第5章 专题3 三角函数的图象与性质-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

专题三 三角函数的图象与性质 学考考点 􀀋正弦函数、余弦函数的图象 􀀌正弦函数、余弦函数的性质 􀀍正切函数的图象与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点 三角函数的图象与性质 一、正弦函数、余弦函数的图象 1.正弦曲线 如图所示: 正弦函数的图象叫作正弦曲线. 2.余弦曲线 将正弦曲线向 平移 个单 位长度,得到余弦曲线. 余弦函数的图象叫作余弦曲线. 二、正弦函数、余弦函数的性质 1.周期函数 对于函数f(x),如果存在一个 常 数T,使得当x取定义域内的每一个值时, 都有 ,那么函数f(x)就叫作周期 函数,非零常数T 叫作这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一 个 的正数,那么这个 正数 称为函数f(x)的最小正周期,简称周期. 3.正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y=sinx(x∈R)和余弦函数y= cosx(x∈R)都是周期函数, (k∈Z, 且k≠0)都是它们的周期.最小正周期为 . 4.奇偶性 正弦函数是 函数;余弦函数是 函数. 5.正弦、余弦函数的单调性 函数 y=sinx y=cosx 定义域 R 图象 单调 性 在 , 上单调递增; 在 , 上单调递减 在 上 单调递增; 在 上 单调递减 6.正弦、余弦函数的最值 (1)正弦函数: ①当x= 时,正弦函数取最大值1; ②当x= 时,正弦函数取最小值 -1. (2)余弦函数: ①当x= 时,余弦函数取最大值1; ②当x= 时,余弦函数取最小值 -1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —63— 三、正切函数的图象与性质 正切函数y=tanx x∈R且x≠kπ+π2,k∈Z 的 图象与性质见下表: 解析式 y=tanx 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 在开区间 -π2+kπ,π2+kπ ,k∈Z 上都是增函数 考点一 正弦函数、余弦函数的图象 用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y=12+sinx ,x∈[0,2π]. (2)y=1-cosx,x∈[0,2π]. 【思路导引】 先在[0,2π]范围内列出五个 关键点的坐标,描点连线得在[0,2π]范围内 的图象. 【解】 (1)按五个关键点列表: x 0 π2 π 3π 2 2π sinx 0 1 0 -1 0 1 2+sinx 1 2 3 2 1 2 - 1 2 1 2 描点,并将它们用光滑的曲线连接起来.(如 图) (2)列表: x 0 π2 π 3π 2 2π cosx 1 0 -1 0 1 1-cosx 0 1 2 1 0 描点连线,其图象如图所示. 考点二 正弦函数、余弦函数的性质 求 函 数 y=cos π3-2x 的 单 调 递 增 区间. 【解】 因为y=cos π3-2x =cos- 2x-π3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 =cos 2x-π3 , 故要求函数y=cos π3-2x 的单调递增区间, 只要求函数y=cos 2x-π3 的单调递增区间 即可. 设θ=2x-π3 , 由于y=cosθ的单调递增区间为{θ|2kπ-π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —73— ≤θ≤2kπ(k∈Z)}, 所以2kπ-π≤2x-π3≤2kπ (k∈Z), 解得kπ-π3≤x≤kπ+ π 6 (k∈Z), 故函数y=cos π3-2x 的单调递增区间为 kπ-π3 ,kπ+π6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 (k∈Z). 考点三 正切函数的性质与图象 (2023·湖南合格考真题)函数y=tanx 在一个周期内的大致图象是 ( ) 【解析】 y=tanx的周期为π,在 -π2,π2 上 单调递增.故选A. 【答案】 A 一、选择题 1.用“五点法”作y=2sin2x的图象时,首先描 出的五个点的横坐标是 ( ) A.0,π2 ,π,3π2 ,2π B.0,π4 ,π 2 ,3π 4 ,π C.0,π,2π,3π,4π D.0,π6 ,π 3 ,π 2 ,2π 3 2.如图是下列哪个函数的图象 ( ) A.y=1+sinx,x∈[0,2π] B.y=1+2sinx,x∈[0,2π] C.y=1-sinx,x∈[0,2π] D.y=1-2sinx,x∈[0,2π] 3.y=sinx-|sinx|的值域是 ( ) A.[-1,0] B.[0,1] C.[-1,1] D.[-2,0] 4.函数y=tan 2x+π6 的最小正周期是 ( ) A.π B.2π C.π2 D. π 6 5.函数f(x)=tan π4-x 的单调递减区间为 ( ) A. kπ-3π4,kπ+π4 ,k∈Z B. kπ-π4,kπ+3π4 ,k∈Z C. kπ-π2,kπ+π2 ,k∈Z D. kπ,(k+1)π ,k∈Z 二、填空题 6.函数f(x)=2sin ωx+π3 (ω>0)的最小正 周期为π,则ω= . 7.函数y=sin2x-cosx的值域为 . 8.已知函数f(x)=2sin x+π3 ,x∈ 0,π3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 , 则f(x)的值域是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —83— 三、解答题 9.已知函数f(x)=2asinx+b的定义域为 -π3 ,2π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ,函数的最大值为1,最小值为 -5,求a和b的值. 10.利用正弦曲线,求满足12<sinx≤ 3 2 (x∈ [0,2π])的x的集合. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —93— 10.解:法一:cos 9π2+α =cos4π+ π2+α =cos π2+α =-sinα, sin 11π2 +α =sin4π+ 3π2+α =sin 3π2+α =sinπ+ π2+α =-sin π2+α =-cosα, tan(5π-α)=tan(π-α)=-tanα, sin(3π-α)=sin(π-α)=sinα, 所以原式= sinαsinα-cosαcosα- -tanα sinαcosα =-sin 2α cos2α + 1 cos2α =1-sin 2α cos2α =cos 2α cos2α =1. 法二:奇变偶不变,符号看象限. 原式=sin (-α)(-sinα) (-cosα)cos(-α)- -tanα sinαcosα = sin 2α -cos2α + 1 cos2α =1-sin 2α cos2α =1. 专题三 三角函数的图象与性质 考点整合 考点 一、 2.左 π2 二、 1.非零 f(x+T)=f(x) 2.最小 最小 3.2kπ 2π 4.奇 偶 5.-π2+2kπ ,π 2+2kπ k∈Z π 2+2kπ ,3π 2+2kπ k∈Z [-π+2kπ,2kπ],k ∈Z [2kπ,2kπ+π],k∈Z 6.(1)π2+2kπ (k∈Z) -π2+2kπ (k∈Z) (2)2kπ(k∈Z) π+2kπ(k∈Z) 三、 {x|x∈R,且x≠π2+kπ ,k∈Z} R π 奇函数 应考训练 1.B “五点法”作图是当2x=0,π2 ,π,3π2 ,2π时的x 的值,此时x=0,π4 ,π 2 ,3π 4 ,π. 2.C 当x=π2 时,y=0,排除A、B、D. 3.D y= 0,0≤sinx≤1, 2sinx,-1≤sinx<0, 因此函数的值域为[-2,0]. 4.C 最小正周期为T= π|ω|= π 2. 5.B 由f(x)=-tan x-π4 ,可令kπ-π2<x-π4 <kπ+π2 ,解得kπ-π4<x<kπ+ 3 4π ,k∈Z. 6.解析:因为2π|ω|=π (ω>0),所以2πω=π ,即ω=2. 答案:2 7.解析:y=sin2x-cosx=1-cos2x-cosx,令cosx =t,则t∈[-1,1],y=-t2-t+1,因 此 y= - t+12 2 +54 (-1≤t≤1),所以当t=-12 时, ymax= 5 4 ;当t=1时,ymin=-1,所以函数的值域 是 -1,54 . 答案:[-1,54 ] 8.解析:x∈ 0,π3 ,x+π3∈ π3,23π , sin x+π3 ∈ 32,1􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 , 则2sin x+π3 ∈[3,2]. 答案:[3,2] 9.解:因为-π3≤x≤ 2π 3 , 所以- 32≤sinx≤1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —401— 若a>0,则 2a+b=1, - 3a+b=-5, 解得 a=12-6 3, b=-23+12 3. 若a<0,则 2a+b=-5, - 3a+b=1, 解得 a=-12+6 3 , b=19-12 3. 10.解:首先作出y=sinx在[0,2π]上的图象,如图所 示,作直线y=12 ,根据特殊角的正弦值,可知该 直线与y=sinx,x∈[0,2π]的交点横坐标为π6 和5π 6. 作直线y= 32 ,该直线与y=sinx,x∈[0,2π]的 交点横坐标为π 3 和2π 3 ,观察图象可知, 在[0,2π]上,当π6<x≤ π 3 或2π 3≤x< 5π 6 时, 不等式1 2<sinx≤ 3 2 成立. 所以1 2<sinx≤ 3 2 的解集为 x π6<x≤ π 3 或2π 3≤x< 5π 6 . 专题四 三角恒等变换 考点整合 考点 一、 1.cosαcosβ-sinαsinβ sinαcosβ+cosαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ 2.tanα+tanβ1-tanαtanβ tanα-tanβ1+tanαtanβ 二、 1.2sinαcosα cos2α-sin2α 2.1-cosα2 ± 1-cosα 2 1+cosα 2 ± 1+cosα2 1-cosα 1+cosα ± 1-cosα 1+cosα 应考训练 1.D 2sin15°cos15°=sin30°=12. 故选D. 2.C 由两角差的余弦公式,得cos2020°cos2065° +sin2020°sin2065°=cos(2020°-2065°)=cos 45°= 22. 3.A 由两角差的正弦公式,得 sin θ+π12 cos θ-π12 -cos θ+π12 sin θ-π12 =sin θ+π12 - θ-π12 =sinπ6=12. 4.A 因为sin π4+θ =13,所以 22(sinθ+cosθ)= 1 3 ,两边平方得1 2 (1+sin2θ)=19 ,解得sin2θ= -79. 5.B 由cos π4-θ cos π4+θ = 26得12cos2θ- 1 2sin 2θ= 26 , 则cos2θ= 23. 又0<θ<π2 , 则0<2θ<π,故sin2θ= 73. 6.解析:逆用两角和的余弦公式可得cos75°cos15°- sin75°sin15°=cos(75°+15°)=cos90°=0. 答案:0 7.解析:sin15°cos15°=12sin30°= 1 4. 答案:1 4 8.解析:tan22°+tan23°1-tan22°tan23°=tan (22°+23°)=tan45° =1. 答案:1 9.解:(1)因为sinα=4 37 ,α∈ π2,π , 所以cosα=- 1-sin2α=-17. 所以sin2α2= 1-cosα 2 = 4 7. (2)因为sin(α+β)= 3 3 14 ,α∈ π2,π ,β∈ 0,π2 , 得α+β∈ π2,3π2 , 所以cos(α+β)=- 1-sin 2(α+β)=- 13 14. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —501—