第5章 专题1 任意角和弧度制三角函数的概念-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

当x<0时,g(x)=-2x<0恒成立,无零点;当0≤ x<2时,令g(x)=2x-2=0得x=1,即1为其零 点;当x≥2时,令g(x)= 3x-1-1=0 得x=4,即 4为其零点. 综上可得函数的零点个数为2个. 答案:2 9.解:(1)令x3+8=0,得x=-2, 所以函数f(x)=x3+8的零点为-2. (2)函数f(x)= (x+2)lnx x-3 的定义域为(0,3)∪ (3,+∞),令 (x+2)lnx x-3 =0 , 得x+2=0或lnx=0,所以x=-2(舍去)或x =1, 所以函数f(x)= (x+2)lnx x-3 的零点为1. (3)当x≥2或x≤-1时, 令x2-x-2=0,得x=2或-1; 当-1<x<2时, 令2x-1=0,得2x=1,所以x=0. 所以函数的零点为2,-1,0. 10.解:(1)当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一 根,不符合题意. (2)当a>0时,设f(x)=ax2-2x+1, 因为方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上, 所以 f(0)>0, f(1)<0, f(2)>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 1>0, a-2+1<0, 4a-4+1>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得3 4<a<1. (3)当a<0时,设方程的两根为x1,x2, 则x1·x2= 1 a<0 ,x1,x2 一正一负不符合题意. 综上,a的取值范围为 34,1 . 第五章 三角函数 专题一 任意角和弧度制 三角函数的概念 考点整合 考点一 一、 1.(1)一条射线 端点 (2)逆时针方向旋转 顺时 针方向旋转 任何旋转 2.(1)OA OB 终边 (2)α+(-β) 3.α+k·360° 二、 1.(1)度 (2)半径长 弧度 正数 负数 零 2.2π 360° π 180° 3.αR 12lR 考点二 一、 1.单位圆 (1)纵坐标y sinα (2)横坐标x cosα (3)比值yx tanα 2.三角函数 y=sinx,x∈R y=cosx,x∈R y=tanx,x≠π2+kπ (k∈Z) 3.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四 4.(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等 (2)sin(α+k·2π)=sinα cos(α+k·2π)=cosα tan(α+k·2π)=tanα 二、 1.1 tanα 2.平方和 商 应考训练 1.D 分针旋转的角为负角,其值为-(360°+180°) =-540°. 2.C 8π5= 8π 5× 180π °=288°. 3.D 56°15'=56.25°=2254 × π 180= 5π 16. 4.B 由题设cosθ<0,sinθ>0,故角θ的终边在第二 象限. 5.A 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系 计 算.因 为 α 为 第 二 象 限 角,所 以 cosα= - 1-sin2α=-1213. 6.解析:因为sinα+cosα=12 ,所以(sinα+cosα)2 =14. 所 以sin2α+2sinαcosα+cos2α=14. 所 以 1+2sinαcosα=14. 所以sinαcosα=-38. 答案:-38 7.解析:由题意知tanα<0,cosα<0,所以α是第二 象限角. 答案:二 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —201— 8.解析:原式=sin32π+cos π 2+cosπ+1=-1+0 -1+1=-1. 答案:-1 9.解:由tanα=sinαcosα= 4 3 ,得sinα=43cosα.① 又sin2α+cos2α=1,② 由①②得169cos 2α+cos2α=1,即cos2α=925. 又α是第三象限角, 所以cosα=-35 ,sinα=43cosα=- 4 5. 10.解:(1)原 式 = 3sinα cosα+1 sinα cosα-2 =3tanα+1tanα-2= 3×3+1 3-2 =10. (2)原式= 2 3sin 2α-sinαcosα+14cos 2α sin2α+cos2α = 2 3tan 2α-tanα+14 tan2α+1 = 2 3×9-3+ 1 4 9+1 =1340. 专题二 诱导公式 考点整合 考点 一、 1.-sinα -cosα tanα -sinα cosα -tanα sinα -cosα -tanα 二、 1.cosα sinα 2.cosα -sinα 应考训练 1.C tan(π-α)=-tanα=-4. 2.D sin(π-α)=sinα=45 ,故选D. 3.C 因为 π4+α + 34π-α =π, 所以sin 34π-α =sin π- π4+α =sin π4+α = 32. 4.C f(x+π)=sin(x+π)=-sinx,f(2π-x)= sin(2π-x)=-sinx,f x-π2 =sin x-π2 = -cosx,f(π-x)=sin(π-x)=sinx=f(x). 5.C cos π2+α =-sinα=-513. 6.解析:因为α+β= π 2 ,所以β= π 2-α , 所以cosβ=cos π2-α =sinα=15. 答案:1 5 7.解析:由诱导公式六知cos(α+90°)=-sinα. 又cosα=12 且α是第四象限角, 所以sinα=- 1-cos2α=- 1- 12 2 =- 32 , 所以cos α+90° = 32. 答案:3 2 8.解析:由于tan(π-α)=-tanα=-34 ,则tanα= 3 4 ,解方程组 sinα cosα= 3 4 , sin2α+cos2α=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得sinα=±35 , 又α∈ 0,π2 , 所以sinα>0.所以sinα=35. 答案:3 5 9.解:(1)因为cos(π+α)=-cosα=-12 , 所以cosα=12 , 又α为第一象限角. 则cos π2+α =-sinα=- 1-cos2α =- 1- 12 2 =- 32. (2)cos π6+α =cos π2- π3-α =sin π3-α =12. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —301— 第五章 三角函数 专题一 任意角和弧度制 三角函数的概念 学考考点 􀀋任意角 􀀌弧度制 􀀍三角函数的概念 􀀎同角三角函数的基本关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 任意角和弧度制 一、任意角的概念 1.角的概念 (1)角的形成:角可以看成是 绕着 它的 旋转所成的图形. (2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下 三类:①正角,按照 而成的角; ②负角,按照 而成的角; ③零角,当射线没有做 时,我们也 把它看成一个角,叫作零角. 2.角的加减法运算 (1)射线OA 绕端点O 旋转到OB 位置所成 的角,记 作 ∠AOB,其 中 叫 作 ∠AOB 的始边, 叫作∠AOB 的 . (2)引入正角、负角的概念以后,角的减法运 算可以转化为角的加法运算,即α-β可以 转化为 .这就是说,各角和的旋转 量等于各角旋转量的和. 3.终边相同的角 设α表示任意角,所有与角α终边相同的 角,连同α在内,可构成一个集合,这个集合 可记为{β|β= ,k∈Z}. 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成 角α与整数个周角的和. 二、弧度制 1.度量角的单位制 (1)角度制 用 作单位来度量角的制度叫作角 度制,规定1度的角等于周角的 1360. (2)弧度制 ①弧度制的定义 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫作 1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.以 为单位来度量角的制 度 叫 作 弧 度制. ②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 ;负角的弧度 数是一个 ;零角的弧度数是 . ③角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α 所对弧的长 为l,那么,角α 的弧度数的绝对值是|α| =lr. 2.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°= rad 2πrad= 180°= rad πrad= 1°= π180rad≈0.01745rad 1rad= 180π °≈57.30° 3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角的 弧度数,则: α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l=απR180 l= 扇形的面积 S=απR 2 360 S= = 1 2αR 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —03— 考点二 三角函数的概念 一、三角函数的概念 1.任意角的三角函数定义 在平面直角坐标系中,设α是一个任意角, 它的终边与 交于点P(x,y),那么: (1)正弦函数:把点P 的 叫作α的 正弦函数,记作 ,即sinα=y; (2)余弦函数:把点P 的 叫作α的 余弦函数,记作 ,即cosα=x; (3)正切函数:把点P 的纵坐标与横坐标的 叫作α的正切函数,记作 ,即tanα=yx (x≠0). 2.三角函数的概念 我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称 为 .通常将它们记为: 正弦函数: ; 余弦函数: ; 正切函数: . 3.三角函数值在各象限的符号 如图所示: 正弦: 象限正, 象限负; 余弦: 象限正, 象限负; 正切: 象限正, 象限负. 简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 4.诱导公式一 (1)语言表示: . (2)式子表示: , ,(k∈Z) . 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 二、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α= . 商数关系:sinα cosα= (α≠kπ+π2 ,k∈Z). 2.语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的 等于1, 等于角α的正切. 考点一 任意角的概念 (1)写出与α=-1910°终边相同的角的 集合,并把集合中符合不等式-720°≤β< 360°的元素β写出来. (2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界) 的角的集合. 【解】 (1)与α=-1910°终边相同的角的 集合为{β|β=-1910°+k·360°,k∈Z}. 因 为 -720°≤β<360°,所 以 -720°≤ -1910°+k·360°<360°,31136≤k<6 11 36. 故k=4,5,6,当k=4时,β=-1910°+4× 360°=-470°. 当k=5 时,β= -1910°+5×360°= -110°. 当k=6时,β=-1910°+6×360°=250°. (2)若角α的终边落在OA 上, 则α=30°+360°·k,k∈Z. 若角α的终边落在OB 上, 则a=135°+360°·k,k∈Z. 所以,角α的终边在图中阴影区域内时, 30°+360°·k≤α≤135°+360°·k,k∈Z. 故角α的取值集合为{α|30°+360°·k≤α≤ 135°+360°·k,k∈Z}. 考点二 弧度制 (1)将下列各角化为弧度: ①112°30';②-315°. (2)将下列各弧度化为角度: ①-5π12 ;②193π. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13— (3)设α1=-570°,α2=750°,β1= 3π 5 ,β2= -π3. 将α1,α2 用弧度制表示出来,并指出它们各 自的终边所在的象限. 【解】 (1)①因为1°= π180rad , 所以112°30'= π180×112.5rad= 5π 8rad. ②-315°=-315× π180=- 7π 4. (2)①因为1rad= 180π °, 所以-5π12=- 5π12×180π °=-75°. ②193π= 193π×180π °=1140°. (3)因为180°=πrad, 所以α1=-570°=- 570π 180=- 19π 6 =-2× 2π+5π6 , α2=750°= 750π 180= 25π 6 =2×2π+ π 6. 所以α1 的终边在第二象限,α2 的终边在第 一象限. β1 的 终 边 在 第 二 象 限,β2 的 终 边 在 第 四 象限. 考点三 三角函数的概念 (2023·湖南合格考真题)设角α的终边 与单位圆的交点坐标为 12,32 ,则sinα= ( ) A.12 B. 2 2 C.32 D.1 【解析】 角α的终边与单位圆的交点坐标 为 12,32 ,∴sinα= 32.故选C. 【答案】 C 考点四 诱导公式(一) 求下列各式的值: (1)sin(-1395°)cos1110°+cos(-1020°)· sin750°. (2)sin -11π6 +cos12π5 ·tan4π. 【解】 (1)原式=sin(-4×360°+45°)· cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+ 60°)·sin(2×360°+30°)=sin45°cos30°+ cos60°·sin30°= 22× 3 2+ 1 2× 1 2= 6 4+ 1 4= 1+ 6 4 . (2)原式=sin -2π+π6 +cos 2π+2π5 · tan4π=sinπ6+cos 2π 5×0= 1 2. 考点五 同角三角函数的基本关系 (2024·湖南合格考真题)若sinα= 3cosα,则tanα的值为 . 【解析】 由题意得显然cosα≠0,则sinαcosα= 3,即tanα=3.故答案为3. 【答案】 3 一、选择题 1.钟表的分针在一个半小时转了 ( ) A.180° B.-180° C.540° D.-540° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —23— 2.把8π5 化为角度是 ( ) A.270° B.280° C.288° D.318° 3.把56°15'化为弧度是 ( ) A.5π8 B. 5π 4 C.5π6 D. 5π 16 4.若点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,那 么角θ终边落在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.已知α是第二象限角,sinα=513 ,则cosα= ( ) A.-1213 B.- 5 13 C.513 D. 12 13 二、填空题 6.已知sinα+cosα=12 ,则sinαcosα= . 7.已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则α是 第 象限角. 8.sin72π+cos 5 2π+cos (-5π)+tanπ4= . 三、解答题 9.已知tanα=43 ,且α是第三象限角,求sinα, cosα的值. 10.若tanα=3,求下列各式的值. (1)3sinα+cosαsinα-2cosα. (2)23sin 2α-sinαcosα+14cos 2α. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —33—