第5章 专题4 三角恒等变换-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

专题四 三角恒等变换 学考考点 􀀋两角和与差的正弦、余弦、正切公式 􀀌二倍角的正弦、余弦、正切公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式如下: 1.两角和(差)的余弦、正弦公式 cos(α+β)= ; sin(α+β)= ; sin(α-β)= . 2.两角和(差)的正切公式 T(α+β):tan(α+β)= . T(α-β):tan(α-β)= . 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin2α= C2α cos2α= T2α tan2α= 2tanα 1-tan2α 2.半角公式与降幂公式 降幂公式 半角公式 sin2α2= sin α 2= cos2α2= cos α 2= tan2α2= tan α 2= 考点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 化简求值: (1)cos44°sin14°-sin44°cos14°. (2)sin14°cos16°+sin76°cos74°. (3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54° -x)·sin(36°+x). 【解】 (1)原式=sin(14°-44°) =sin(-30°)=-sin30°=-12. (2)原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°= sin(14°+16°)=sin30°=12. (3)原 式 =sin[(54°-x)+(36°+x)]= sin90°=1. 考点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 已知tan π4+α =12, (1)求tan α+π6 的值. (2)求sin2α-cos 2α 2cos2α 的值. 【解】 因为tan π4+α =12, 所以1+tanα 1-tanα= 1 2 , 所以2+2tanα=1-tanα,得tanα=-13 , 所 以 tan α+ π6 = tanα+tanπ6 1-tanα·tanπ6 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —04— -13+ 3 3 1+13× 3 3 = 3-13 · 9 9+ 3 = 3 3-3 9+ 3 =5 3-613 . (2)sin2α-cos 2α 2cos2α =2sinαcosα-cos 2α 2cos2α = 2sinαcosα 2cos2α -cos 2α 2cos2α =tanα-12=- 1 3- 1 2 =-56. 考点三 简单的三角恒等变换 已知π<α<3π2 ,化简: 1+sinα 1+cosα- 1-cosα + 1-sinα 1+cosα+ 1-cosα . 【解】 原式= sinα2+cosα2 2 2cosα2 - 2sin α 2 + sinα2-cosα2 2 2cosα2 + 2sin α 2 . 因为π<α<3π2 ,所以π 2< α 2< 3π 4 , 所以cosα2<0 ,sinα2>0 , 所以原式= sinα2+cosα2 2 - 2 sinα2+cosα2 + sinα2-cosα2 2 2 sinα2-cosα2 =- sinα2+cos α 2 2 + sinα2-cos α 2 2 =- 2cosα2. 一、选择题 1.(2024·湖南合格考真题)2sin15°cos15°的 值是 ( ) A.1 B.22 C.32 D. 1 2 2.计算cos2020°cos2065°+sin2020°· sin2065°等于 ( ) A.1 B.12 C.22 D. 3 2 3.计算sin θ+π12 cos θ-π12 +cos θ+π12 · sin π12-θ = ( ) A.12 B. 3 2 C.22 D.sin2θ 4.已知sin π4+θ =13,则sin2θ= ( ) A.-79 B.- 1 9 C.19 D. 7 9 5.若cos π4-θ cos π4+θ = 26 0<θ<π2 , 则sin2θ的值为 ( ) A.23 B. 7 3 C.76 D. 34 6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —14— 二、填空题 6.cos75°cos15°-sin75°sin15°的值等于 . 7.计算sin15°cos15°= . 8.计算tan22°+tan23°1-tan22°tan23°= . 三、解答题 9.已知sinα=4 37 ,α∈ π2,π . (1)求sin2α2 的值. (2)若sin(α+β)= 3 3 14 ,β∈ 0,π2 ,求β 的值. 10.α,β为锐角,cos(α+β)= 12 13 ,cos(2α+β)= 3 5 ,求cosα的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —24— 若a>0,则 2a+b=1, - 3a+b=-5, 解得 a=12-6 3, b=-23+12 3. 若a<0,则 2a+b=-5, - 3a+b=1, 解得 a=-12+6 3 , b=19-12 3. 10.解:首先作出y=sinx在[0,2π]上的图象,如图所 示,作直线y=12 ,根据特殊角的正弦值,可知该 直线与y=sinx,x∈[0,2π]的交点横坐标为π6 和5π 6. 作直线y= 32 ,该直线与y=sinx,x∈[0,2π]的 交点横坐标为π 3 和2π 3 ,观察图象可知, 在[0,2π]上,当π6<x≤ π 3 或2π 3≤x< 5π 6 时, 不等式1 2<sinx≤ 3 2 成立. 所以1 2<sinx≤ 3 2 的解集为 x π6<x≤ π 3 或2π 3≤x< 5π 6 . 专题四 三角恒等变换 考点整合 考点 一、 1.cosαcosβ-sinαsinβ sinαcosβ+cosαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ 2.tanα+tanβ1-tanαtanβ tanα-tanβ1+tanαtanβ 二、 1.2sinαcosα cos2α-sin2α 2.1-cosα2 ± 1-cosα 2 1+cosα 2 ± 1+cosα2 1-cosα 1+cosα ± 1-cosα 1+cosα 应考训练 1.D 2sin15°cos15°=sin30°=12. 故选D. 2.C 由两角差的余弦公式,得cos2020°cos2065° +sin2020°sin2065°=cos(2020°-2065°)=cos 45°= 22. 3.A 由两角差的正弦公式,得 sin θ+π12 cos θ-π12 -cos θ+π12 sin θ-π12 =sin θ+π12 - θ-π12 =sinπ6=12. 4.A 因为sin π4+θ =13,所以 22(sinθ+cosθ)= 1 3 ,两边平方得1 2 (1+sin2θ)=19 ,解得sin2θ= -79. 5.B 由cos π4-θ cos π4+θ = 26得12cos2θ- 1 2sin 2θ= 26 , 则cos2θ= 23. 又0<θ<π2 , 则0<2θ<π,故sin2θ= 73. 6.解析:逆用两角和的余弦公式可得cos75°cos15°- sin75°sin15°=cos(75°+15°)=cos90°=0. 答案:0 7.解析:sin15°cos15°=12sin30°= 1 4. 答案:1 4 8.解析:tan22°+tan23°1-tan22°tan23°=tan (22°+23°)=tan45° =1. 答案:1 9.解:(1)因为sinα=4 37 ,α∈ π2,π , 所以cosα=- 1-sin2α=-17. 所以sin2α2= 1-cosα 2 = 4 7. (2)因为sin(α+β)= 3 3 14 ,α∈ π2,π ,β∈ 0,π2 , 得α+β∈ π2,3π2 , 所以cos(α+β)=- 1-sin 2(α+β)=- 13 14. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —501— 所以sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα- cos(α+β)sinα= 3 3 14× -17 - -1314 ×4 37 = 3 2. 所以β= π 3. 10.解:因为α,β为锐角,所以0<α+β<π,0<2α+β <3π2. 又因为cos(α+β)= 12 13>0 ,所以0<α+β< π 2 , 又因为cos(2α+β)= 3 5 , 所以0<2α+β< π 2 , 所以sin(α+β)= 5 13 ,sin(2a+β)= 4 5 , 所以cosα=cos[(2α+β)-(α+β)] =cos(2α+β)·cos(α+β)+sin(2α+β) ·sin(α+β) =35× 12 13+ 4 5× 5 13= 56 65. 专题五 函数y=Asin(ωx+φ)的应用 考点整合 考点 一、 1.向左 向右 2.缩短 伸长 3.伸长 缩短 二、 1.数学抽象 2.数学建模 三、 A 最大距离 2πω 一次 1T ω 2π ωx+φ 应考训练 1.D 把函数y=sin 3x-π4 的图象向左平移π3个 单位长度,可得y=sin3 x+π3 -π4]的图象, 即函数解析式为y=sin 3x+3π4 ,再把所得图象 上各点的横坐标扩大为原来的2倍,可得y=sin 32x+3π4 的图象. 2.C 对于A选项,由于f(0)=sinπ3= 3 2≠0 ,f(x) 不为奇函数,故A错误;对于B选项,f(x)的最小 正周期为2π 2=π ,故B错误;对于C选项,显然f (x)的最大值为1,故C正确;对于D选项,当x∈ -5π12 ,π 12 时,2x+π3∈ -π2,π2 ,由复合函数单 调性、正弦函数单调性可知f(x)在 -5π12 ,π 12 上 单调递增,故D错误.故选C. 3.A 由振幅变换的规律知,纵坐标扩大为原来的3 倍(横坐标不变),即可得到函数y=3sinx的图象. 4.C f(x)=sinx+ 3cosx=2sin x+π3 . ∴f(x)的最大值为2,故选C. 5.C 当t=2π3 时,s1=-5,s2=-5,所以s1=s2. 6.解析:因为f(x)max=2,f(x)min=-2,所以A=2. 由T 2= 11π 12- 5π 12= π 2 ,得T=2πω=π⇒ω=2. 将 5π12,2 代入f(x)=2sin(2x+φ),得2sin 5π6 +φ =2⇒5π6+φ=π2+2kπ(k∈Z). 又-π2<φ<0 ,可得φ=- π 3 ,即f(x)=2sin 2x- π 3 . 所以f(0)=2sin -π3 =2× - 32 =- 3. 答案:- 3 7.解析:由函数图象的顶点的纵坐标可得A=3,再由 函数的周期性可得3 4 ·2π ω =4π- π 4 ,所以ω=25 , 再由五点法作图可得2 5× π 4+φ=0 ,所以φ=- π 10. 故函数f(x)的解析式为f(x)=3sin 25x-π10 . 答案:f(x)=3sin 25x-π10 8.解析:因为函数f(x)=cos ωx+π4 (ω>0)的相邻 两个零点之间的距离为π 6 ,所以T=2×π6= π 3 ,又 2π ω= π 3 ,得ω=6. 答案:6 9.解:由題意知A=5,T2= π 4 , 所以T=π2= 2π ω ,所以ω=4,所以y=5sin(4x+φ). 又因为图象经过点 0,52 ,所以52=5sinφ, 即sinφ= 1 2 ,所以φ= π 6+2kπ (k∈Z)或φ= 5π 6+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —601—