第5章 专题5 函数y=Asin(ωx+φ)的应用-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

专题五 函数y=Asin(ωx+φ)的应用 学考考点 􀀋三角函数的图象变换 􀀌函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义 􀀍三角函数的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点 函数y=Asin(ωx+φ)的应用 一、三角函数的图象变换 1.平移变换 函数y=sinx 图象上所有点 (φ>0) 或 (φ<0)平移|φ|个单位长度 → y=sin(x+φ)的图象. 2.横向伸缩变换(周期变换) y=sin(x+φ) 图象上所有点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1) 到原来的1 ω 倍,纵坐标不变 → y=sin(ωx+φ)的图象. 3.纵向伸缩变换(振幅变换) 函数y=sin(ωx+φ) 图象上所有点的纵坐标 (A>1) 或 (0<A<1)到原来的A 倍,横坐标不变→y= Asin(ωx+φ)的图象. 二、三角函数的应用 1.由三角函数模型解决周期性变化的实际问 题( ). 2.建立三角函数模型利用其图象和性质解决 实际问题( ). 三、y=Asin(ωx+φ),x∈(0,+∞)(A>0,ω> 0)中各参数的物理意义 名称 参数 物理意义 振幅 它是做简谐运动的物体离 开平衡位置的 周期 T= 它是做简谐运动的物体 往复运动 所需 要的时间 频率 f= = 它是做简谐运动的物体 在单位时间内往复运动 的次数 相位 其中x=0时的相位φ称 为初相 考点一 三角函数的图象变换 (2024·湖南合格考真题)为了得到函数 y=sinx+π6 的图像,只需把y=sinx图像 上所有的点 ( ) A.向左平移π6 个单位 B.向左平移π3 个单位 C.向右平移π6 个单位 D.向右平移π3 个单位 【解析】 ∵由y=sinx到y=sinx+π6 , 只是横坐标由x变为x+π6 , ∴要得到函数y=sinx+π6 的图像,只需 把函数y=sinx的图像上所有的点向左平 行移动π 6 个单位长度.故选A. 【答案】 A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —34— (2023·湖南合格考真题)下列函数中,最 小正周期为π的偶函数是 ( ) A.y=sinx B.y=sin2x C.y=cosx D.y=cos2x 【解析】 y=sinx,y=sin2x为奇函数,A、 B错误.C中,y=cosx 的周期T=2π,错 误.D中,y=cos2x 为偶函数,周期T=2π2 =π,正确.故选D. 【答案】 D 考点二 三角函数的应用 已知弹簧挂着的小球做上下振动,它离开 平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与 时间t(s)的函数关系式为h=3sin 2t+π4 . (1)求小球开始振动的位置. (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最 低点时的坐标. 【解】 (1)令t=0,得h=3sinπ4= 3 2 2 , 所以开始振动的位置为 0,3 22 . (2)由题意知,当h=3时,t的最小值为π8 , 即所求最高点为 π8,3 ; 当h=-3时,t的最小值为5π8 , 即所求最低点为 5π8,-3 . 一、选择题 1.把函数y=sin 3x-π4 的图象向左平移π3 个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标 扩大为原来的2倍,则所得函数的解析式为 ( ) A.y=sin 3x+π12 B.y=sin 6x+3π4 C.y=sin 32x+π12 D.y=sin 32x+3π4 2.(2024·湖南合格考真题)已知函数f(x)= sin2x+π3 ,则 ( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)的最小正周期为2π C.f(x)的最大值为1 D.f(x)在 -5π12 ,π 12 上单调递减 3.将函数y=sinx的图象上各点的纵坐标扩 大为原来的3倍,横坐标不变,则所得图象 对应的函数为 ( ) A.y=3sinx B.y=13sinx C.y=sin3x D.y=sin13x 4.(2022·湖南合格考真题)函数f(x)=sinx + 3cosx的最大值是 ( ) A.1 B.3 C.2 D.3+1 5.在两个弹簧上各挂一个质量分别为 M1 和 M2 的小球,它们做上下自由振动,已知它们 在时间t(单位:s)时离开平衡位置的位移s1 (单位:cm)和s2(单位:cm)分别由下列两式 确定:s1=5sin 2t+π6 ,s2=5cos 2t-π3 . 则在时间t=2π3 时,s1 与s2 的大小关系是 ( ) A.s1>s2 B.s1<s2 C.s1=s2 D.不能确定 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —44— 二、填空题 6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, -π2<φ<0 )的部分图象如图所示,则f(0) 的值为 . 7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ| <π2 )的一段图象如图所示,则函数f(x)的 解析式为 . 8.如果函数f(x)=cos ωx+π4 (ω>0)的相邻两 个零点之间的距离为π 6 ,则ω= . 三、解答题 9.已知函数y=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0, 0<φ< π 2 的最小值是-5,图象上相邻两个 最高点与最低点的横坐标相差π 4 ,且图象经 过点 0,52 ,求这个函数的解析式. 10.(2023·湖南合格考真题)已知函数f(x) =3lnx,g(x)=2(sinx-cosx). (1)写出函数f(x)的单调区间; (2)求函数g(x)的最大值; (3)求证:方程f(x)+g(x)=0有唯一实 根x0,且1- 3<f(x0)<0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —54— 所以sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα- cos(α+β)sinα= 3 3 14× -17 - -1314 ×4 37 = 3 2. 所以β= π 3. 10.解:因为α,β为锐角,所以0<α+β<π,0<2α+β <3π2. 又因为cos(α+β)= 12 13>0 ,所以0<α+β< π 2 , 又因为cos(2α+β)= 3 5 , 所以0<2α+β< π 2 , 所以sin(α+β)= 5 13 ,sin(2a+β)= 4 5 , 所以cosα=cos[(2α+β)-(α+β)] =cos(2α+β)·cos(α+β)+sin(2α+β) ·sin(α+β) =35× 12 13+ 4 5× 5 13= 56 65. 专题五 函数y=Asin(ωx+φ)的应用 考点整合 考点 一、 1.向左 向右 2.缩短 伸长 3.伸长 缩短 二、 1.数学抽象 2.数学建模 三、 A 最大距离 2πω 一次 1T ω 2π ωx+φ 应考训练 1.D 把函数y=sin 3x-π4 的图象向左平移π3个 单位长度,可得y=sin3 x+π3 -π4]的图象, 即函数解析式为y=sin 3x+3π4 ,再把所得图象 上各点的横坐标扩大为原来的2倍,可得y=sin 32x+3π4 的图象. 2.C 对于A选项,由于f(0)=sinπ3= 3 2≠0 ,f(x) 不为奇函数,故A错误;对于B选项,f(x)的最小 正周期为2π 2=π ,故B错误;对于C选项,显然f (x)的最大值为1,故C正确;对于D选项,当x∈ -5π12 ,π 12 时,2x+π3∈ -π2,π2 ,由复合函数单 调性、正弦函数单调性可知f(x)在 -5π12 ,π 12 上 单调递增,故D错误.故选C. 3.A 由振幅变换的规律知,纵坐标扩大为原来的3 倍(横坐标不变),即可得到函数y=3sinx的图象. 4.C f(x)=sinx+ 3cosx=2sin x+π3 . ∴f(x)的最大值为2,故选C. 5.C 当t=2π3 时,s1=-5,s2=-5,所以s1=s2. 6.解析:因为f(x)max=2,f(x)min=-2,所以A=2. 由T 2= 11π 12- 5π 12= π 2 ,得T=2πω=π⇒ω=2. 将 5π12,2 代入f(x)=2sin(2x+φ),得2sin 5π6 +φ =2⇒5π6+φ=π2+2kπ(k∈Z). 又-π2<φ<0 ,可得φ=- π 3 ,即f(x)=2sin 2x- π 3 . 所以f(0)=2sin -π3 =2× - 32 =- 3. 答案:- 3 7.解析:由函数图象的顶点的纵坐标可得A=3,再由 函数的周期性可得3 4 ·2π ω =4π- π 4 ,所以ω=25 , 再由五点法作图可得2 5× π 4+φ=0 ,所以φ=- π 10. 故函数f(x)的解析式为f(x)=3sin 25x-π10 . 答案:f(x)=3sin 25x-π10 8.解析:因为函数f(x)=cos ωx+π4 (ω>0)的相邻 两个零点之间的距离为π 6 ,所以T=2×π6= π 3 ,又 2π ω= π 3 ,得ω=6. 答案:6 9.解:由題意知A=5,T2= π 4 , 所以T=π2= 2π ω ,所以ω=4,所以y=5sin(4x+φ). 又因为图象经过点 0,52 ,所以52=5sinφ, 即sinφ= 1 2 ,所以φ= π 6+2kπ (k∈Z)或φ= 5π 6+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —601— 2kπ(k∈Z), 又因为0<φ< π 2 ,所以φ= π 6 , 所以这个函数的解析式为y=5sin 4x+π6 . 10.(1)解:函数f(x)=3lnx的定义域为(0,+∞). ∵f'(x)=3x>0.∴f (x)=3lnx在(0,+∞)上单调 递增, 即f(x)=3lnx的单调递增区间为(0,+∞),无单调 递减区间. (2)解:∵g(x)=2(sinx-cosx)=22sin x-π4 , ∴当x-π4= π 2+2kπ ,k∈Z,即x=3π4+2kπ , k∈Z时,g(x)max=2 2. (3)证明:令F(x)=f(x)+g(x)=3lnx+2(sinx -cosx)=3lnx+2 2sin x-π4 , (Ⅰ)当x∈ 1,5π4 时,lnx>0,sin x-π4 >0, ∴F(x)>0. (Ⅱ)当x≥5π4 时,∵5π4>e ,∴3lnx>3. 2 2sin x-π4 ≥-2 2,∴F(x)>0, ∴当x>1时,F(x)>0无零点,即方程f(x)+ g(x)=0无实根. (Ⅲ)当0<x<1时, F'(x)=3x+2cosx+2sinx =3x+2 2cos x-π4 >0. ∴F(x)在(0,1)上单调递增. ∵F π4 =3lnπ4<0,F(1)>0, ∴F(x)在(π4 ,1)上存在唯一零点. 记为x0,则有:3lnx0=2(cosx0-sinx0)=2 2 cos x0+π4 , 已知y=cos x0+π4 在(π4,1)上单调递减, ∴f(x0)=3lnx0=22cos x0+π4 >2 2cos 1+ π 4 >2 2cos π3+π4 =2 2cos π2+π12 = -22sinπ12=-22 · 6-2 4 =1-3. 又∵f(x0)=3lnx0<3ln1=0, ∴1- 3<f(x0)<0成立. 综上可知,方程f(x)+g(x)=0有唯一实根x0, 且1- 3<f(x0)<0. 第六章 平面向量及其应用 专题一 平面向量的概念、平面向量的运算 考点整合 考点一 1.(1)大小 方向 矢量 (2)有向线段 大小 方向 2.(1)大小 (3)长度为0 0 模等于1 3.(1)相等 相同 (2)相同或相反 共线向量 a∥b 平行 考点二 一、 1.和的运算 2.a与b的和 a+b 三角形 a+0=0+a=a 平行四边形 二、 1.相等 相反 0 -b 0 2.相反向量 BA → 终点 终点 三、 1.向量 2.(2)相同 相反 (3)系数 |λ| 5.b=λa 四、 1.夹角 0°≤θ≤180° θ=0° θ=180° θ=90° 2.|a||b|cosθ 0 3.(1)|a|cosθ (2)a·b=0 (3)|a||b| -|a||b| a2 |a|2 (4)|a||b| 4.(1)b·a (2)λ(a·b) a·(λb) (3)a·c+b·c 应考训练 1.C 平行向量所在直线可以平行也可以重合,故A 错;长度相等、方向不同的向量不是相等向量,故B 错;共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上, 故D错. 2.C ①不正确,因为向量是不同于数量的一种量,它 由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量 不能比较大小,故①不正确,②不正确.由|a|=|b| 只能判断两向量长度相等,并不能判断方向.③正 确,因为|a|=|b|,且a与b 同向,由两向量相等的 条件可得a=b.④不正确,因为向量a与向量b 若 有一个是零向量,则其方向不确定. 3.D AB → =CB → -CA → =-BC → -CA → =-a-b. 4.D 如题干图EF → =CB → =OB → -OC → =b-c. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —701—