第6章 专题1 平面向量的概念、平面向量的运算-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

第六章 平面向量及其应用 专题一 平面向量的概念、平面向量的运算 学考考点 􀀋平面向量的概念 􀀌平面向量的运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 平面向量的概念 1.向量的概念和表示方法 (1)概念:既有 ,又有 的量 称为向量.(也称为 ) (2)向量的表示: 几何表示:用 来表示向量,有向线 段的长度表示向量的 ,箭头所指的 方向表示向量的 ,即用有向线段的 起点、终点字母表示,如AB →,… 字母表示:用小写字母a,b,c,…表示,手写 时必须加箭头. 2.向量的长度(或称模)与特殊向量 (1)向量的长度定义:向量的 叫作 向量的长度. (2)向量的长度表示:向量AB →,a的长度分 别记作:|AB → |,|a|. (3)特殊向量 ① 的向量称为零向量,记作 ,方向不确定; ② 的向量,叫作单位向量. 3.向量间的关系 (1)相等向量:大小 且方向 的向量,叫作相等向量,记作:a=b. (2)平行向量:方向 的非零向量,也 叫 ;a平行于b,记作 ;规 定零向量与任意向量 . 考点二 平面向量的运算 一、向量的加法运算 1.向量加法的定义 求两个向量 ,叫作向量的加法. 2.向量求和的法则 向 量 求 和 的 法 则 三 角 形 的 法 则 已知非零向量a,b,在平面上任 取一点A,作AB → =a,BC → =b,则 向量AC → 叫 作 ,记 作 ,即a+b=AB → +BC → =AC → . 当a,b不共线时,这种求向量和 的方法,称为向量加法的 法则. 对于零向量与任一向量a的和 有 . 平 行 四 边 形 法 则 以同一点O 为起点的两个已知 向量a,b为邻边作▱OACB,则 以O为起点的对角线OC → 就是a 与b的和.把这种作两个向量和 的方 法 叫 作 向 量 加 法 的 法则. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —64— 向量的加法运算满足交换律:a+b=b+a 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 实际上就是向量加法的几何意义. 二、向量的减法运算 1.相反向量 定义 如果两个向量长度 ,而方向 ,那么称这两个向量是相反 向量 性质 ①对于相反向量有:a+(-a)= ②若a,b互为相反向量,则a= , a+b= ③零向量的相反向量仍是零向量 2.向量的减法 定义 a-b=a+(-b),即减去一个向量相 当于加上这个向量的 作法 在平面内任取一点O,作OA → =a,OB → =b,则向量a-b= .如图所示 几何 意义 如果把两个向量a,b的起点放在一 起,则a-b可以表示为从向量b 的 指向向量a 的 的 向量 三、向量的数乘运算 1.向量的数乘 一般地,实数λ与向量a 的乘积是一个 ,这种运算叫作向量的数乘,记作λa. 2.向量的数乘的长度与方向 (1)长度:|λa|=|λ||a|. (2)方向:若a≠0,当λ>0时,λa的方向与a 的方向 ;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向 . (3)几何意义:λa中的实数λ,叫作向量a的 .λa可以看作是把向量a沿着a的 方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大 或缩小 倍得到. 3.向量的数乘运算律 设λ,μ为实数,则 (1)λ(μa)=(λμ)a. (2)(λ+μ)a=λa+μa. (3)λ(a+b)=λa+λb(分配律). 特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a), λ(a-b)=λa-λb. 4.向量的线性运算 向量的加法运算、减法运算、数乘向量运算 统称为向量的线性运算,向量的线性运算的 结果仍是向量,对于任意向量a,b以及任意 实数λ,μ1,μ2,恒 有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a ±λμ2b. 5.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在 唯一一个实数λ,使 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —74— 四、向量的数量积的运算 1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b,作OA → =a,OB → = b,则∠AOB=θ叫作向量a 与b 的 ,并规定夹角的范围是 . 当 时,a与b 同向;当 时, a与b 反向;当 时,a与b 垂直,记 作a⊥b. 2.平面向量的数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹 角为θ,我们把数量 叫作a 与b的数量积(或内积), 记法 记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ 规定 零向量与任一向量的数量积为 3.两个向量数量积的性质 设a、b都是非零向量,它们的夹角为θ,e是 与b方向相同的单位向量,则: (1)a·e=e·a= . (2)a⊥b⇔ . (3)当a与b 同向时,a·b= ;当a 与b反向时,a·b= .特别地,a·a = = 或|a|= a·a. (4)|a·b|≤ . 4.平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ. (1)交换律:a·b= . (2)结合律:(λa)·b= = . (3)分配律:(a+b)·c= . 考点一 向量的概念 下列说法中正确的是 ( ) A.数量可以比较大小,向量也可以比较 大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向 的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 【解析】 不管向量的方向如何,它们都不能 比较大小,故A,B不正确;向量的大小即为 向量的模,指的是有向线段的长度,与方向 无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可 以比较大小,故D正确. 【答案】 D 考点二 向量的加减运算 化简下列各式: (1)(AB → +MB →)+(-OB → -MO →); (2)AB → -AD → -DC → . 【解】 (1)原式=AB → +MB → +BO → +OM → =(AB → +BO →)+(OM → +MB →)=AO → +OB → =AB → . (2)原式=DB → -DC → =CB → . 考点三 向量的数乘运算 计算: (1)4(a+b)-3(a-b)-8a; (2)(5a-4b+c)-2(3a-2b+c); (3)23 [(4a-3b)+13b- 1 4 (6a-7b)]. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —84— 【解】 (1)原式=4a+4b-3a+3b-8a= -7a+7b. (2)原 式 =5a-4b+c-6a+4b-2c =-a-c. (3)原式=23 4a-3b+13b-32a+74b =23 52a-1112b =53a- 11 18b. 考点四 向量的数量积的运算 (2024·湖南合格考真题)如图,△ABC 是边长为2的等边三角形,则AB →·AC → = ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 【解析】 因为△ABC 是边长为2的等边三 角形,所 以∠BAC=60°,所 以AB →·AC → = AB → AC → cos∠BAC=2×2×12=2. 故 选C. 【答案】 C 一、选择题 1.下列说法正确的是 ( ) A.平行向量就是向量所在直线平行的向量 B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量的长度为0 D.共线向量是在一条直线上的向量 2.下列命题中不正确的个数为 ( ) ①若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b; ②若向量|a|=|b|,则a与b 的长度相等且 方向相同或相反; ③对于任意|a|=|b|,且a与b 的方向相 同,则a=b; ④向量a与向量b 平行,则向量a与b 方向 相同或相反. A.1 B.2 C.3 D.4 3.在△ABC中,BC → =a,CA → =b,则AB → = ( ) A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b 4.如图所示,已知ABCDEF 是 一个正六边形,O 是它的中 心,其中OA → =a,OB → =b,OC → =c,则EF → 等于 ( ) A.a+b B.b-a C.c-b D.b-c 5.已知e1,e2 是单位向量,若|e1-4e2|= 13, 则e1 与e2 的夹角为 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 二、填空题 6.已知OA → =a,OB → =b,若|OA → |=12,|OB → |= 5,且∠AOB=90°,则|a-b|= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —94— 7.若 已 知 向 量 a,b 满 足 13 (3a-2c)+ 4 14c-b +(a+6b)=0,则c= . 8.已知向量a与b 的夹角为45°,且|a|=1, |2a+b|= 10,则|b|= . 三、解答题 9.设两个非零向量a与b不共线. (1)若AB → =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a- b).求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线. 10.设非零向量a和b,它们的夹角为θ. (1)若|a|=5,|b|=4,θ=150°,求向量a 与b的数量积; (2)若a·b=9,|a|=6,|b|=3,求向量a 与b的夹角θ. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —05— 2kπ(k∈Z), 又因为0<φ< π 2 ,所以φ= π 6 , 所以这个函数的解析式为y=5sin 4x+π6 . 10.(1)解:函数f(x)=3lnx的定义域为(0,+∞). ∵f'(x)=3x>0.∴f (x)=3lnx在(0,+∞)上单调 递增, 即f(x)=3lnx的单调递增区间为(0,+∞),无单调 递减区间. (2)解:∵g(x)=2(sinx-cosx)=22sin x-π4 , ∴当x-π4= π 2+2kπ ,k∈Z,即x=3π4+2kπ , k∈Z时,g(x)max=2 2. (3)证明:令F(x)=f(x)+g(x)=3lnx+2(sinx -cosx)=3lnx+2 2sin x-π4 , (Ⅰ)当x∈ 1,5π4 时,lnx>0,sin x-π4 >0, ∴F(x)>0. (Ⅱ)当x≥5π4 时,∵5π4>e ,∴3lnx>3. 2 2sin x-π4 ≥-2 2,∴F(x)>0, ∴当x>1时,F(x)>0无零点,即方程f(x)+ g(x)=0无实根. (Ⅲ)当0<x<1时, F'(x)=3x+2cosx+2sinx =3x+2 2cos x-π4 >0. ∴F(x)在(0,1)上单调递增. ∵F π4 =3lnπ4<0,F(1)>0, ∴F(x)在(π4 ,1)上存在唯一零点. 记为x0,则有:3lnx0=2(cosx0-sinx0)=2 2 cos x0+π4 , 已知y=cos x0+π4 在(π4,1)上单调递减, ∴f(x0)=3lnx0=22cos x0+π4 >2 2cos 1+ π 4 >2 2cos π3+π4 =2 2cos π2+π12 = -22sinπ12=-22 · 6-2 4 =1-3. 又∵f(x0)=3lnx0<3ln1=0, ∴1- 3<f(x0)<0成立. 综上可知,方程f(x)+g(x)=0有唯一实根x0, 且1- 3<f(x0)<0. 第六章 平面向量及其应用 专题一 平面向量的概念、平面向量的运算 考点整合 考点一 1.(1)大小 方向 矢量 (2)有向线段 大小 方向 2.(1)大小 (3)长度为0 0 模等于1 3.(1)相等 相同 (2)相同或相反 共线向量 a∥b 平行 考点二 一、 1.和的运算 2.a与b的和 a+b 三角形 a+0=0+a=a 平行四边形 二、 1.相等 相反 0 -b 0 2.相反向量 BA → 终点 终点 三、 1.向量 2.(2)相同 相反 (3)系数 |λ| 5.b=λa 四、 1.夹角 0°≤θ≤180° θ=0° θ=180° θ=90° 2.|a||b|cosθ 0 3.(1)|a|cosθ (2)a·b=0 (3)|a||b| -|a||b| a2 |a|2 (4)|a||b| 4.(1)b·a (2)λ(a·b) a·(λb) (3)a·c+b·c 应考训练 1.C 平行向量所在直线可以平行也可以重合,故A 错;长度相等、方向不同的向量不是相等向量,故B 错;共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上, 故D错. 2.C ①不正确,因为向量是不同于数量的一种量,它 由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量 不能比较大小,故①不正确,②不正确.由|a|=|b| 只能判断两向量长度相等,并不能判断方向.③正 确,因为|a|=|b|,且a与b 同向,由两向量相等的 条件可得a=b.④不正确,因为向量a与向量b 若 有一个是零向量,则其方向不确定. 3.D AB → =CB → -CA → =-BC → -CA → =-a-b. 4.D 如题干图EF → =CB → =OB → -OC → =b-c. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —701— 5.B 因为|e1-4e2|= 13,所以(e1-4e2)2=13, 即e21-8e1·e2+16e22=13. 又因为|e1|=|e2|=1,所以1-8e1·e2+16=13, 所以e1·e2= 1 2. 设e1 与e2 的夹角为θ,则cosθ= e1·e2 |e1||e2| = 1 2 1×1= 1 2. 又因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°. 6.解析:因为|OA → |=12,|OB → |=5,∠AOB=90°, 所以|OA → |2+|OB → |2=|AB → |2,所以|AB → |=13. 因为OA → =a,OB → =b,所以a-b=OA → -OB → =BA →, 所以|a-b|=|BA → |=13. 答案:13 7.解析:13 (3a-2c)+4 14c-b +(a+6b) =a-23c+c-4b+a+6b=2a+2b+ 1 3c=0 , 所以1 3c=-2a-2b ,c=-6a-6b. 答案:-6a-6b 8.解析:因为|2a+b|= 10, 所以(2a+b)2=10, 所以4a2+4a·b+b2=10, 又因为向量a与b 的夹角为45°且|a|=1, 所以4|a|2+4|a||b|cos45°+|b|2=10, 故4×12+4×1×|b|× 22+|b| 2=10, 整理得|b|2+2 2|b|-6=0, 解得|b|= 2或|b|=-3 2(舍去). 答案:2 9.解:(1)因为AB → =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a- b), 所以BD → =BC → +CD → =2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB →,所以AB →,BD → 共线, 又因为它们有公共点B,所以A,B,D 三点共线. (2)因为ka+b与a+kb 共线, 所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 即ka+b=λa+λkb,所以(k-λ)a=(λk-1)b, 因为a,b是不共线的两个非零向量, 所以k-λ=λk-1=0,所以k2-1=0.所以k=±1. 10.解:(1)a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos150° =-10 3. (2)因 为cosθ= a ·b |a||b|= 9 6×3= 1 2 ,且0°≤θ ≤180°, 所以θ=60°. 专题二 平面向量基本定理及坐标表示 考点整合 考点 一、 不共线的向量 不共线 二、 1.互相垂直 2.单位 xi+yj (x,y) (x,y) x y (x,y) (0,0) (1,0) (0,1) 3.(x1+x2,y1+y2) 和 (x1-x2,y1-y2) 差 三、 1.(λx1,λy1) 乘 2.x1y2-x2y1=0 (1)b=λa (2)共线 AB → =λAC → (3)(λx,λy) (4)相同 四、 1.(1)x1x2+y1y2 (2)对应坐标的乘积的和 2.x2+y2 x2+y2 (x2-x1)2+(y2-y1)2 3.(1)x1x2+y1y2=0 (2) x1x2+y1y2 x21+y21 x22+y22 应考训练 1.A 因为BC → =3CD →,所以AC → -AB → =3(AD → -AC →) =3AD → -3AC →,所以3AD → =4AC → -AB →,所以AD → =43AC → -13AB → =-13AB → +43AC → . 2.B AC → =AD → +DC → =(3,1),又BD → =AD → -AB → = (-1,1),则BC → =BD → +DC → =(1,1),所以AC → +BC → =(4,2). 3.A 因为a=(1,1),b=(2,x), 所以a+b=(3,x+1),3a-b=(1,3-x), 因为a+b与3a-b平行, 所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2. 4.B 由题意得4=2m,解得m=2.故选B. 5.C 依题意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)= (-5,6),所以(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5 ×3+6×2=-3. 6.解析:因为e1,e2 不共线,所以 2x+y=0, 3x+2y=0. 所以 x=0, y=0. 所以x+y=0. 答案:0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —801—