sinB= c sinC , 得a=csinAsinC = 6sin45° sin30°=6 2 (cm), b=csinBsinC= 6sin105° sin30°=3 (2+ 6)(cm). 第七章 复数 考点整合 考点一 一、 1.a+bi(a,b∈R) 虚数单位 -1 复数集 2.(1)a+bi(a,b∈R) 代数形式 实部 虚部 (2)a=c且b=d 二、 1.直角坐标系 实 虚 原点 3.a2+b2 4.相等 相反 z z 考点二 1.(1)(a+c)+(b+d)i (2)(a-c)+(b-d)i 2.(1)z2+z1 (2)z1+(z2+z3) 4.(ac-bd)+(ad+bc)i 5.z2z1 z1(z2z3) 6. (a+bi)(c-di) (c+di)(c-di) 应考训练 1.A (1-i)4=[(1-i)2]2=(1-2i+i2)2=(-2i)2 =-4. 2.B 向量OA →,OB → 对应的复数分别为2-3i,-3+2i, 根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量OA → =(2,-3),OB → =(-3,2). 由向量减法的坐标运算可得向量BA → =OA → -OB → = (2+3,-3-2)=(5,-5), 根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量BA → 对应的复数是5-5i. 3.A 由z+i-1=2-i, 得z=(2-i)-(i-1)=3-2i,则z=3+2i, 对应的点在第一象限. 4.C (6-3i)-(3i+1)+(2-2i)=(6-1+2)+ (-3-3-2)i=7-8i. 5.A ①由于x,y∈C, 所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数 相等的充要条件,①是假命题. ②由于两个虚数不能比较大小,所以②是假命题. ③当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,所以③是假 命题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —011— 6.解析:复数z1=-2+i,z2=1-3i, 对应的点分别为A(-2,1),B(1,-3), 则向量AB → =(3,-4),所以|AB → |=5. 答案:5 7.解析:因为z=4+3i1+2i= (4+3i)(1-2i) (1+2i)(1-2i)= 10-5i 5 = 2-i,所以z=2+i. 答案:2+i 8.解析:设z=a+bi(a,b∈R), |z|= a2+b2,代 入 方 程 得a+bi+ a2+b2=2 +8i, 所以 a+ a2+b2=2, b=8, 解得 a=-15 , b=8. 所以z=-15+8i. 答案:-15+8i 9.解:(1)由题意可得m2-m-2=0. 解得m=-1或2; (2)由题意可得:m2+m-6=0,且m2-m-2≠0, 所以m=2或-3,且m≠-1且m≠2, 所以m=-3. 10.解:依题意,设y=bi(b∈R,b≠0),代入关系式(2x +1)+i=y+(y-1)i,整理得(2x+1)+i=-b+ (b-1)i, 根据复数相等的充要条件, 可得 2x+1=-b, 1=b-1, 解得 x=-32 , b=2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则有 x=-32 , y=2i. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 第八章 立体几何 专题一 基本立体图形、立体图形的直观图 考点整合 考点一 一、 1.(1)平面多边形 (2)公共边 2.(1)一条定直线 (2)这条定直线 3.(1)平行 四边形 四边形 平行 4.多边形 有一个公共顶点 公共顶点 侧面 公 共顶点 5.截面 底面 公共边 公共顶点 二、 1.矩形 轴 底面 侧面 平行 母线 2.直角 直角边 3.圆锥 底面 截面 4.直径 一周 球面 圆心 球心 5.(1)由简单几何体组合而成的几何体 (2)拼接 截去或挖去 考点二 (1)垂直 (2)平行 不变 一半 应考训练 1.B 余下部分是四棱锥A'-BCC'B'. 2.D 棱柱、棱锥的底面可以是任意多边形,所以排 除A、B.棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱 的底面,例如底面为正六边形的棱柱的相对侧面互 相平行,排除C.对于D,只要这个平面与底面平行 就能够得到两个棱柱. 3.A 关键是把握棱台的特点.①中的平面不一定平 行于底面,故①错;②③可举反例去检验,如图,故 ②③错. 4.C ①②正确;③它们的底面为圆面,不正确;④用 平行于圆锥底面的平面截圆锥,可以得到一个圆锥 和一个圆台.综上知选C. 5.B 圆台的母线延长线交于一点,则 A项不正确; 圆台的母线大于高,则C项不正确;圆台的母线与 底面相交,则D项不正确;很明显B项正确. 6.解析:因为圆锥的底面直径AB=8. 所以圆锥的底面半径R=OA=4, 又因为SA=5, 所以圆锥的高h=SO= 52-42=3. 答案:3 7.解析:根据斜二测的原理可得△ABO 是直角三角 形,两直角边BO=O'B'=1,AO=2A'O'=2 2,故 原△ABO 的面积是12×2 2×1= 2. 答案:2 8.解析:画出轴截面,如图,过点A 作AM⊥BC 于点 M,则BM=5-2=3, AM= AB2-BM2=9, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —111—