第6章 专题2 平面向量基本定理及坐标表示-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

专题二 平面向量基本定理及坐标表示 学考考点 􀀋平面向量基本定理 􀀌平面向量的正交分解及坐标表示 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点 平面向量基本定理及坐标表示 一、平面向量基本定理 条件 e1,e2 是同一平面内的两个 结论 对于这一平面内的任意向量a,有且 只 有 一 对 实 数 λ1,λ2,使 a=λ1e1 +λ2e2 基底 的向量e1,e2 叫作表示这一 平面内所有向量的一个基底 二、平面向量的正交分解及坐标表示 1.正交分解:把一个向量分解为两个 向量的代数和. 2.向量的坐标表示 前提 基底i,j是分别与x 轴、y轴方向相 同的两个 向量 条件 对于平面内的任一向量a,由平面向 量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y,使得a= 结论 把有序实数对 叫作向量a的 坐标,记作a= ,其中, 叫 作a在x 轴上的坐标, 叫作a在 y 轴上的坐标,a= 叫作向量a 的坐标表示 特例 0= ,i= ,j= 3.平面向量的坐标运算 设a=(x1,y1),b=(x2,y2) 数学公式 文字语言表述 向量 加法 a+b= 两个向量和 的 坐 标分别等于 这 两 个向量相应 坐 标 的 向量 减法 a-b= 两个向量差 的 坐 标分别等于 这 两 个向量相应 坐 标 的 三、平面向量的数乘运算的坐标表示 1.平面向量的数乘运算的坐标表示 数学公式 文字语言表述 向量 数乘 λa= 实数与向量的积的 坐标等于用这个实 数 原来向量 的相应坐标 2.向量共线的坐标表示 a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当 时,向量a,b(b≠0)共线. 有关结论: (1)向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯 一实数λ,使 . (2)若 A,B,C 三点共线,则向量AB → 与AC → ,即存在唯一实数λ,使 . (3)若a=(x,y),λ∈R,则λa= . (4)若a=b,则a与b的坐标 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15— 四、平面向量的数量积运算的坐标表示 1.平面向量数量积的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)坐标表示:a·b= . (2)语言表述:两个向量的数量积等于它们 . 2.平面向量模的坐标表示 长度 公式 向量a=(x,y),则|a|= 或 |a|2= 距离 公式 P1= (x1,y1),P2 = (x2,y2),则 |P1P2 → |= 3.平面向量垂直与夹角余弦值的坐标表示 (1)向量垂直的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔ . (2)两向量夹角的坐标表示 设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2, y2),θ 是a 与b 的夹角,则cosθ= . 考点一 平面向量基本定理 D,E,F 分别为△ABC 的边BC,CA,AB 上的 中 点,且BC → =a,CA → =b,给 出 下 列 结论: ①AD → =-12a-b ; ②BE → =a+12b ; ③CF → =-12a+ 1 2b ;④EF → =12a. 其中正确的结论的序号为 . 【解析】 如图,AD → =AC → +CD → =-b+12CB → =-b-12a ,①正确; BE → =BC → +CE → =a+12b ,②正确; AB → =AC → +CB → =-b-a,CF → =CA → +12AB → =b+12 (-b-a)=12b- 1 2a ,③正确; EF → =12CB → =-12a ,④不正确. 【答案】 ①②③ (2023·湖南合格考真题)在△ABC 中, D 为BC 的中点,设AB → =a,AC → =b,则AD → = ( ) A.12 (a-b) B.12 (a+b) C.a-b D.a+b 【解析】 △ABC中,D 为BC 的中点, ∴AD 为BC 的中线. 又∵AB → =a,AC → =b, ∴AD → =12 (AB → +AC →)=12 (a+b).故选B. 【答案】 B 考点二 平面向量加减运算的表示 (2023·湖南合格考真题)已知向量a= (1,2),b=(2,2),则|a+b|= . 【解析】 ∵a=(1,2),b=(2,2), ∴a+b=(3,4). ∴|a+b|= 32+42=5. 【答案】 5 考点三 平面向量线性运算的坐标表示 已知 A,B,C 三点的坐标为(-1,0), (3,-1),(1,2),并 且AE → =13AC →,BF → = 1 3BC →,求证:EF → ∥AB → . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25— 【证明】 设 E,F 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 依题意知AC → =(2,2),BC → =(-2,3),AB → = (4,-1), 因为AE → =13AC →, 所以(x1+1,y1)= 1 3 (2,2). 所以点E 的坐标为 -13,23 . 同理,F 的坐标为 73,0 , 所以EF → = 83,-23 . 又8 3× (-1)-4× -23 =0, 所以EF → ∥AB → . 考点四 平面向量数量积的坐标表示 已知点A,B,C满足|AB → |=3,|BC → |=4, |CA → |=5,求AB →·BC → +BC →·CA → +CA →· AB → 的值. 【解】 如图, 建立 平 面 直 角 坐 标 系,则 A(3,0),B(0, 0),C(0,4). 所以AB → =(-3,0),BC → =(0,4),CA → =(3, -4). 所以AB →·BC → =-3×0+0×4=0, BC →·CA → =0×3+4×(-4)=-16, CA →·AB → =3×(-3)+(-4)×0=-9. 所以AB →·BC → +BC →·CA → +CA →·AB → =0- 16-9=-25. 一、选择题 1.设 D 为△ABC 所在平面内一点,若BC → = 3CD → .则 ( ) A.AD → =-13AB → +43AC → B.AD → =13AB → -43AC → C.AD → =43AB → +13AC → D.AD → =43AB → -13AC → 2.若向量AB → =DC → =(2,0),AD → =(1,1),则 AC → +BC → 等于 ( ) A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3) 3.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与 3a-b平行,则实数x的值是 ( ) A.2 B.1 C.3 D.4 4.(2024·湖南合格考真题)已知向量a=(1, 2),b=(m,4),且a∥b,则m= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.设向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量 c=(3,2),则向量(a+2b)·c= ( ) A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 二、填空题 6.已知向量e1,e2 不共线,实数x,y 满足(2x +y)e1+(3x+2y)e2=0,则x+y= . 7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则2a+3b等于 . 8.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2, m).若(a+c)⊥b,则|a|= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35— 三、解答题 9.平面直角坐标系xOy中,O 是原点.已知点 A(16,12),B(-5,15). (1)求|OA → |,|AB → |. (2)求∠OAB. 10.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值 时,ka+b与a-3b平行? 平行时它们是同 向还是反向? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —45— 5.B 因为|e1-4e2|= 13,所以(e1-4e2)2=13, 即e21-8e1·e2+16e22=13. 又因为|e1|=|e2|=1,所以1-8e1·e2+16=13, 所以e1·e2= 1 2. 设e1 与e2 的夹角为θ,则cosθ= e1·e2 |e1||e2| = 1 2 1×1= 1 2. 又因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°. 6.解析:因为|OA → |=12,|OB → |=5,∠AOB=90°, 所以|OA → |2+|OB → |2=|AB → |2,所以|AB → |=13. 因为OA → =a,OB → =b,所以a-b=OA → -OB → =BA →, 所以|a-b|=|BA → |=13. 答案:13 7.解析:13 (3a-2c)+4 14c-b +(a+6b) =a-23c+c-4b+a+6b=2a+2b+ 1 3c=0 , 所以1 3c=-2a-2b ,c=-6a-6b. 答案:-6a-6b 8.解析:因为|2a+b|= 10, 所以(2a+b)2=10, 所以4a2+4a·b+b2=10, 又因为向量a与b 的夹角为45°且|a|=1, 所以4|a|2+4|a||b|cos45°+|b|2=10, 故4×12+4×1×|b|× 22+|b| 2=10, 整理得|b|2+2 2|b|-6=0, 解得|b|= 2或|b|=-3 2(舍去). 答案:2 9.解:(1)因为AB → =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a- b), 所以BD → =BC → +CD → =2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB →,所以AB →,BD → 共线, 又因为它们有公共点B,所以A,B,D 三点共线. (2)因为ka+b与a+kb 共线, 所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 即ka+b=λa+λkb,所以(k-λ)a=(λk-1)b, 因为a,b是不共线的两个非零向量, 所以k-λ=λk-1=0,所以k2-1=0.所以k=±1. 10.解:(1)a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos150° =-10 3. (2)因 为cosθ= a ·b |a||b|= 9 6×3= 1 2 ,且0°≤θ ≤180°, 所以θ=60°. 专题二 平面向量基本定理及坐标表示 考点整合 考点 一、 不共线的向量 不共线 二、 1.互相垂直 2.单位 xi+yj (x,y) (x,y) x y (x,y) (0,0) (1,0) (0,1) 3.(x1+x2,y1+y2) 和 (x1-x2,y1-y2) 差 三、 1.(λx1,λy1) 乘 2.x1y2-x2y1=0 (1)b=λa (2)共线 AB → =λAC → (3)(λx,λy) (4)相同 四、 1.(1)x1x2+y1y2 (2)对应坐标的乘积的和 2.x2+y2 x2+y2 (x2-x1)2+(y2-y1)2 3.(1)x1x2+y1y2=0 (2) x1x2+y1y2 x21+y21 x22+y22 应考训练 1.A 因为BC → =3CD →,所以AC → -AB → =3(AD → -AC →) =3AD → -3AC →,所以3AD → =4AC → -AB →,所以AD → =43AC → -13AB → =-13AB → +43AC → . 2.B AC → =AD → +DC → =(3,1),又BD → =AD → -AB → = (-1,1),则BC → =BD → +DC → =(1,1),所以AC → +BC → =(4,2). 3.A 因为a=(1,1),b=(2,x), 所以a+b=(3,x+1),3a-b=(1,3-x), 因为a+b与3a-b平行, 所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2. 4.B 由题意得4=2m,解得m=2.故选B. 5.C 依题意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)= (-5,6),所以(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5 ×3+6×2=-3. 6.解析:因为e1,e2 不共线,所以 2x+y=0, 3x+2y=0. 所以 x=0, y=0. 所以x+y=0. 答案:0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —801— 7.解析:因为a∥b,所以1×m-(-2)×2=0, 所以m=-4,所以a=(1,2),b=(-2,-4), 所以2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8). 答案:(-4,-8) 8.解析:a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)·b =0,即3(m+1)+3m=0,解得 m=-12 ,则a= (1,-1),故|a|= 2. 答案:2 9.解:(1)由OA → =(16,12),AB → =(-5-16,15-12) =(-21,3),得|OA → |= 162+122=20, |AB → |= (-21)2+32=15 2. (2)cos∠OAB=|AO →·AB → | |AO → ||AB → | . 其中AO →·AB → =-OA →·AB → =-(16,12)·(-21,3) =-[16×(-21)+12×3]=300, 故cos∠OAB= 300 20×15 2 = 22 ,所以∠OAB=45°. 10.解:法一:(共线向量定理法)ka+b=k(1,2)+(- 3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2) =(10,-4), 当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ, 使ka+b=λ(a-3b). 由(k-3,2k+2)=λ(10,-4), 所以 k-3=10λ, 2k+2=-4λ, 解得k=λ=-13. 当k=-13 时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b= -13a+b=- 1 3 (a-3b),因为λ=-13<0 , 所以ka+b与a-3b反向. 法二:(坐标法)由题知ka+b=(k-3,2k+2),a -3b=(10,-4),因为ka+b与a-3b平行, 所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0, 解得k=-13. 这时ka+b= -13-3,-23+2 =-13 (a-3b), 所以当k=-13 时,ka+b 与a-3b 平行,并且 反向. 专题三 平面向量的应用 考点整合 考点 一、 1.(1)向量 向量 (2)向量 (3)运算结果 2.(1)线性运算 模 (2)a·b=0 x1x2+y1y2=0 (3)a=λb x1y2-x2y1=0 (4)a ·b |a||b|= x1x2+y1y2 x21+y21· x22+y22 二、 1.asinA b sinB c sinC 3.b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2- 2abcosC b 2+c2-a2 2bc a2+c2-b2 2ac a2+b2-c2 2ab 4.元素 元素 元素 应考训练 1.C 因为OF1 → =(1,1),OF2 → =(-3,-2), 所以|F1+F2|= (1-3)2+(1-2)2= 5. 2.A △ABC 中,AB →·BC → =0,则AB → ⊥BC →,即 ∠ABC=90°,△ABC 为直角三角形,故选A. 3.C 由b=2ccosA,得b=2c·b 2+c2-a2 2bc , 得b2=b2+c2-a2,c2=a2,所以c=a; 又因为c=2bcosA,同理得a=b; 所以a=b=c,△ABC 为等边三角形. 4.C ∵a=2,b=3,c=4.∴由余弦定理cosA= b2+c2-a2 2bc = 9+16-4 2×3×4= 7 8. 故选C. 5.C 由B=120°,得cosB=a 2+c2-b2 2ac =- 1 2 , 所以a2+c2-b2=-ac,即a2+c2+ac-b2=0. 6.解析:因为A=60°,所以最大边和最小边所夹的角 为A,AB,AC 为x2-9x+6=0的两个正实数根, 则AB+AC=9,AB×AC=6, 所以BC2=AB2+AC2-2×AB×AC×cosA =(AB+AC)2-2×AC×AB×(1+cosA) =92-2×6×32=63. 所以BC=3 7. 答案:3 7 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —901—